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Gewöhnliche DGL » Theorie der Gew. DGL » Eine Musterlösung erstellen
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Beruf Eine Musterlösung erstellen
sulky
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-23


Hallo Zusammen,

Ich habe den unangenehmen Job gefasst, eine Musterlösung zu schreiben zu einer Prüfung, welche ich selber verbockt habe.

Bevor ich aber meine eigene Musterlösung an alle Mitstudierenden sende, wäre ich sehr dankbar hier aus MP noch einige Tipps und allfällige Korrekturen zu bekommen.

Selbst wenn meine Verschläge korrekt sind, dann wäre ich dennoch dankbar um Tipps.



Aufgabe 4 (2+1+1+1+2+1+1=9 Punkte). Seien a und b zwei reelle Zahlen.
Sei $f:(a,b)\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ eine stetige Abbildung s.d für jede Kompakte Teilmenge $K$ von $\mathbb{R}^n $existiert $F:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$, stetig sodass

$\|f(t,x)\|\le F(\|x\|)$

und für jedes $c \ge 0$  $\int_c^\infty \frac{ds}{F(s)} = \infty$

Weiter sei vorauszusetzen dass f lipschitzstetig ist bezüglich seiner zweiten Variablen.

Sei $(]T^-,T^+[,x)$  eine maximale Lösung von $x'=f(t,x)$



Teilaufgabe 1:
Sei $r(t)=\|x\|$ wobei $\|\cdot\|$ die euklidische Norm bezeichnet.
Berechne die Ableitung von $r^2$ in Funktion von $x(t)$ und $f(t,x(t))$.


Lösungsvorschlag:
Man verwendet die Definition der Euklidischen Norm.
$\frac{dr^2}{dt}=2r\cdot r'= 2r \frac{d \sqrt{x_1^2+...+x_n^2}}{dt}=2r \frac{2x_1\cdot x_1'+...+2x_n\cdot x_n'}{2\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}}=2r\frac{2x^t\cdot x'}{2r}=2x^t\cdot f$


Teilaufgabe 2:
Zeige dass
$r(t)r'(t)\le r(t)|f(t,x(t))|$
für alle $t\in ]T^-,T^+[$.


Lösungsvorschlag: Vermutlich ist hier ein Fehler in der Aufgabenstellung. Gemeint wär wohl $\|f(t,x(t))\|$ anstatt $|f(t,x(t))|$
Nun kann man hier die Ungleichung von Cauchy-Schwarz verwenden denn
$x^t f$ ist ein Skalarprodukt.

$r\cdot r'= \frac{1}{2} 2r\cdot r' = \frac{1}{2}\frac{dr^2}{dt}= \frac{1}{2} 2 x^t \cdot f\le  \|x(t)\|\cdot \|f(t,x(t))\| =r(t)|f(t,x(t))| $


Bin Dankbar um jeden Tipp



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Tetris
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-23


Bitte denk doch auch einmal über die Rechtschreibung nach...

Lg, T.



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sulky
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Dabei seit: 21.12.2009
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-23


hallo tetris,

Also die Rechtschreibung ist egal. Die Aufgabenstellung ist auf Französisch und schlussendlich verfasse ich die Musterlösung auch wieder auf französisch.

Aber hast schon recht. Mein deutsch ist nicht so super



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haerter
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Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-25


Hallo sulky,

bei Teilaufgabe 1 würde ich wohl <math>r^2(t)=\sum x_j^2(t)</math> ableiten, um die Wurzel zu vermeiden. Dann kann auch niemand meckern, wenn man <math>r=0</math> bzw. <math>x=0</math> nicht gesondert betrachtet.

Teilaufgabe 2 sieht gut aus, allerdings hast Du auch einmal <math>|f(t,x)|</math> statt <math>\|f(t,x)\|</math> geschrieben.

Gruß,
haerter


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"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-26


hallo haerter,

vielen dank für den tipp.

ja, bei 1) sehe ich es jetzt auch. Dort ist eine nennernullstelle bei x=0.


