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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen, Approximation und Definition
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Universität/Hochschule J Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen, Approximation und Definition
iwanttolearnmathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-20


Hallo Leute, ich hab mal ein paar Fragen zur Differenzierbarkeit bzw. erstmal eigentlic zu einer kleinen Vorarbeit aus meinem Skript, hoffe ihr könnt mir helfen.

Also es geht erstmal so los:


fed-Code einblenden
Also diese beiden Striche sollen halt die Normen zeigen, wobei ich mal denke das es halt die Normen allerdings auf ihren Räumen sind, ob die Normen von E und F auf Banachräumen äquivalent sind weiß ich nicht...

Jedenfalls frage ich mich wie man diese Definition verstehen soll.


1) was soll es überhaupt bedeuten das es von höher als k-ter Ordnung verschwinden soll? Da würden jetzt vielleicht einige sagen genau das was da steht, aber ich verstehe diese Definition nicht was sie aussagen soll. Kann mir das jemand erklären?


2) Also das soll wohl was klein werden, wegen dem Epsilon, welche rolle spielt denn das h hier? Das Epsilon sorgt doch schon das es klein wird, warum jetzt noch das h, das kann doch groß werden oder nicht?



3) warum braucht man da ein Ball fed-Code einblenden , der um die Null geht? Verstehe nicht ganz was man hier meint oder warum.



Hoffe ihr versteht meine Fragen und könnt mir helfen, vielen Dank schonmal

 Viele Grüße Jan



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-20

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}\)
Hallo iwanttolearnmathe,

zunächst mal zu deiner Anmerkung zu den Normen: $E$ und $F$ sind beliebige Banachräume. Insbesondere sind es nicht unbedingt die selben Banachräume, also bringt es nicht viel, über die Äquivalenz der Normen zu reden, da sie unter Umständen nicht mal auf der selben Menge definiert sind. Die Implikation in der Notation ist, dass man immer die passende Norm nimmt. Da $h\in E$ steht auf der rechten Seite die $E$-Norm. Und da $O(u+h)\in F$ steht auf der linken Seite die $F$-Norm:

\[\Vert O(u+h)\Vert_F\leq\varepsilon\Vert h\Vert_E^k.\]
Zu deinen eigentlichen Fragen:

1) "verschwindet von höher als $k$-ter Ordnung" heißt so viel wie dass $u$ eine Nullstelle von Ordnung höher als $k$ ist. Zum Beispiel verschwindet die Abbildung $f:\R\to\R,f(x)=x^2$ an der Stelle $x=0$ von höher als erster Ordnung. Nämlich verschwindet sie von zweiter Ordnung, um genau zu sein. Oder die Abbildung $g:[0,\infty)\to\R,g(x)=x^{\frac{5}{2}}$ verschwindet an der Stelle $x=0$ von höher als zweiter Ordnung. Man könnte sagen, dass sie von $\frac{5}{2}$-ter Ordnung verschwindet.
Es gibt aber auch Funktionen, deren Nullstelle man keine Ordnung im Sinne einer Zahl zuweisen kann. Betrachte zum Beispiel

\[h:\R\to\R,\\
h(x)=\begin{cases}\e^{-\frac{1}{x}}&x\neq0,\\0&x=0.\end{cases}\]
Diese Funktion hat auch eine Nullstelle bei $x=0$, aber sie geht schneller gegen 0 als jede Funktion der Form $x^r$, ihre Nullstelle hat also keine Ordnung, die man als reelle Zahl ausdrücken kann.
Das wird aber bei eurer späteren Definition von Differenzierbarkeit auch egal sein. Da ist nur ausschlaggebend, dass ein Ausdruck (etwas ähnliches wie der Differenzenquotient aus der 1d-Analysis) schneller als von Ordnung $k$ gegen 0 konvergiert. Und das wird dann "verschwinden von Ordnung höher als $k$" genannt.

2+3) Im Prinzip wird die Funktion $O$ mit einem Polynom der Ordnung $k$ verglichen (bzw. mit einer Funktion, die eine Nullstelle $k$-ter Ordnung hat, denn das Konzept eines Polynoms macht in einem allgemeinen Banachraum nicht viel Sinn, da eventuell keine Multiplikation definiert ist).
Es wird dann also gesagt: Wenn $h\to0$ geht, dann gehen sowohl $\Vert O(u+h)\Vert$, als auch $\varepsilon\Vert h\Vert^k$ gegen 0. Aber $\Vert O(u+h)\Vert$ tut das schneller!
Schneller heißt hier: Wenn man $h$ nur nahe genug an 0 heranbringt (sprich: $h\in B_\delta(0)$ für geeignetes $\delta$), dann ist $\Vert O(u+h)\Vert$ näher an 0, als $\varepsilon\Vert h\Vert^k$ (sprich: $\Vert O(u+h)\Vert\leq\varepsilon\Vert h\Vert^k$).
Warum jetzt aber das $\varepsilon$? Man kann sich ja mal anschauen, was passiert, wenn man $\varepsilon$ weglässt. Dann hieße die Definition:

