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Analysis » Komplexe Zahlen » i = ?
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Universität/Hochschule J i = ?
mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-29


Hallo.

i ist ja definiert als die Lösung von x^2 = -1. Strenggenommen hat i also zwei Werte: + und - sqrt(-1), also ist i eigentlich zwei Zahlen?!
Aber in der Gaußschen Zahlenebene gibt es ja nur ein i, wäre es also nicht sinnvoller, i als sqrt(-1) zu definieren? Dann hätte x^2=-1 die Lösungen i und -i und i wäre eindeutig.

Bzw. habe ich was falsch verstanden? Was ist i?


LG und Danke schonmal
M. Hipp



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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-29


Hallo,

Gegenfrage:

Was ist sqrt(-1) ?

Ich würd es so ausdrücken.
i ist eine der beiden Lösungen der Gleichung X²=-1.
Welche man wählt ist vollkommen irrelevant (es ist ja i=-(-i)).



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-29

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Beachte, dass für die beiden Lösungen $x_1,x_2$ die Relation $x_1+x_2=0$ gelten muss.


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"No talent, only hard work"
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mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-29


Hallo,

falls du das meinst, mit sqrt meine ich square root :-)


Zu dem anderen:
Danke, das wollte ich wissen, dann war meine Information falsch.

Grüße

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-29


Es ist mir schon klar was sqrt ist.

Das Problem hier ist ein anderes.
Du nimmst an sqrt(-1) wäre in irgendeiner Art und Weise eindeutig.
Das ist es nicht, genausowenig wie i.
Die beiden Bezeichnung, also i and sqrt(-1), sind in der Tat sogar synonym.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-29


2019-06-29 22:17 - mhipp im Themenstart schreibt:
i ist ja definiert als die Lösung von x^2 = -1.

Das sehe ich anders. i ist ein Ding mit i*i = -1. (Also nicht DIE Lösung, sondern EINE Lösung.) Das i fällt vom Himmel. Mithilfe von i kann man dann in vernünftiger Weise neue Zahlen ai+b definieren, wobei a und b reelle Zahlen sind und dann eine Addition und Multiplikation dieser neuen Zahlen definieren. Es stellt sich dann heraus, dass auch (-i)*(-i) = -1 gilt.



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Benutzertheo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-09-16


Hi

meistens benützt man das i*i=-1 ist ohne darauf einzugehen was i wirklich ist.

Gruß



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Greyfox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-16


Alle fragen immer nach $i$. Der Schritt von den reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen ist sooo mysteriös.

Dabei ist es doch eigentlich mindestens genauso spannend von den rationalen Zahlen zu den rellen zu kommen. Da tauchen plötzlich mysteriöse Zahlen auf, wie $\sqrt{2}$. Diese hat die unheimliche Eigenschaft, dass $\sqrt{2}^2=2$ ist. Diese neue, "völlig ausgedachte" Zahl könnte man ja auch $a$ nennen, oder so. Wobei $a$ für "ausgedacht" steht.
Würden dann aber nicht auch für $-a$ die Gleichheit $(-a)^2=2$ gelten?
Meint $\sqrt{2}$ also vielleicht zwei Zahlen: $\sqrt{2}$ und $-\sqrt{2}$?

Das macht einen Kirre. Drum hat irgendwer, irgendwann mal entschieden:
$\sqrt{2}$ bezeichnet nur eine Nullstelle des Polynoms $X^2-2$. Und welche? Puh, dafür müssen wir erst über Ordnungsrelationen und deren Fortsetzung reden...
Und dann sitzt man da in der 8. Klasse und neben $\sqrt{2}$ und $\sqrt{3}$ kommen auch noch ganz andere komische Zahlen dazu. Solche wie $\pi$, die nicht mal mehr Nullstelle eines gescheiten Polynoms ist oder $e$.

Es kommen in wenigen Unterrichtsstunden mehr neue Zahlen hinzu, als man in den ganzen Schuljahren vorher mühevoll gelernt hat. (Überabzählbar viele.)
Aber das ist halt in der 8. Klasse. Da ist das Gehirn noch jung, da glaubt noch noch leichter und man hat noch ein paar Schuljahre um sich dran zu gewöhnen.

