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Logik, Mengen & Beweistechnik » Aussagenlogik » Bisubjunktionen
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Universität/Hochschule J Bisubjunktionen
Ch0wde
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-21


Hallo Leute,
ich habe folgende Aussagen:

A1: Für jede natürliche Zahl \(n\) gilt: \(n\) ist genau dann durch 18 teilbar, wenn \(n\) durch 2 und durch 9 teilbar ist.
A2: Für jede natürliche Zahl \(n\) gilt: \(n\) ist genau dann durch 18 teilbar, wenn \(n\) durch 3 und durch 6 teilbar ist.

A2 soll mit Gegenbeispiel widerlegt werden. Ich habe nun überlegt, dass A1 (falls wahr) A2 widerlegt, da nur eins von beiden wahr sein kann, weil es sich um Bisubjunktionen handelt.

Ich splitte die Bisubjunktion aus A2 auf in zwei durch UND verbundene Subjunktionen:
\[
(3 \mid n) \land (6 \mid n) \Rightarrow 18 \mid n \\
18 \mid n \Rightarrow (3 \mid n) \land (6 \mid n)
\]
Allgemein gesagt habe ich nun also
\[
A_{2} \Leftrightarrow B
\] Die Aussage enthält die Subjunktionen:
\[
A_{2} \Rightarrow B \land B \Rightarrow A_{2}
\]
Nehme ich nun die erste Aussage A1:
\[
A_{1} \Leftrightarrow B
\] Die Aussage enthält die Subjunktionen:
\[
A_{1} \Rightarrow B \land B \Rightarrow A_{1}
\]
Reicht es zu zeigen, dass \[(A_{2} \Rightarrow B \land B \Rightarrow A_{1}) \land (A_{1} \Rightarrow B \land B \Rightarrow A_{1})\]
sich gegenseitig ausschließen? Ist das überhaupt so? Ich habe mir das so überlegt:
Seien
\(A_{1} \Rightarrow B\): "Wenn es regnet, dann ist die Straße nass."
\(B \Rightarrow A_{1}\): "Wenn die Straße nass ist, dann hat es geregnet."
\(A_{2} \Rightarrow B\): "Wenn jemand einen Eimer auskippt, dann ist die Straße nass."
\(B \Rightarrow A_{2}\): "Wenn die Straße nass ist, hat jemand einen Eimer ausgekippt."

\(B \Rightarrow A_{1}\) und \(B \Rightarrow A_{2}\) widersprechen sich, oder?

Falls ja, kann ich im Bezug auf die Fragestellung beantworten:
\(18 \mid 18 \Rightarrow (3 \mid 18) \land (6 \mid 18)\) und gleichzeitig gilt auch \(18 \mid 18 \Rightarrow (2 \mid 18) \land (9 \mid 18)\), was ein Widerspruch ist.



Ich weiß, dass eine Gdw-Aussage keine weiteren Fälle zulässt. Aber liegt das, wie oben beschrieben daran, dass aus der \(B\)-Aussage nicht zwei unterschiedliche Aussagen folgen können?



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egf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-21


2019-06-21 00:33 - Ch0wde im Themenstart schreibt:
A1: Für jede natürliche Zahl \(n\) gilt: \(n\) ist genau dann durch 18 teilbar, wenn \(n\) durch 2 und durch 9 teilbar ist.
A2: Für jede natürliche Zahl \(n\) gilt: \(n\) ist genau dann durch 18 teilbar, wenn \(n\) durch 3 und durch 6 teilbar ist.

A2 soll mit Gegenbeispiel widerlegt werden.

Ich würde dann auch versuchen, ein Gegenbeispiel zu finden. Überlege das vielleicht am Besten anhand der Primfaktorzerlegung von $n$.

A1 stimmt übrigens tatsächlich. Aber deine Schlussfolgerungen sind falsch. Nimm zum Beispiel:
B1: Für alle $n \in \mathbb{N}$: $n$ ist genau dann durch 30 Teilbar, wenn $n$ durch 5 und durch 6 teilbar ist.
B2: Für alle $n \in \mathbb{N}$: $n$ ist genau dann durch 30 Teilbar, wenn $n$ durch 3 und durch 10 teilbar ist.
Hier wären beide Aussagen war.

Grüsse



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Ch0wde
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-21


Aber sagt "genau-dann-wenn" nicht aus, dass es keine weiteren Fälle mehr außer die in der Äquivalenz gibt?



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egf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-21


Naja, nein. Du kannst die Äquivalenz ja gewissermassen anders "darstellen" / einen "anderen Aspekt" nehmen. Ich bin nicht gut mit metasprachlichen Beispielen aber vielleich hilft sowas:

Ich heisse Rumpelstilzchen, g.d.w. meine Name aus "Rumpelstil" und "zchen" in dieser Reihenfolge konkateniert werden.
Ich heisse Rumpelstilzchen, g.d.w. meine Name aus "Rump" und "elstilzchen" in dieser Reihenfolge konkateniert werden.
 smile



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Ch0wde
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-21


Ich verstehe. Die Äquivalenz sagt nur etwas über die Beziehung zwischen A und B aus, aber nichts über die Beziehung zwischen A und C, stimmts?

Aber warum geht dann Folgendes nicht?

\(A_{1} \Rightarrow B\): "Wenn es regnet, dann ist die Straße nass."
\(B \Rightarrow A_{1}\): "Wenn die Straße nass ist, dann hat es geregnet."
\(A_{2} \Rightarrow B\): "Wenn jemand einen Eimer auskippt, dann ist die Straße nass."
\(B \Rightarrow A_{2}\): "Wenn die Straße nass ist, hat jemand einen Eimer ausgekippt."

Offensichtlich stimmt entweder \(B \Rightarrow A_{1}\) oder \(B \Rightarrow A_{2}\) nicht.



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egf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-21


2019-06-21 02:01 - Ch0wde in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich verstehe. Die Äquivalenz sagt nur etwas über die Beziehung zwischen A und B aus, aber nichts über die Beziehung zwischen A und C, stimmts?
Ja.

2019-06-21 02:01 - Ch0wde in Beitrag No. 4 schreibt:
Aber warum geht dann Folgendes nicht?

\(A_{1} \Rightarrow B\): "Wenn es regnet, dann ist die Straße nass."
\(B \Rightarrow A_{1}\): "Wenn die Straße nass ist, dann hat es geregnet."
\(A_{2} \Rightarrow B\): "Wenn jemand einen Eimer auskippt, dann ist die Straße nass."
\(B \Rightarrow A_{2}\): "Wenn die Straße nass ist, hat jemand einen Eimer ausgekippt."

Offensichtlich stimmt entweder \(B \Rightarrow A_{1}\) oder \(B \Rightarrow A_{2}\) nicht.
Ist denn "Wenn die Straße nass ist, hat jemand einen Eimer ausgekippt." zwingend?
Äquivalenz ist transitiv, es müsste also auch gelten:
"Wenn es regnet, dann hat Jemand einen Eimer ausgekippt" und
"Wenn Jemand einen Eimer auskippt, dann regnet es".




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