$O$ verschwindet von höher als $k$-ter Ordnung, wenn ein $\delta>0$ existiert, sodass für alle $h\in B_\delta(0)$ gilt:

\[\Vert O(u+h)\Vert\leq\Vert h\Vert^k.\]
Dann gebe ich jetzt die Funktion $f:\R\to\R,f(x)=\frac{1}{2}x$ vor. Wir hätten ja wohl gerne, dass sie eine Nullstelle erster Ordnung an der Stelle 0 hat, denn es ist eine lineare Funktion. Das heißt, die Funktion sollte nicht von Ordnung höher als 1 verschwinden. Ohne das $\varepsilon$ in der Definition tut sie das aber, denn es gilt immer:

\[\Vert O(0+h)\Vert=\Vert \frac{1}{2}h\Vert=\frac{1}{2}\Vert h\Vert\leq\Vert h\Vert^1.\]
Also kann ich mir ein beliebiges $\delta$ aussuchen, und die Bedingung für das Verschwinden von höherer Ordnung als 1 ist gegeben. Das will man aber nicht. Deshalb erlaubt man zusätzlich noch, dass der Term $\Vert h\Vert^k$ skaliert werden kann. Die Definition ohne $\varepsilon$ ging ja daran kaputt, dass man einfach noch einen Faktor $\frac{1}{2}$ an eine Funktion dranmultipliziert hat. Das kann man umgehen, indem man fordert, dass die Bedingung auch dann erfüllt ist, wenn man den Vergleichsterm $\Vert h\Vert^k$ ebenfalls skalieren darf, indem man ein beliebig kleines $\varepsilon$ dranmultipliziert.

Also zusammenfassend: $h$ soll klein werden. Dafür zwingt man es in eine kleine Kugel mit Radius $\delta$. Das $\varepsilon$ ist nur dafür da, damit Funktionen, die sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden, immer noch von selber Ordnung verschwinden.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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iwanttolearnmathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-21


Hallo Vercassivelaunos,


Erstmal Dankeschön das hat schon mal ein wenig geholfen  smile  
ups ja natürlich, keine Ahnung wie ich darauf gekommen bin das die beiden Normen äquivalent sein können...Hab allerdings noch ein paar Fragen zu deinen Angaben.


2019-06-20 23:41 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:

1) "verschwindet von höher als $k$-ter Ordnung" heißt so viel wie dass $u$ eine Nullstelle von Ordnung höher als $k$ ist.


1) Daaa muss leider fragen was es dann bedeutet das eine Nullstelle höherer Ordnung ist bzw. was das genau ist, ich hab was über Ableitung gelesen, das an der Stelle 0 z.b. bei x^2 die Ableitung auch an der Stelle 0 wieder 0 ist, aber das bringt jetzt auch nicht viel Licht ins dunkel...

2)Heißt das nicht auch das bei höheren Ordnungen von k die Funktion ebenfalls verschwinden muss? Also wenn man sagt das die Funktion höherer Ordnung verschwinden muss? Wenn ich aber dann mir nochmal die Funktion x^2 von dir ansehe, also wieder reell ist, wie kann man dann darauf kommen dass gilt: fed-Code einblenden


Ich vermute mal über die Hölder-Ungleichung für p=q=2 aber keine ahnung sonst. Könnte man dann auch für höhere Ordnungen wie z.b. 3 4 5 6 usw. mit dieser gleiche Ungleichung zeigen das ^3 x^4x^5 x^6 usw. eine 3 4 5 6-fache Nullstelle hat? Aber wichtiger find ich erstmal zu wissen was das überhaupt bedeutet eine Nullstelle k-facher Ordnung zu haben.


2019-06-20 23:41 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt: Es gibt aber auch Funktionen, deren Nullstelle man keine Ordnung im Sinne einer Zahl zuweisen kann. Betrachte zum Beispiel

\[h:\R\to\R,\\
h(x)=\begin{cases}\e^{-\frac{1}{x}}&x\neq0,\\0&x=0.\end{cases}\]
3)Könnte man hier nicht sagen das die Ordnung 1/x wäre also reell? Sowie bei deinem Beispiel davor einfach den Exponenten 5/2?


2019-06-20 23:41 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:

2+3) Im Prinzip wird die Funktion $O$ mit einem Polynom der Ordnung $k$ verglichen (bzw. mit einer Funktion, die eine Nullstelle $k$-ter Ordnung hat, denn das Konzept eines Polynoms macht in einem allgemeinen Banachraum nicht viel Sinn, da eventuell keine Multiplikation definiert ist).


4)Du meinst hier das die Funktion in der Norm verglichen wird oder? Aber warum macht ein Polynom in einem Banachraum keinen Sinn bzw. warum ist da keine Multiplikation definiert?