Wenn dann ein paar Jahre später einer kommt und sagt:
Passt auf, wir nehmen jetzt mal $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, mit der gewohnten Addition und definieren mal eine Multiplikation ganz verrückt einfach durch
\[
(a,b)\cdot (c,d) :=  (ac-bd,ad+bc)
\] und dann sehen wir, dass $(\mathbb{R}, + , \cdot)$ ein schöner "Körper" ist. Das geht ja meistens noch.
Aber wenn man dann für den total bekannten Vektor $(0,1)$ in diesem Zusammenhang mal $i$ schreibt, weil die Rechnungen dann mit der Merkregel
\[
i^2 = -1
\] halt "intuitiver" werden, dann wird plötzlich alles total verrückt.
"Diese Mathematiker... *kopfschüttel* ... was die sich so alles ausdenken. ... *kopfschüttel*... so ein $i$, dass es gar nicht gibt...".
(Weil es nämlich unsere ganzen anderen Zahlen soviel wirklicher gibt? Die sind überhaupt nicht ausgedacht? Nein, die kann man ja alle anfassen.)

Beste Grüße
Greyfox

PS Bitte nicht zu ernst nehmen.  



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PhysikRabe
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Dabei seit: 21.12.2009
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-09-16


Sehr guter Beitrag, Greyfox. Ich denke, dass es sich hierbei teilweise auch um ein psychologisches Problem handelt: Ich finde es mehr als ungünstig, dass diesen wirklich verständlichen Konzepten Bezeichnungen wie "imaginär" und "komplex" gegeben wurden. Wenn man das erste Mal damit in Berührung kommt, muss einen das ja geradezu abschrecken, da diese Wörter den Eindruck vermitteln, es ginge um etwas Abstraktes, nicht Greifbares und Schwieriges.

Grüße,
PhysikRabe


-----------------
"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca
"Even logic must give way to physics." - Spock



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xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.08.2014
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-09-16

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\newcommand{\CS}{C/S} \newcommand{\Ck}{C/k} \newcommand{\Om}{\Omega} \newcommand{\J}{\Jac_{\CS}^{g-1}} \)
Es gibt wohl einen Grund dafür, dass $i$ in der Tat schwieriger zu akzeptieren ist als zum Beispiel $\Q(\sqrt{2})$.

$i$ ist genau das Element welches die Ordnung zerstört:

Sei $K$ ein Körper. Dann sind äquivalent:
$\bul$ $F$ ist nicht algebraisch abgeschlossen, aber $F(i)$ ist algebraisch abgeschlossen.
und  
$\bul$ Es gibt eine totale Ordnung auf $F$ welche sich nicht auf eine echte algebraische Erweiterung von $F$ vortsetzen lässt.

Körper mit dieser Eigenschaft heißen reell abgeschlossen.

Der Grund warum die Intuition sich dagegen wehrt ist vermutlich, dass man sich multiplikation auf einer Linie vorstellt. Demnach wird das Produkt zweier Zahlen gleichen Vorzeichens immer nicht-negativ sein. Stellt man sich aber die Multiplikation in der Ebene vor, also mit einer weiteren Dimension (so wie es bei den Komplexen Zahlen der Fall ist) dann ist die Existenz einer Zahl $i$ mit $i^2<0$ nichts erstaunliches.

Dass ein solches $i$ immer existiert und was genau es ist ist seit langer Zeit kein Geheimnis mehr und eine allgemein anerkannte Tatsache. Da gibt es nichts mysteriöses.
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-09-16

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo zusammen,

@PhysikRabe:
2019-09-16 12:05 - PhysikRabe in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich finde es mehr als ungünstig, dass diesen wirklich verständlichen Konzepten Bezeichnungen wie "imaginär" und "komplex" gegeben wurden...

Ja, das habe ich auch schon unzählige Male gedacht. Aber das fängt ja schon viel früher an: vermittle mal Schülern den Sinn hinter den Begriffen Rationale Zahlen und Reelle Zahlen.

