Die Mathe-Redaktion - 15.11.2019 21:02 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 693 Gäste und 16 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von John_Matrix PhysikRabe
Physik » Mathematische Physik » Spin - Ein paar (mathematische) Fragen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Spin - Ein paar (mathematische) Fragen
Neymar
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 642
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-26


Hallo alle zusammen.

Die Spin-Operatoren $S_j$ wirken auf dem Hilbertraum $\mathbb{C}^2$, habe ich in einem Lehrbuch und in unserem Skript nachgelesen.

(i) Also so, wie ich es verstehe, bedeutet das: $S_j: \mathbb{C}^2 \rightarrow \mathbb{C}^2, \Psi \mapsto S_j \Psi$. Wenn wir nun die Standardbasis $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $e_2 = \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}$, wählen, dann schreiben wir z.B. $S_x = \frac{\hbar}{2}\sigma_x$, wobei $\sigma_x$ eine Pauli-Matrix sei.

Aber weiß ich denn, dass $S_x$ linear ist. Oder woher weiß ich dann die Wirkung meines Spinoperators $S_x$ auf beliebige Elemente von $\mathbb{C}^2$?  

(ii) Woher weiß ich, dass ich $S_x$ gerade so wählen muss? Im dem mathematisch orientierten Buch scheint es eher eine Konsequenz zu sein aus den Vertauschungsrelationen zu sein!?

(iii) Also $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ ist ja schon $\in \mathbb{R}^2$. Ist dies kein Widerspruch?


Gruß,
Neymar



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
wessi90
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.09.2011
Mitteilungen: 2031
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-26


Lineare Abbildungen auf endlich dimensionalen Vektorräumen werden ja gerade dargestellt durch Matrizen. Linearität ist somit klar.

Warum die so aussehen? Man sucht eine Darstellung der Drehimpulsalgebra auf dem Raum $\mathbb{C}^2$. Das sind eben gerade die Pauli-Matrizen.

Es ist $(1,0)\in\mathbb{C}^2$, genauso wie $1\in\mathbb{C}$ gilt. Die komplexen Zahlen enthalten die reellen und man betrachtet $\mathbb{C}^2$ hier wie üblich als einen Vektorraum über dem Körper $\mathbb{C}$.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 627
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-26

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}\)
Hallo Neymar,

(i) Physikalische Messgrößen sind immer lineare Operatoren. Denn man muss einen Zustand $\ket\Psi$ in Eigenzustände vom Operator $A$ zerlegen und den Operator einzeln auf die Eigenzustände anwenden dürfen, um sinnvoll Erwartungswerte per Skalarprodukt zu berechnen. Also wenn

\[\ket\Psi=c_1\ket{\psi_1}+\dots+c_n\ket{\psi_n}\]
Mit Eigenzuständen $A\ket{\psi_k}=a_k\ket{\psi_n}$, dann soll der Erwartungswert $\left<A\right>=\braketop{\Psi}{A}{\Psi}$ sein, für schönes Rechnen. Wenn aber die Wahrscheinlichkeit, $a_k$ zu messen durch $\vert c_k\vert^2$ bestimmt ist, dann muss $A$ linear auf $\ket\Psi$ wirken, sonst kann man den Erwartungswert nicht als $\braketop{\Psi}{A}{\Psi}$ bestimmen.

(ii) Du musst $S_x$ nicht so wählen. Du kannst $S_x$ sogar beliebig wählen, solange der Operator hermitesch ist mit den Eigenwerten $\pm\frac{\hbar}{2}$. Nur: Wenn er diese Eigenwerte hat, dann ist viel einfacher, in die Basis aus Eigenvektoren zu gehen, und da wird er nunmal zu $S_x=\frac{\hbar}{2}\sigma_x$. Und dann kann man $S_x$ auch gleich so wählen, dass man nicht erst die Basis wechseln muss.

(iii) Das ist kein Widerspruch. Es ist ja $0,1\in\C$, also auch $\vector{1\\0}\in\C^2$. Man darf den Vektor ja auch mit jeder beliebigen komplexen Zahl multiplizieren, dann steht in der ersten Komponente auch wieder eine komplexe Zahl.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos



[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neymar
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 642
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-27


Hallo wessi und Vercassivelaunos.

ii schreibt: Du musst $S_x$ nicht so wählen. Du kannst $S_x$ sogar beliebig wählen, solange der Operator hermitesch ist mit den Eigenwerten $\pm\frac{\hbar}{2}$. Nur: Wenn er diese Eigenwerte hat, dann ist viel einfacher, in die Basis aus Eigenvektoren zu gehen, und da wird er nunmal zu $S_x=\frac{\hbar}{2}\sigma_x$. Und dann kann man $S_x$ auch gleich so wählen, dass man nicht erst die Basis wechseln muss.

$>$ Ja okay, und die Eigenwerte $\pm \hbar/2$ wollen wir ja vermutlich gerade wegen der Drehimpulsalgebra. Aber warum wird in der Basis der Eigenvektor $S_x = \frac{\hbar}{2}\sigma_x$? Also ich habe noch einmal in ein Lineare-Algebra-Skript geschaut und da kann man ja eine Matrix durch die Bilder der Basisvektoren angeben.



Gruß,
Neymar



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 627
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-27

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}\)
In der Basis aus Eigenvektoren sind die Eigenvektoren ja einfach nur $b_1=\vector{1\\0},~b_2=\vector{0\\1}$, und ihre Bilder sind.

\[\begin{align*}
S_xb_1&=\frac{\hbar}{2}b_1\\
S_xb_2&=-\frac{\hbar}{2}b_2
\end{align*}\]
Das heißt, in dieser Basis ausgedrückt ist $S_x$ einfach

\[S_x=\frac{\hbar}{2}\matrix{b_1&-b_2}=\frac{\hbar}{2}\matrix{1&0\\0&-1}=\frac{\hbar}{2}\sigma_x\].

Die Eigenwerte will man aber nicht wegen der Drehimpulsalgebra. Die Drehimpulsalgebra sagt in erster Linie nur, dass Drehimpulse immer ganzzahlige oder halbzahlige Vielfache von $\hbar$ sind. Auch Teilchen mit Spin $s=1$ gehorchen der Drehimpulsalgebra, haben aber die Spineigenwerte $0,\pm\hbar$.
Dass manche Teilchen nur die Spineigenwerte $\pm\frac{\hbar}{2}$ haben, ist erstmal ein experimenteller Befund. Eventuell gibt es im Standardmodell auch noch tiefergehende Begründungen, aber die haben dann sicher nicht allein mit der Drehimpulsalgebra zu tun.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]