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Physik » Physikalisches Praktikum » Mittelwerte bei Nullratenbestimmung
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Schule J Mittelwerte bei Nullratenbestimmung
carpe_noctem
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-22


Liebes Forum,

vielleicht mache ich mir das Leben schwerer, als es ist - bin aber sehr verwirrt und hoffe auf hilfreiche Erklärungen von sortierteren Menschen. :)

Angenommen, es soll in einem Vorversuch zu einem Experiment mit einem radioaktiven Präparat zunächst die Nullrate am Laborplatz bestimmt werden. Dafür wurden mehrfach mit einem GM-Zählrohr die Impulse innerhalb bestimmter - allerdings unterschiedlich langer! - Zeiträume gemessen.

Wie geht man nun richtig vor:

Variante a) Man bestimmt erst für jede Messung die Nullrate in Impulsen pro Zeit und mittelt anschließend die Ergebnisse, indem man sie addiert und durch die Anzahl der Messungen teilt.

Variante b) Man addiert alle Impulszahlen und alle Zeitspannen und bildet den Quotient.

Beispiel:
Bei Messung 1 wurden in 2 min insgesamt 16 Impulse gemessen.
Bei Messung 2 wurden in 1 min insgesamt 10 Impulse gemessen.
Bei Messung 3 wurden in 5 min insgesamt 40 Impulse gemessen.

Nach Variante a) erhält man (8 + 10 + 8):3 Impulse pro min, also etwa 8,7 Impulse pro Minute.

Nach Variante b) erhält man (16+10+40):(2+1+5) Impulse pro min, also 8,25 Impulse pro Minute.


Welche Vorgehensweise ist physikalisch und statistisch betrachtet die Richtige? Meine Recherchen führten zu einer "Lost in cyberspace"-Erfahrung, ich ertappte mich gerade bei stundenlanger Lektüre über das Simpson-Paradoxon...


Liebe Grüße
carpe_noctem




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zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-22


Hallo carpe_noctem,

der Meßwert für die Nullrate hat eine Varianz, die vom Meßzeitraum anhängt: Je länger gemessen wird, desto kleiner ist die Varianz, d.h. desto "genauer" ist der Wert.

Bei Variante (b) erhältst du einen Wert, dessen Varianz dem einer Messung  über einen Zeitraum von 8 Minuten entspricht.

Bei Variante (a) wirfst du Werte mit ganz unterschiedlichen Varianzen in einen Topf und bildest den Mittelwert. Damit hat das Ergebnis eine Varianz, die sicher größer als für das Ergebnis von Methode (b) ist.

--zippy


Ergänzung: Wenn $X_i$ die Zahl der Impulse bei der $i$-ten Messung und $\tau_i$ den zugehörigen Meßzeitraum bezeichnen, lauten die Ergebnisse für die Nullrate bei den beiden Methoden$$ \Lambda_b=\frac{\sum_iX_i}{\sum_i\tau_i} \;,\quad
\Lambda_a=\frac13\sum_i\frac{X_i}{\tau_i}
$$Wenn $\lambda$ die tatsächlich Nullrate bezeichnet, sind die Varianzen der beiden Ergebnisse$$ \operatorname{Var}(\Lambda_b)=
\frac\lambda{\sum_i\tau_i}=0\mathord,125\cdot\lambda \;,\quad
\operatorname{Var}(\Lambda_a)=
\frac19\sum_i\frac\lambda{\tau_i}\approx0\mathord,189\cdot\lambda$$



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carpe_noctem
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-22


Liebe(r) zippy,

herzlichen Dank für deine schnelle und ausführliche Antwort! Vor allem bin ich dankbar für die gute Erläuterung - das hilft mir viel mehr, als wenn du lediglich die Entscheidung für b) genannt hättest.

Viele Grüße
carpe_noctem



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