Ich müsste jetzt zu viel Literatur hervorkramen um sicher sein zu können. Aber ich glaube, das Symbol \(i\) geht zwar auf Euler zurück, die Bezeichnung imaginäre Zahlen jedoch bereits auf Rafael Bombelli oder fraglich sogar auf Cardano.

Die Ideen dahinter sind ja beide klar: imaginär steht für eingebildet, also natürlich in dem Sinn, dass man sich die Existenz solcher Zahlen hilfsweise einbildet, obwohl es sie gar nicht gibt. Und komplex steht m.W.n. einfach für zusammengesetzt, also eben für das Konstrukt \(z=\Re(z)+i\cdot\Im(z)\).

Das ist halt alles historisch so gewachsen und nicht wirklich konsistent.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
\(\endgroup\)


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PhysikRabe
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2019-09-16 12:26 - Diophant in Beitrag No. 10 schreibt:
Die Ideen dahinter sind ja beide klar: imaginär steht für eingebildet, also natürlich in dem Sinn, dass man sich die Existenz solcher Zahlen hilfsweise einbildet, obwohl es sie gar nicht gibt.

Und genau da liegt das Problem. Natürlich gibt es diese Zahlen. smile  Ich kann sie ja hinschreiben und durch Eigenschaften charakterisieren. Also sind sie genau so existent wie die natürlichen Zahlen. Sie basieren lediglich auf einem anderen Körper, den ich mir aber auch nicht einbilden muss - den kann ich auf einem Blatt Papier aufzeichnen! Viel "existenter" geht es gar nicht.  wink

Grüße,
PhysikRabe


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Diophant
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\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
@PhysikRabe:
2019-09-16 12:31 - PhysikRabe in Beitrag No. 11 schreibt:
2019-09-16 12:26 - Diophant in Beitrag No. 10 schreibt:
Die Ideen dahinter sind ja beide klar: imaginär steht für eingebildet, also natürlich in dem Sinn, dass man sich die Existenz solcher Zahlen hilfsweise einbildet, obwohl es sie gar nicht gibt.

Und genau da liegt das Problem. Natürlich gibt es diese Zahlen. smile  Ich kann sie ja hinschreiben und durch Eigenschaften charakterisieren. Also sind sie genau so real wie die natürlichen Zahlen.

das ist für mich das spannende an der Mathematikgeschichte oder überhaupt der Geschichte der (Natur-)Wissenschaften: für Cardano, Bombelli & Co. waren das ziemlich kühne und fast abwegige Gedanken und von ihrer Warte aus muss man diese Bezeichnung versuchen zu verstehen.

Für uns heute, angesichts dessen, was alles dadurch vereinfacht oder erst ermöglicht wird: für uns sind die Komplexen Zahlen nicht mehr wegzudenken und eine der wichtigsetn Grundlagen der gesamten Mathematik. Insofern sind sie real. Aber wenn ich nachher Einkaufen gehe, kann ich an der Kasse schlecht mit \(20i\) € ankommen (obwohl, ich könnte es ja mal versuchen wink ).


Gruß, Diophant
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PhysikRabe
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\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Ja, das ist historisch nachvollziehbar. Es wird aber leider vielen Generationen junger Studierender damit kein Gefallen getan.

2019-09-16 12:38 - Diophant in Beitrag No. 12 schreibt:
Für uns heute, angesichts dessen, was alles dadurch vereinfacht oder erst ermöglicht wird: für uns sind die Komplexen Zahlen nicht mehr wegzudenken und eine der wichtigsetn Grundlagen der gesamten Mathematik.
... und sind sogar für die physikalische Beschreibung von Naturphänomenen von immenser Bedeutung!

