Die Mathe-Redaktion - 24.08.2019 16:09 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAnmeldung MPCT Sept.
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 430 Gäste und 23 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » Theorie der Gew. DGL » Ein Schwingungsgleichungsproblem
Druckversion
Druckversion
Autor
Beruf J Ein Schwingungsgleichungsproblem
sulky
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1334
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-22


Hallo Zusammen,

Bei folgender Aufgabe stehe ich an:

Man betrachte die DG $x"+sin(x)=0$
Nun sei $y"=-y$, $y(0)=a$, $y'(0)=0$ das dazugehörige linearisierte System.
Zeige dass $Z$, definiert durch $Z=(x-y,x'-y')^t$  ein System erster Ordnung erfüllt von der Form: $Z'=AZ(t)+B(t)$ wobei $A$ antisymetrisch ist. Folgere nun dass für alle $t$ gilt: $|x(t)-y(t)|\le\frac{a^3}{6}|t|$


Die Aufgabenstellung ist abgekürzt.

Nun geht die Musterlösung so vor, dass
$Z'=\begin{pmatrix}
 0 & -1\\
 1 & 0
\end{pmatrix} Z +

\begin{pmatrix}
 0 \\
 -sin(x)+y
\end{pmatrix}$


Im weiteren Verlauf der Aufgabe wird dann $Z$ dargestellt durch die übliche Formel für eine DG des Typs $x'=a(t)x + b(t)$


Aber genau dies kann ich mit der gelernten Theorie einfach nicht in Einklang bringen.
Schlisslich ist ja $B(t)$ nicht (oder nur indirekt) von $t$ sondern von $x$ abhängig, wodurch ich sowohl die Hypothesen der Auflöseformel, als auch die die Hypothesen der Aufgabenstellung verletzt sehe.


wer kann da helfen?







  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
haerter
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1561
Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-23


Hallo,

ein "Standardargument" für diese Situation geht so:
Wir betrachten die nichtlineare DGL <math>x""(t)+\sin(x(t))=0</math> und die linearisierte DGL <math>y""(t)+y(t)=0</math> jeweils zu einem festen(!) Anfangswert <math>x(0)=y(0)=a</math>, <math>x"(0)=y"(0)=0</math>.
Dann löst <math>Z=(x-y,x"-y")</math> die angegebene DGL mit der Anfangsbedingung <math>Z(0)=(0,0)</math>. Man betrachtet nun die Inhomogenität

<math>b(t)= \begin{pmatrix}
0 \\
-sin(x(t))+y(t)
\end{pmatrix}</math>

als eine Funktion von <math>t</math> und "vergisst", dass sie eigentlich von <math>x</math> und <math>y</math> abhängt. Mit anderen Worten, für verschiedene Anfangsbedingungen der Original-DGL bekommt man verschiedene Inhomogenitäten <math>b(t)</math>. Der Vorteil ist, dass man nun zum Beispiel die Variation-der-Konstanten-Formel für inhomogene lineare DGL

<math>\displaystyle Z"=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix} Z + b(t)</math>

anwenden kann und Schlussfolgerungen über die Lösung <math>Z(t)</math> damit treffen darf. Wegen der Existenz- und Eindeutigkeit von Lösungen gelten diese Aussagen dann auch für die nichtlineare DGL

<math>\displaystyle Z"=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix} Z + \begin{pmatrix}
0 \\
-sin(x(t))+y(t)
\end{pmatrix}</math>.

Viele Grüße,
haerter



-----------------
"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 584
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-23


2019-06-22 23:30 - sulky im Themenstart schreibt:
$Z'=\begin{pmatrix}
 0 & -1\\
 1 & 0
\end{pmatrix} Z +

\begin{pmatrix}
 0 \\
 -sin(x)+y
\end{pmatrix}$

Wenn das stimmt, was du weiter oben geschrieben hast, müsste diese Gleichung eigentlich so lauten:$$Z'=\begin{pmatrix}
 0 & \color{red}+1\\ \color{red}-1 & 0 \end{pmatrix} Z +
\begin{pmatrix} 0 \\ -\sin(x)+\color{red}x \end{pmatrix}$$



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
sulky
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1334
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-23


Ja, Vielen Dank Haerter und Zippy,

Ja, ich war ein wenig verwirrt, x und y in b(t) anzutreffen.
Genauso, wie Haerter dies beschreibt war es wohl auch im Sinne des
Aufgabenstellers.


@Zippy, ja, ist mir auch aufgefallen, dort stimmt noch was nicht.




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
sulky hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sulky hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]