2019-06-20 23:41 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:
Warum jetzt aber das $\varepsilon$? Man kann sich ja mal anschauen, was passiert, wenn man $\varepsilon$ weglässt. Dann hieße die Definition:

$O$ verschwindet von höher als $k$-ter Ordnung, wenn ein $\delta>0$ existiert, sodass für alle $h\in B_\delta(0)$ gilt:

\[\Vert O(u+h)\Vert\leq\Vert h\Vert^k.\]
Dann gebe ich jetzt die Funktion $f:\R\to\R,f(x)=\frac{1}{2}x$ vor. Wir hätten ja wohl gerne, dass sie eine Nullstelle erster Ordnung an der Stelle 0 hat, denn es ist eine lineare Funktion. Das heißt, die Funktion sollte nicht von Ordnung höher als 1 verschwinden. Ohne das $\varepsilon$ in der Definition tut sie das aber, denn es gilt immer:

\[\Vert O(0+h)\Vert=\Vert \frac{1}{2}h\Vert=\frac{1}{2}\Vert h\Vert\leq\Vert h\Vert^1.\]


5) Warum genau möchte man nicht das die Funktion von höher als Ordnung 1 verschwindet? Also ja es ist eine lineare Funktion aber warum will man nicht das sie höher als 1 verschwindet?

2019-06-20 23:41 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:

Also kann ich mir ein beliebiges $\delta$ aussuchen, und die Bedingung für das Verschwinden von höherer Ordnung als 1 ist gegeben. Das will man aber nicht. Deshalb erlaubt man zusätzlich noch, dass der Term $\Vert h\Vert^k$ skaliert werden kann. Die Definition ohne $\varepsilon$ ging ja daran kaputt, dass man einfach noch einen Faktor $\frac{1}{2}$ an eine Funktion dranmultipliziert hat. Das kann man umgehen, indem man fordert, dass die Bedingung auch dann erfüllt ist, wenn man den Vergleichsterm $\Vert h\Vert^k$ ebenfalls skalieren darf, indem man ein beliebig kleines $\varepsilon$ dranmultipliziert.

6) Was wäre wenn man aber bei deinem Beispiel das Epsilon kleiner 1/2 setzt das würde doch auch die Funktion nicht verschwinden, weil das für alle Epsilon gelten muss oder?

Hoffe das kam so rüber wie es sollte
Viele Grüße Jan





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iwanttolearnmathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-22


Ist irgendwas unklar?



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-22

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Nein, ich hatte nur deine nachfragen übersehen, sorry.

1+4) Im allgemeinen Fall kann man leider nur sagen, dass eine Nullstelle $k$-ter Ordnung vorliegt, wenn eine definierende Gleichung, die ich weiter unten aufschreibe, erfüllt ist. Man kann sie aber durch die Anschauung in $\R$ motivierten: Der Prototyp einer Funktion mit Nullstelle $k$-ter Ordnung an der Stelle $u$ ist ein Polynom der Form $a(x-u)^k$. Das ist der Typ Funktion, durch den der Begriff der Ordnung einer Nullstelle motiviert ist. Man kann das zunächst etwas verallgemeinern: eine Funktion $f:\R\to\R$ hat eine Nullstelle $k$-ter Ordnung an der Stelle $u$, wenn

\[\lim_{x\to u}\frac{f(x)}{(x-u)^k}\]
existiert und nicht 0 ist. Dass heißt, es gibt eine in $u$ stetige Funktion $g$ (nämlich die stetige Fortsetzung der Funktion $\frac{f(x)}{(x-u)^k}$), welche in $u$ keine Nullstelle besitzt, sodass $f(x)=(x-u)^k g(x)$. Man erweitert also denn Begriff der Nullstelle $k$-ter Ordnung auf Produkte von stetigen Funktionen mit dem prototypischen Polynom. Das funktioniert aber nur, wenn man auf einem Raum ist, in dem überhaupt Produkte definiert sind. Auf einem allgemeinen Banachraum gibt es das aber nicht, denn das ist erstmal nur ein vollständiger, normierter Vektorraum. Auf einem Vektorraum ist aber nicht zwingend eine Multiplikation definiert. Um das Konzept der $k$-ten Nullstelle auch auf allgemeine Banachräume zu erweitern, muss die obige Definition so umgeschrieben werden, dass keine Produkte oder Quotienten von Vektoren auftauchen. Das sieht dann so aus:

\[\lim_{x\to u}\frac{\vert f(x)\vert}{\vert x-u\vert^k}\]
soll existieren und nicht 0 sein. Das ist nicht ganz äquivalent mit der Definition von oben (z.B. hat so $\operatorname{sgn}(x)x^2$ eine Nullstelle zweiter Ordnung, nach der Definition von oben aber nicht). Aber das macht nichts, anschaulich sehen die Nullstellen nämlich immer noch ähnlich aus, nur eventuell mit einem Vorzeichenwechsel.
Das kann man jetzt auf Banachräume verallgemeinern, indem man die Beträge durch Normen ersetzt:

\[\lim_{x\to u}\frac{\Vert f(x)\Vert}{\Vert x-u\Vert^k}\]
soll existieren und nicht 0 sein. Dann hat man eine Nullstelle $k$-ter Ordnung. Oder anders ausgedrückt:

\[\lim_{h\to0}\frac{\Vert f(u+h)\Vert}{\Vert h\Vert^k}\]
soll existieren und nicht 0 sein. Und das bedeutet es, eine Nullstelle $k$-ter Ordnung zu haben.


2)Müsste man nicht. Wenn die Ordnung einer Nullstelle höher als $k$ ist, heißt das nicht, dass sie auch höher als $k+1$ ist. Entsprechend gilt deine Ungleichung auch nicht. Schon allein weil $\Vert h^2\Vert=\Vert h\Vert^2$. Das kann gar nicht kleiner als $\varepsilon\Vert h\Vert^2$ sein.