Bei 2) Kann es sein, dass dort ein Fehler in der Aufgabenstellung vorliegt? ich verstehe nicht was $|f(t,x(t))|$ bedeutet da f eine Funktion nach $\mathbb{R}^3$ ist.


Ich fange an mich zu fragen weshalb ich die Prüfung verhauen habe. War doch alles Punktewürdig. Mag daran gelegen haben, dass mir für diese Aufgabe noch 3 Minuten geblieben sind und ich mich erinnere, was für ein "Tintengeschmier" auf dem Blatt war und ich dachte: "hoffentlich kann der das lesen...   Offensichtlich konnte er es nicht lesen.



Teilaufgabe 3)
Sei $T^+ < b$ vorauszusetzen. Zeige dass $lim_{t\nearrow T^+} r(t)=+\infty$


Lösungsvorschlag:
Dies ist eine direkte Folgerung der zweiten Aussage des Satzes von Picard Lindelöf  (oder Cauchy Lipschitz), nämlich dass
$\mathcal{E}(I,x)\cap \Omega =  \emptyset$

Sei $\Omega = ]T^-,T^+[\times \mathbb{R}^n$. Weil aber $(]T^-,T^+[,x)$ in der Aufgabenstellung als maximale Lösung gegeben ist, muss gelten dass
$lim_{t\nearrow T^+}(t,x(t))\notin \Omega$ und folglich $lim_{t\nearrow T^+} \|x(t)\|=+\infty$





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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-26


Hallo,

genau das hatte ich bei 2) gemeint: Überall wo <math>|f(t,x(t))|</math> steht, sollte eigentlich <math>\|f(t,x(t))\|</math> stehen (auch in der Aufgabenstellung).

Bei 3) verstehe ich zwar Deine Notation nicht, aber das Argument wird schon passen. Das sollte jedenfalls durch Verweis auf einen Satz der Vorlesung zu erledigen sein (vermutlich nicht direkt Picard-Lindelöf, weil der in der üblichen Version nur etwas zur lokalen Existenz und Eindeutigkeit aussagt).

Viele Grüße,
haerter

P.S.: Es wird doch vermutlich eine Klausureinsicht geben, da kannst Du doch schauen, wie viele Punkte für die einzelnen Aufgaben gegeben wurden. In Deutschland hättest Du da einen Anspruch darauf.


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-26


Hallo Haerter,

Möglicherweise habe ich versehentlich "submit" anstatt "vorschau" geklickt. So hasst du meine Frage beantwortet noch bevor ich sie fertig geschrieben habe.

Ja eine Klausureinsicht gäbe es schon. Allerdings müsste ich dazu 450Km zur Uni fahren.

Wenn der Professor mein "Geschmier" nicht akzeptiert hat, dann hätte ich für eine Einsprache auch keine Argumente. Es ist verständlich wenn er das nicht lesen konnte und daher keine Punkte gab. Es war leider so, dass ich bei einer vorhergehenden Aufgabe hängengeblieben bin. Für diese letzte Aufgabe, welche 9 Punkte gab blieben mir noch wenige Minuten.

Dies tut jetzt natürlich etwas weh, wenn ich sehe, dass ich auch damals unter Prüfungsstress die richtigen Lösungswege erkannt hätte.









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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-28


Also hier bin ich echt unsicher.
Zumindest ist dies Mathematisch nicht ganz sauber.

Gemäss Wikipedia ist auch eine Norm nichts anderes als eine Funktion.
Der Wertebereich einer Normfunktion ist angegeben mit $\mathbb{R}_0^+$ und nicht etwa mit
$\mathbb{R}_0^+ \cup +\infty$.

