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Analysis » Funktionen » Anspruchsvolle Periode
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Universität/Hochschule J Anspruchsvolle Periode
Nfourier
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-20


Hi,
ist es möglich, zu der Funktion f(x)=sin(x^2) so etwas wie eine Periodenlänge in Abhängigkeit von x zu definieren? Und wenn ja, wie sähe das aus?



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-20


Hi Nfourier

Willkommen auf dem Planeten

Definiere, was du unter einer Periode verstehen willst.
Eine regelmäßige Wiederholung eines Funktionsabschnittes (was man also üblicherweise unter einer Periode versteht, also <math>f(x+p)=f(x)</math>, wobei <math>p</math> die Periodenlänge ist) kann es ja nicht sein.

Gruß vom ¼


-----------------
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Nfourier
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Dabei seit: 20.06.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-21


Genau das ist der Punkt - ein konstantes p als Periode im üblichen Sinn kann hier nicht vorliegen.
Ich dachte deswegen an eine Vorstellung wie: Sage mir einen Wert x und ich sage dir, wie lang der an dieser Stelle befindliche Durchlauf ist. Mit Durchlauf meine ich Nullstelle - Maximum - Nullstelle - Minimum - Nullstelle.



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-21

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo Nfourier und auch von mir herzlich Willkommen auf dem Matheplanet!

Jetzt musst du nur noch sagen, in welche Richtung du das haben möchtest. Das ist nämlich auch noch ein Unterschied: da \(x^2\) quadratisch anwächst, werden die Abstände kleiner, je größer der Betrag von x ist.

Angenommen, du betrachtest nur die positive x-Achse und interessierst dich für die nächste Wiederholung bei Vergrößerung von x. Dann muss ja gelten

\[\sin\left((x+p)^2\right)=\sin(x^2)\]
Jetzt ist aber die Sinusfunktion \(2\pi\)-periodisch. Daraus ergibt sich sofort die Gleichung

\[(x+p)^2-x^2=2\pi\]
Rechne mal damit ein wenig herum, sie liefert dir eine quadratische Gleichung in \(p\) mit zwei Lösungen. Welche da jetzt für welche Richtung steht solltest du selbst erkennen können.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Nfourier
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-22


Vielen Dank für die schnelle Hilfe!
Ich belasse es mal bei der positiven x-Achse.
Die Gleichung ist super sinnvoll und aufgelöst nach p ergibt sich als richtige Lösung p=-x+sqrt(x^2 +2pi).
Diese Gleichung gibt einem tatsächlich die richtige Periodenlänge für den aktuellen Durchlauf, wenn man für x die erste Nullstelle des aktuellen Durchlaufs einsetzt. Und die kriegt man über die Nullstellen von sin(x^2) - man muss nur noch richtig "abrunden".
Vielen Dank und viele Grüße



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