3) $\frac{1}{x}$ ist ja keine feste Zahl. $x$ ist die Variable.


5) Mann will nicht, dass sie von Ordnung höher als 1 verschwindet, weil sie ja gerade der Typ Funktion ist, der unseren Begriff der Nullstelle erster Ordnung prägen soll. Sie ist der Prototyp einer Funktion mit Nullstelle erster Ordnung, also müssen wir unsere allgemeine Definition so wählen, dass sie wirklich eine Nullstelle erster Ordnung - nicht höher - hat. Sonst beschreibt unsere Definition etwas anderes als wir haben wollen.

6) Das soll ja auch so sein: $\frac{1}{2}x$ hat eine Nullstelle der Ordnung 1 - nicht höher. Also sollte für diese Funktion die Definition für das Verschwinden höherer Ordnung als 1 eben nicht erfüllt sein.
\(\endgroup\)


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iwanttolearnmathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-24


Hallo,

Ach alles gut passiert halt, nix schlimmes.

Hm schade, dass man sich darunter nicht mehr vollstellen kann...dachte es gibt noch ne anschauliche Variante von diesen Ordnungen. Jetzt mal abgesehen von den reellen Zahlen. Aber muss es dazu nicht irgendwie eine Anschaung geben wenn man Funktionen vergleicht bei denen die Ordnungen der Nullstellen unterschiedlich sind? Gibts da keine Erklräungwas das dann bedeutet? Ist das einfach nur eine Möglichkeit zu beschreiebn wie sich die Funktion verhält?



Okaaay das auf einem Vektorraum ist ir peinlicherweise neu gewesen das dort keine Multiplation definiert ist...



Ich verstehe jetzt auf dem zweiten Blick nicht warum
2019-06-22 17:33 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 4 schreibt:
\[\lim_{x\to u}\frac{\Vert f(x)\Vert}{\Vert x-u\Vert^k}\]
soll existieren und nicht 0 sein. Dann hat man eine Nullstelle $k$-ter Ordnung. Oder anders ausgedrückt:

\[\lim_{h\to0}\frac{\Vert f(u+h)\Vert}{\Vert h\Vert^k}\]
das gleiche. oder zumindest äquivalent, sein soll wie die Bedingung
2019-06-20 23:41 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:
\[\Vert O(u+h)\Vert_F\leq\varepsilon\Vert h\Vert_E^k.\]
Die zweite Gleichung, also die ursprüngliche soll doch verschwinden und wenn man das h in der E-Norm umstellt ist das doch null oder zumindest sehr nahe an null. Im Gegensatz zur ersten Gleichung soll das doch ungleich null sein obwohl das gleiche da steht...also einmal hat man fed-Code einblenden 0 und einmal fed-Code einblenden 0...


Also muss man die Bedingung, das die Funktion bei höherer als k-te Ordnung verschwindet so verstehen, dass sie an dieser Stelle h=0 null   fed-Code einblenden k verschwindet oder das sie einfach bei einer Ordnung höher als k verschwindet, man weiß aber nicht genau welche bzw. müsste man das nachprüfen. Also kanns sein das sie bei 3 verschwindet aber be 4 nicht mehr?

bei 2) schreibst du ja das diese Gleichheit, gilt die immer?
Und wie würde man sonst beweisen dass die Funktion x^2 höher als 1. bzw. bei der zweiten Ordnung verschwindet?


Also würde man bei 1/2x sagen das sie bei Höherer als 0.Ordnung verschwindet?

Und ist das nochmal anders mit der Definition bei Diffbarkeit? da wird dann entscheidend ob die Funktion bei höheren Ordnungen verschwindet wenn man noch eine Abbildung subtrahiert oder?


Beste Grüße Jan



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-06-24

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Aber muss es dazu nicht irgendwie eine Anschaung geben wenn man Funktionen vergleicht bei denen die Ordnungen der Nullstellen unterschiedlich sind? Gibts da keine Erklräungwas das dann bedeutet? Ist das einfach nur eine Möglichkeit zu beschreiebn wie sich die Funktion verhält?

Es bedeutet, dass wenn man nur nah genug an die Nullstelle herangeht, dann die Funktion mit der höheren Ordnung der Nullstelle irgendwann die sein wird, deren Werte näher an 0 liegen, und das sogar wenn man die Funktionen beliebig skaliert. So wie zum Beispiel bei einer linearen Funktion und einer Parabel: Egal welche Parabel man nimmt: irgendwann ist sie kleiner als die lineare Funktion, wenn man nur nah genug an die Nullstelle heranzoomt.