2019-09-16 12:38 - Diophant in Beitrag No. 12 schreibt:
Aber wenn ich nachher Einkaufen gehe, kann ich an der Kasse schlecht mit \(20i\) € ankommen

Nimm \(i\) mal davon. Dann bekommst du sogar einen reellen Zwanziger zurück!  biggrin

Grüße,
PhysikRabe


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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-09-16

\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-09-16 16:15 - HyperPlot in Beitrag No. 14 schreibt:
Daher besser:
$\boxed{i \text{ ist derjenige Operator mit der Eigenschaft } i^2=-1.}$

Warum muss das ein Operator sein (auf welchem Raum eigentlich)? Und dass $i$ am besten durch diese Eigenschaft definiert wird, wurde bereits mehrmals gesagt.

2019-09-16 16:15 - HyperPlot in Beitrag No. 14 schreibt:
Für die Gleichung $x^2 = -1$:

Sei $x = a+ib \text{ mit } a,b\in\mathbb{R}
 ~\Rightarrow x^2 = (a+ib)^2 = a^2 -b^2 +2ab\, i =-1$

$\Rightarrow \\
\text{(1) } a^2-b^2=-1 \\
\text{(2) } 2ab =0$

$\text{(2) }
\Rightarrow~ a = 0 ~\lor~ b = 0$

$\text{(2a) }
 a = 0  ~\overset{\text{(1)}}{\Rightarrow}
-b^2 = -1
\Rightarrow b = 1 ~\lor~ b = -1 \\[1em]
\Rightarrow~ x = i ~\lor~ x = -i$

$\text{(2b) }
 b = 0  ~\overset{\text{(1)}}{\Rightarrow}
a^2 = -1
\Rightarrow \texttt{error}$

Was soll dadurch gezeigt werden? Und dazu eine derart ausführliche Fallunterscheidung aufzuschreiben ist gar nicht nötig. Auf die Lösungen kommt man direkt: Die rechte Seite ist reell und insbesondere negativ. Da $a$ und $b$ reell sind und $a^2$ daher positiv ist, muss $a=0$ sein. Also bleibt die Gleichung $b^2 = 1$, welche die Lösungen $b=\pm 1$ hat.

Und eigentlich war sogar das zu langatmig. Wir wissen nämlich $i^2 = -1$ per Definition. Da $(-1)^2 = 1$ ist, haben wir außerdem $(-i)^2 = 1$. Und dass es nicht mehr Lösungen der komplexen Gleichung $x^2=-1$ geben kann, ist ja klar. All das hatten wir außerdem schon, siehe Beiträge No. 2 und 5.

Grüße,
PhysikRabe


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hgseib
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-09-16


Da i hier so ausführlich behandelt wird möchte ich auf das 'ganze' System aufmerksam machen. Nur für die, die den ganzen Zoo kennen lernen wollen ;-)

Zahlenbereiche:
- Ganze Zahl
- Rationale Zahl
- Reelle Zahl
- Komplexe Zahl
Hyperkomplexe Zahlen:
- Quaternion (Hamilton-Zahlen) wichtig für 3D Berechnungen
- Oktave (Oktonion, Cayleyzahlen)
- Sedenion

Edit: Biquaternionen hab ich mal aus der Liste genommen. das sind 'Quaternions mit komplexen Zahlen'?

siehe: Verdopplungsverfahren

siehe: Biquaternion

siehe: Quaternion
siehe: Oktave
siehe: Sedenion

mfg

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-09-16


@hgseib:
da hast du jetzt aber diejenige Zahlenmenge vergessen, mit der einmal alles angefangen hat: die natürlichen Zahlen.


Gruß, Diophant



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hgseib
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Die Aufzählung stammt nicht von mir (siehe die Links)
Ich hab's nur kopiert ;-)

Gerade suche ich, warum Zitat: 'Die Biquaternionen sind also ein 8-dimensionales hyperkomplexes Zahlensystem' sind, während ich eine 4x4 Matrix sehe?

Ich wollte nur darauf hinweissen, das die Sache noch viel komplexer ist :-)

mfg




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Triceratops
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2019-06-29 22:17 - mhipp im Themenstart schreibt:
Was ist i?