Eine Norm auf $\mathbb{R}^3$ könnte somit wie jede andere Funktion angegeben werden als:
$\|\cdot\|:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}_0^+$.

wenn nun aber $lim_{t\to \infty}x(t)$ nicht mehr ein Element von $\mathbb{R}^3$ ist, dann liegt es ausserhalb des Definitionsbereiches von $\|\cdot\|$ und ebenso liegt $+\infty$ ausserhalb des Wertebereiches von
$\|\cdot\|$.


Irgendwie ist dies eine Unklarheit, welche mich seit Studienbeginn begleitet. So oft schon habe ich hier auf MP zu diesem Thema Hilfe erhalten.

Aber immer wieder die Frage wie damit umzugehen ist, wenn ein Funktionsargument nicht im Definitionsbereich liegt.

Also meiner Meinung nach ergibt $\|\infty\|$ den Wert "error" und nicht etwa $\infty$.


Wer kann mir helfen, diesen Knopf mal grundsätzlich zu lösen?



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-07-03


Hallo,

es liegt möglicherweise daran, dass Du nochmal über die Definition uneigentlicher Grenzwerte nachdenken und davon eine bessere anschauliche Vorstellung entwickeln musst.
Es wird ja nirgends behauptet, dass die Norm von etwas unendlich wird,
sondern da steht <math>\lim\limits_{t\nearrow T_+}\|x(t)\|=+\infty</math>.

Stur nach Definition heißt das, dass es zu jedem <math>C>0</math> ein <math>\varepsilon>0</math> gibt, so dass <math>\|x(t)\|>C </math> ist für <math>T_+-\varepsilon<t<T_+</math>. Hier sind alle beteiligten Größen endlich.

Viele Grüße,
haerter


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-05


Hallo Herter,

Ich glaube das Thema mit dem Grenzwert ist zwar hoch interessant, weicht aber vom Thema ab.
Hier habe ich irgendwie einen Knopf und die Aufgabenstellung ist schon korrekt.


Aber stimmt meine Begründung soweit weshalb $r(t)$ gegen unendlich geht.
Falls ja, dann verstehe ich nun wirklich bald nicht mehr, weshalb ich so eine schlechte Note hatte.

Ich erinnere mich genau, wie ich versuchte zu erkennen, weshalb $r(t)$ monoton steigend sein muss. Erst nach wiederholtem lesen der Aufgabenstellung fokussierte ich mich auf das Wort "Maximale Lösung".

Wissend dass die Lösung maximal ist, gilt $\mathcal{E}(I,x)\cup \Omega = \emptyset$ und alle Lösungen ausser $+\infty$ sind ausgeschlossen.


Stimmt diese überlegung.
Ist natürlich schon möglich, dass ich neben der tickenden Uhr nicht mehr fähig war dies verständlich aufs Papier zu bringen.
Allerdings sind meine bisherigen Erfahrungen aus dem Studium gegenteilig. Wenn ich an einer Prüfung etwas richtig verstanden habe, dann
dann geben die profs auch die Punkte, selbst wenn nicht alles korrekt wiedergegeben ist. Die Profs wissen auch, dass es unter Prüfungsbedingungen schwieriger ist und drücken mal ein Auge zu.




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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-27 21:58


Hallo zusammen, Ich brauche da  nochmals Hilfe.

Teilaufgabe 4:

Angenommen $T^+ < b$ Zeige dass es existiert $t^* \in (T^-,T^+)$, sodass für alle $t \in [t^+,T^+[$

$r'(t)\le \|f(t,x(t))\|\le F(r(t))$


Ich habe da einfach überhaupt keine Idee und brauche Hilfe.

Die erste Ungleichung ist ja identisch mit Teilaufgabe 2.
Ist dies ein versteckter "Tipp" oder was meint der Aufgabensteller damit?

Die zweite Ungleichung steht ja schon im Aufgabentext. Allerdings mit der Nebenbedingung "kompakt". $[t^*,T^+[$ ist ja eben nicht kompakt.
Jetzt muss man zeigen, dass die Ungleichung aus irgend einem grund auch hier erfüllt ist.

Ich habe keine Idee und brauche Hilfe



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