Ich verstehe jetzt auf dem zweiten Blick nicht warum
2019-06-22 17:33 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 4 schreibt:
\[\lim_{x\to u}\frac{\Vert f(x)\Vert}{\Vert x-u\Vert^k}\]
soll existieren und nicht 0 sein. Dann hat man eine Nullstelle $k$-ter Ordnung. Oder anders ausgedrückt:

\[\lim_{h\to0}\frac{\Vert f(u+h)\Vert}{\Vert h\Vert^k}\]
das gleiche. oder zumindest äquivalent, sein soll wie die Bedingung
2019-06-20 23:41 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:
\[\Vert O(u+h)\Vert_F\leq\varepsilon\Vert h\Vert_E^k.\]


Sie sind nicht äquivalent. Die oberen Grenzwerte beschreiben eine Funktion, deren Nullstelle die Ordnung $k$ hat. Die untere Ungleichung beschreibt eine Funktion, deren Nullstelle eine Ordnung höher als $k$ hat.
Man kann aber die Definition für Nullstellen höherer Ordnung aus der für Nullstellen bestimmter Ordnung ableiten. Es wird ja gefordert, dass der Grenzwert

\[\lim_{x\to u}\frac{\Vert f(x)\Vert}{\Vert x-u\Vert^k}\]
nicht 0 ist. Dann geht nämlich der Zähler "genauso schnell" gegen 0, wie der Nenner. Ist der Grenzwert aber 0, so heißt das, dass der Zähler "schneller" als der Nenner gegen 0 geht. Die Funktion im Zähler hat also keine Nullstelle der Ordnung $k$, sondern eine höherer Ordnung. Man kann also überlegen, dass eine Nullstelle höherer Ordnung als $k$ vorliegt, wenn

\[\lim_{x\to u}\frac{\Vert f(x)\Vert}{\Vert x-u\Vert^k}=0\]
ist. Hier zu beachten, dass der Grenzwert eben 0 sein soll, und nicht etwas anderes, wie bei der Nullstelle $k$-ter Ordnung.
Und das heißt per Definition des Limes:

\[\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0:\\
\forall x:\Vert x-u\Vert\leq\delta\textrm{ gilt:}\quad\frac{\Vert f(x)\Vert}{\Vert x-u\Vert^k}\leq\varepsilon\]
Jetzt kann man noch $h:=x-u$ substituieren und dann heißt es:

\[\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0:\\
\forall h\in B_\delta(u)\textrm{ gilt:}\quad\frac{\Vert f(u+h)\Vert}{\Vert h\Vert^k}\leq\varepsilon\]
Einfach das $\Vert h\Vert^k$ auf die andere Seite bringen, und man hat die Definition deiner Vorlesung:

\[\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0:\\
\forall h\in B_\delta(u)\textrm{ gilt:}\quad\Vert f(u+h)\Vert\leq\varepsilon\Vert h\Vert^k\]

bei 2) schreibst du ja das diese Gleichheit, gilt die immer?

Die gilt, weil das Beispiel eine Funktion $\R\to\R$ war, und da gilt $\vert x^2\vert=\vert x\cdot x\vert=\vert x\vert\cdot\vert x\vert=\vert x\vert^2$.

Also würde man bei 1/2x sagen das sie bei Höherer als 0.Ordnung verschwindet?

Ja. Als lineare Funktion hat sie eine Nullstelle erster Ordnung, also verschwindet sie von höher als 0-ter Ordnung.

Und ist das nochmal anders mit der Definition bei Diffbarkeit? da wird dann entscheidend ob die Funktion bei höheren Ordnungen verschwindet wenn man noch eine Abbildung subtrahiert oder?

Richtig. Die Idee bei der Differenzierbarkeit ist so: Man nehme eine Funktion $f$, und möchte sie an der Stelle $u$ möglichst gut durch eine andere Funktion $g$ annähern. Ein erster Ansatz wäre zu sagen: Wenn $f-g$ an der Stelle $u$ eine Nullstelle hat, dann sind sie dort gleich, also wird $f$ durch $g$ schonmal irgendwie angenähert. Aber nicht besonders gut: $f(x)=x$ und $g(x)=-x$ sehen sich so gar nicht ähnlich, obwohl $f(x)-g(x)=2x$ an der Stelle 0 eine Nullstelle hat. Man muss die Forderung also etwas verschärfen: Wenn $f-g$ eine Nullstelle von höherer Ordnung hat, dann ist die Näherung besser. Denn eine Nullstelle höherer Ordnung heißt, dass $f-g$ schneller gegen 0 geht, der Unterschied zwischen $f$ und $g$ wird also schneller klein.
Beim Differenzieren möchte man eine Funktion durch eine lineare Abbildung nähern. Genaugenommen durch eine Funktion der Form $f(u)+L(x-u)$. Wenn die Differenz zwischen $f(x)$ und einer Funktion der Form $f(u)+L(x-u)$ eine Nullstelle hat, deren Ordnung höher als 1 ist, dann ist $f(u)+L(x-u)$ eine gute Näherung von $f$, und man nennt $L$ die Ableitung von $f$. Also:
Eine Funktion $f$ ist Differenzierbar an der Stelle $u$ mit Ableitung $L$, wenn

\[f(x)-f(u)-L(x-u)\]
an der Stelle $u$ von höherer als erster Ordnung verschwindet.
\(\endgroup\)


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iwanttolearnmathe
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Hallo smile

2019-06-24 15:27 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 6 schreibt:


Es bedeutet, dass wenn man nur nah genug an die Nullstelle herangeht, dann die Funktion mit der höheren Ordnung der Nullstelle irgendwann die sein wird, deren Werte näher an 0 liegen, und das sogar wenn man die Funktionen beliebig skaliert. So wie zum Beispiel bei einer linearen Funktion und einer Parabel: Egal welche Parabel man nimmt: irgendwann ist sie kleiner als die lineare Funktion, wenn man nur nah genug an die Nullstelle heranzoomt.