Greyfox hat die Frage bereits beantwortet. Es gibt allerdings noch andere Konstruktionen von $\IC$ und entsprechend von $i$:

Die in der Algebra übliche Konstruktion ist (vgl. Satz von Kronecker)

$\IC := \IR[X]/ \langle X^2+1\rangle.$
 
In dieser Konstruktion ist dann $i = [X]$ die Restklasse von $X$. Beachte auch, dass hier per Konstruktion $i^2 + 1 = 0$ gilt. Der Vorteil dieser Konstruktion von Kronecker ist also (neben der sehr nützlichen Allgemeinheit), dass die Gleichung, die wir lösen möchten, nicht am Ende herauskommt, sondern gleich zu Beginn feststeht.

Noch eine andere Konstruktion: Man definiert $\IC$ als die Matrixalgebra, welche aus den Matrizen der Form

$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$

mit $a,b \in \IR$ besteht. Der Vorteil gegenüber der Konstruktion von geordneten Paaren, siehe der Beitrag von Greyfox, ist dass hier Addition und Multiplikation bereits bekannt sind (sofern man Matrizen kennt); es muss dann nur die Abgeschlossenheit gezeigt werden. Hier ist dann

$i = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$
 
Eine mögliche geometrische Antwort auf die Frage, was $i$ ist, lautet demnach: $i$ ist die Drehung der Ebene um 90 Grad (entgegen den Uhrzeigersinn). Und die Gleichung $i^2=-1$ entspricht der Tatsache, dass eine Drehung der Ebene um 180 Grad eine Spiegelung am Ursprung ist.
 
Es sind aber im folgenden Sinne alle Konstruktionen von $\IC$ und $i$ zueinander äquivalent: Sind $K,K'$ zwei algebraische Abschlüsse von $\IR$ und Elemente $i,i'$ mit $i^2+1=0$ und $i'^2+1=0$, so gibt es einen Isomorphismus $f : K \to K'$ mit $f(i) = i'$. Genau in diesem Sinne ist es egal, wie man $(K,i)$ wählt.



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Squire
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2019-09-16 12:05 - PhysikRabe in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich finde es mehr als ungünstig, dass diesen wirklich verständlichen Konzepten Bezeichnungen wie "imaginär" und "komplex" gegeben wurden. Wenn man das erste Mal damit in Berührung kommt, muss einen das ja geradezu abschrecken, da diese Wörter den Eindruck vermitteln, es ginge um etwas Abstraktes, nicht Greifbares und Schwieriges.

Ganz in diesem Sinne auch:

"Die Schwierigkeiten, mit denen man die Theorie der imaginären Größen umgeben glaubt, haben ihren Grund größtenteils in den wenig schicklichen Benennungen. Hätte man … die positiven Größen direkt, die negativen inverse und die imaginären laterale Größen genannt, so wäre Einfachheit statt Verwirrung, Klarheit anstatt Dunkelheit die Folge gewesen."
(Gauß)

Grüße Squire



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juergenX
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2019-06-29 22:17 - mhipp im Themenstart schreibt:
Hallo.

Hi,
Das hat sich wohl erledigt, da du dich gar nicht mehr meldest?
Tatsaechlich hat $x^2=-1$ 2 Loesungen in Koerper $Q(\sqrt{-1})$, naemlich $x_{1,2}= \pm \sqrt{-1}$, die algebraisch konjugiert sind aber nicht gleich.
Nach Übereinkunft nennt man $\sqrt{-1}=i$.
Die beiden $\pm i$ gegen durch komplexe Konjugation $\tau$ ineinander ueber, da es den Q-Automorphismus $\tau$ gibt mit $\tau: a+bi\Leftrightarrow a-bi, a,b \in Q$.

Genau wie $\sqrt{2} \ne -\sqrt{2}$, aber man "betrachtet" meist die naheliegende Loesung von $x^2-2=0$ also $\sqrt{2}=+1.414...$.
Was genau "naheliegend" ist, wäre evtl. interessant näher zu untersuchen.



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mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-25 18:54


Entschuldigung fürs nicht mehr Melden, gerade ist bei mit SJ-Anfang und ich bin gerade etwas überhäuft mit Aufgaben.

Danke jedenfalls für die Antworten, jetzt ist es klar!

Lg



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