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Mathematik » Topologie » Fundamentalgruppe von S1
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Universität/Hochschule J Fundamentalgruppe von S1
Benutzermane
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-23


Hallo

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabenstellung:

Sei $f:S^1 \rightarrow S^1$ stetig. Weiter sei $h: [0,1] \rightarrow S^1$ ein Weg von $1$ nach $f(1)$. Betrachte die Komposition

$\pi_1(S^1,1) \rightarrow \pi_1(S^1,f(1)) \rightarrow \pi_1(S^1,1)$

von $f_*$ mit der Abbildung, die durch Konjugation definiert ist. Identifiziert man $\pi_1(S^1,1)$ mit $\mathbb{Z}$, so erhält man einen Gruppenhomomorphismus $d(f): \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$

Zeige:
1) der Homomorphismus $d(f)$ ist unabhängig von der Wahl des Weges $h$
2) Jeder Homomorphismus $\mathbb{Z} \rightarrow  \mathbb{Z}$ ist durch Multiplikation mit einer ganzen Zahl gegeben



Was genau ist der zweite Teil der Abbildung, also $\pi_1(S^1,f(1)) \rightarrow \pi_1(S^1,1)$ ? Was ist die Abbildung, die durch Konjugation definiert ist? Da muss ja irgendwie der Weg $h$ mit rein, aber ich verstehe es nicht.


lg



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-24


Hallo,

sei $\gamma\in \Pi_1(S^1, f(1))$, also ein Weg von $f(1)$ nach $f(1)$. Konjuation von $\gamma$ duch $h$, also $\gamma\mapsto h\ast\gamma\ast h^{-1}$ ergibt einen Weg, der von $1$ nach $1$ verläuft. (Beachte, dass die Verknüpfung von Wegen von links nach rechts gelesen wird)

Viele Grüße



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Benutzermane
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-25


danke!



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