Aber auch nur wenn man näher an Null ran geht oder? Und beim Beispiel mit x^2 und x meinst du das Verschwindet weil das Quadrat kleiner zahlen an Null kleiner wird als die Identität der Zahlen oder?

2019-06-24 15:27 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 6 schreibt:
Hier zu beachten, dass der Grenzwert eben 0 sein soll, und nicht etwas anderes, wie bei der Nullstelle $k$-ter Ordnung.
Und das heißt per Definition des Limes:

\[\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0:\\
\forall x:\Vert x-u\Vert\leq\delta\textrm{ gilt:}\quad\frac{\Vert f(x)\Vert}{\Vert x-u\Vert^k}\leq\varepsilon\]
Hier ist doch aber wieder etwas kleiner gleich Epsilon und das wird doch nicht null oder?


2019-06-24 15:27 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 6 schreibt:
Jetzt kann man noch $h:=x-u$ substituieren und dann heißt es:

\[\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0:\\
\forall h\in B_\delta(u)\textrm{ gilt:}\quad\frac{\Vert f(x)\Vert}{\Vert h\Vert^k}\leq\varepsilon\]
Musst du hier nicht auch um es korrekt zu substituieren das x in der Funktion als u+h ausdrücken? Dann hätte man auch die komplette Gleichheit.


2019-06-24 15:27 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 6 schreibt:
Richtig. Die Idee bei der Differenzierbarkeit ist so: Man nehme eine Funktion $f$, und möchte sie an der Stelle $u$ möglichst gut durch eine andere Funktion $g$ annähern. Ein erster Ansatz wäre zu sagen: Wenn $f-g$ an der Stelle $u$ eine Nullstelle hat, dann sind sie dort gleich, also wird $f$ durch $g$ schonmal irgendwie angenähert. Aber nicht besonders gut: $f(x)=x$ und $g(x)=-x$ sehen sich so gar nicht ähnlich, obwohl $f(x)-g(x)=2x$ an der Stelle 0 eine Nullstelle hat. Man muss die Forderung also etwas verschärfen: Wenn $f-g$ eine Nullstelle von höherer Ordnung hat, dann ist die Näherung besser. Denn eine Nullstelle höherer Ordnung heißt, dass $f-g$ schneller gegen 0 geht, der Unterschied zwischen $f$ und $g$ wird also schneller klein.
Ahaa aber man könnte schon sagen es approximiert die Funktion ab 0. Ordnung, da aber beim Differenzieren ab 1. Ordnung geredet wird ist das keine gute Approximation oder?


2019-06-24 14:08 - iwanttolearnmathe in Beitrag No. 5 schreibt:
Also muss man die Bedingung, das die Funktion bei höherer als k-te Ordnung verschwindet so verstehen, dass sie an dieser Stelle h=0 null   fed-Code einblenden
k verschwindet oder das sie einfach bei einer Ordnung höher als k verschwindet, man weiß aber nicht genau welche bzw. müsste man das nachprüfen. Also kanns sein das sie bei 3 verschwindet aber be 4 nicht mehr?
Ich muss das nochmal aufgreifen, also bedeutet "verschwindet bei höherer Ordnung" das jetzt bei größer als das die Funktion verschwindet aber man weiß nicht fed-Code einblenden höhere k das ist aber das es höher ist als dieses k?


Ich hätte auch nochmal ne Frage zu etwas was in Ana1 gefunden habe:
fed-Code einblenden
Da frag ich mich jetzt wieso hat das was mit mindestens zu tun bei der ersten Definition wenn man nur ein Epsilon zulässt?

Viele viele Grüße Jan



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Vercassivelaunos
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\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}\)
Aber auch nur wenn man näher an Null ran geht oder? Und beim Beispiel mit x^2 und x meinst du das Verschwindet weil das Quadrat kleiner zahlen an Null kleiner wird als die Identität der Zahlen oder?

Bei einer rein linearen Funktion in dem Sinne, dass auch $f(0)=0$ gilt, dann ja, muss man näher an 0 herangehen. Aber das ist eben, weil dort die Nullstelle ist. Eine Funktion wie $x-a$ hat ihre Nullstelle bei $a$, und entsprechend müsste man möglichst nah an $a$ rangehen.
Das mit den Quadraten stimmt: Das Quadrat kleiner Zahlen wird schneller klein, als die Zahlen selbst. Das ist die Idee hinter dem Verschwinden höherer Ordnung: $x^2$ verschwindet von höherer Ordnung als $x$, eben weil Quadratzahlen schneller klein werden.

Hier ist doch aber wieder etwas kleiner gleich Epsilon und das wird doch nicht null oder?

Es wird nicht 0, kommt aber beliebig nah an 0 heran. Das ist ja gerade die Idee hinter einem Grenzwert. Kommt man beliebig nah an etwas heran, dann ist das der Limes. Aber vielleicht nochmal als Definition: $g(x)$ konvergiert für $x\to u$ gegen $a$ genau dann, wenn für alle $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$ existiert, sodass für alle $x\in B_\delta(u)$ gilt: $\Vert g(x)-a\Vert<\varepsilon$.
Und in unserem Fall ist halt $g(x)=\frac{\Vert f(x)\Vert}{\Vert x-u\Vert^k}$.

Musst du hier nicht auch um es korrekt zu substituieren das x in der Funktion als u+h ausdrücken? Dann hätte man auch die komplette Gleichheit.

Das stimmt, habe ich vergessen. Korrigiere ich gleich noch.

Ahaa aber man könnte schon sagen es approximiert die Funktion ab 0. Ordnung, da aber beim Differenzieren ab 1. Ordnung geredet wird ist das keine gute Approximation oder?
Fast richtig! Die "schlechte" Approximation ist von 1-ter Ordnung (oder: höher als 0-ter Ordnung). Die bessere Approximation, nämlich die Ableitung, soll von noch höherer Ordnung sein: 2-ter, oder zumindest höher als 1-ter.

Ich muss das nochmal aufgreifen, also bedeutet "verschwindet bei höherer Ordnung" das jetzt bei größer als das die Funktion verschwindet aber man weiß nicht fed-Code einblenden höhere k das ist aber das es höher ist als dieses k?
"Verschwinden von höherer Ordnung als $k$" heißt, dass $\Vert f(u+h)\Vert$ schneller gegen 0 geht, als $\Vert h\Vert^k$. Aber nicht unbedingt schneller als zum Beispiel $\Vert h\Vert^{k+1}$. Denn $\Vert h\Vert^{k+1}$ konvergiert ja auch schon schneller gegen 0 als $\Vert h\Vert^k$. Natürlich kann $\Vert f(u+h)\Vert$ auch noch schneller gegen 0 konvergieren, aber das kann man allein anhand der Tatsache, dass von höherer Ordnung als $k$ verschwindet nicht herauslesen.

Ich hätte auch nochmal ne Frage zu etwas was in Ana1 gefunden habe:
fed-Code einblenden
Da frag ich mich jetzt wieso hat das was mit mindestens zu tun bei der ersten Definition wenn man nur ein Epsilon zulässt?

Das ist ähnlich wie das Skalierungsproblem, das wir am Anfang besprochen hatten. Wenn lediglich ein $\varepsilon>0$ mit den gewünschten Eigenschaften existiert, die Eigenschaft aber nicht für alle $\varepsilon>0$ erfüllt ist, dann kann das auch heißen, dass die Funktion sich ähnlich verhält wie $\vert h\vert^k$. Zum Beispiel gibt es ein $\varepsilon>0$, sodass $\vert 2h\vert<\varepsilon\vert h\vert^1$ (nämlich $\varepsilon>2$). Und das passt ja, denn $2x$ ist linear, genauso wie $x$, sollten also auch von der selben Ordnung verschwinden. $x$ verschwindet von erster Ordnung, also sollte auch $2x$ von mindestens erster Ordnung verschwinden (in diesem Fall soll es sogar von genau erster Ordnung verschwinden, aber das ist ja auch mit in "mindestens" enthalten).
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hallo  smile

Ach alles gut musst du nicht ergänzen, wenn man das hier sich durchliest wird das schon auffallen.

2019-06-26 01:26 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 8 schreibt:

Ahaa aber man könnte schon sagen es approximiert die Funktion ab 0. Ordnung, da aber beim Differenzieren ab 1. Ordnung geredet wird ist das keine gute Approximation oder?
Fast richtig! Die "schlechte" Approximation ist von 1-ter Ordnung (oder: höher als 0-ter Ordnung). Die bessere Approximation, nämlich die Ableitung, soll von noch höherer Ordnung sein: 2-ter, oder zumindest höher als 1-ter.

Okaaaay jetzt bin ich etwwaas verwirrt, beim Differnezieren muss es dann heißen das es fed-Code einblenden als erster Ordnung sein muss, also z.b. 2. Ordnung...

Dann schriebst du aber das "verschwindet von höherer Ordnung als k-te Ordnung" nicht bedeutet das es bei höheren k gegen null geht, die Begründung versteh ich, die ist plausibel, aber bei Differenzierbarkeit ist doch einfach nur "verschwindet von höherer als 1-te Ordnung" das k durch eine 1 ersetzt,

also warum sagt man nun das es hier bei Diffbarkeit fed-Code einblenden als 1. Ordnung ist aber man wenn man ein allgemeines k nimmt dann nicht mehr mit "höherer als k-te Ordnung" wirklich ein höheres k meint? Verstehst du was ich meine?



2019-06-26 01:26 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 8 schreibt:
Das ist ähnlich wie das Skalierungsproblem, das wir am Anfang besprochen hatten. Wenn lediglich ein $\varepsilon>0$ mit den gewünschten Eigenschaften existiert, die Eigenschaft aber nicht für alle $\varepsilon>0$ erfüllt ist, dann kann das auch heißen, dass die Funktion sich ähnlich verhält wie $\vert h\vert^k$. Zum Beispiel gibt es ein $\varepsilon>0$, sodass $\vert 2h\vert<\varepsilon\vert h\vert^1$ (nämlich $\varepsilon>2$). Und das passt ja, denn $2x$ ist linear, genauso wie $x$, sollten also auch von der selben Ordnung verschwinden. $x$ verschwindet von erster Ordnung, also sollte auch $2x$ von mindestens erster Ordnung verschwinden (in diesem Fall soll es sogar von genau erster Ordnung verschwinden, aber das ist ja auch mit in "mindestens" enthalten).
hmm okay das ist so weil das Epsilon, egal welches dann dazu führt das die Funktion doch verschwindet wenn man sie vernünftig skaliert? Aber was genau hat das dann mit "mindestens k-ter Ordnung" zu tun.... Ich glaube mir fehlt da irgendwie ein Detail im Verständnis, sry für die gleichen Fragen immer..



Beste Grüße Jan



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Okaaaay jetzt bin ich etwwaas verwirrt, beim Differnezieren muss es dann heißen das es höher als erster Ordnung sein muss, also z.b. 2. Ordnung...

Dann schriebst du aber das "verschwindet von höherer Ordnung als k-te Ordnung" nicht bedeutet das es bei höheren k gegen null geht, die Begründung versteh ich, die ist plausibel, aber bei Differenzierbarkeit ist doch einfach nur "verschwindet von höherer als 1-te Ordnung" das k durch eine 1 ersetzt,

also warum sagt man nun das es hier bei Diffbarkeit höher als 1. Ordnung ist aber man wenn man ein allgemeines k nimmt dann nicht mehr mit "höherer als k-te Ordnung" wirklich ein höheres k meint? Verstehst du was ich meine?

Also es ist so: wenn man nur nah genug an 0 herangeht, dann ist

\[\dots\leq\Vert h\Vert^3\leq\Vert h\Vert^2\leq\Vert h\Vert^1.\]
Wenn jetzt $\Vert f(u+h)\Vert$ schneller als $\Vert h\Vert^2$ verschwindet (formal: $\Vert f(u+h)\Vert\leq\Vert h\Vert^2$), dann kann man daraus nur schließen, dass es auch schneller als $\Vert h\Vert^1$ verschwindet, aber nicht, dass es schneller als $\Vert h\Vert^3$ verschwindet. Denn sowohl $\Vert f(u+h)\Vert$, als auch $\Vert h\Vert^3$ gehen schneller als $\Vert h\Vert^2$ gegen 0. Aber welches von beiden am schnellsten gegen 0 geht, das kann man aus dieser Information nicht ablesen. Wenn also $f$ von höherer Ordnung als $k$ verschwindet, dann weiß man nur, dass auch von höherer Ordnung als $l<k$ verschwindet. Man weiß aber nicht, ob es auch von höherer Ordnung als $m>k$ verschwindet.
Ich mach das Differenzieren mal an einem Beispiel: $f(x)=1+x+x^2$. Man möchte nun schauen, ob $f$ an der Stelle $u=0$ differenzierbar ist. Das ist genau dann der Fall, wenn es eine Zahl $a$ (das ist die Ableitung) gibt, sodass $f(x)-f(0)-ax$ schneller als linear gegen 0 konvergiert. Die Idee ist, dass $f(0)-ax$ der lineare Anteil von $f$ ist, und wenn man den abzieht, dann sollte es schneller als linear gegen 0 konvergieren. Linear gegen 0 konvergieren ist Verschwinden von Ordnung 1. Schneller als linear heißt von Ordnung höher als 1. Wenn man hier $a=1$ setzt, dann ist

\[f(x)-f(0)-ax=1+x+x^2-1-x=x^2.\]
Das verschwindet von Ordnung 2 (da es ein rein quadratischer Ausdruck ist), also von Ordnung höher als 1.

hmm okay das ist so weil das Epsilon, egal welches dann dazu führt das die Funktion doch verschwindet wenn man sie vernünftig skaliert? Aber was genau hat das dann mit "mindestens k-ter Ordnung" zu tun.... Ich glaube mir fehlt da irgendwie ein Detail im Verständnis, sry für die gleichen Fragen immer..

Wenn $f(h)$ für $h\to0$ langsamer gegen 0 ginge, als $\Vert h\Vert^k$, dann wäre $\varepsilon\Vert h\Vert^k$ irgendwann immer kleiner als $\Vert f(h)\Vert$, wenn man nur nah genug an 0 herangeht. Und zwar für alle $\varepsilon$. Das heißt, die Ungleichung

\[\Vert f(h)\Vert\leq\varepsilon\Vert h\Vert^k\]
würde für kein $\varepsilon$ gelten, egal wie nah $h$ an 0 herankommt.
"Mindestens gleich schnell wie $\Vert h\Vert^k$" (also von mindestens Ordnung $k$) ist das logische Gegenteil von "langsamer als $\Vert h\Vert^k$". Das logische Gegenteil von "Ungleichung gilt für kein $\varepsilon$" ist einfach "Ungleichung gilt für mindestens ein $\varepsilon$".
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Oh Gott bin ich dumm....natürlich man wieso war ich so blind... tut mir leid wenn ich damit so genervt hab jetzt machts sinn.

Vielen vielen dank  smile



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Dafür ist das Forum ja da, also kein Problem ;)



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