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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-01


Hallo,
heute möchte ich euch eine kleine Geschichte erzählen. Und sie beginnt, wie alle Märchen beginnen...

Es war einmal ein Mann names Backofen. Er spielte ausgezeichnet Klarinette, komponierte Konzerte und verfasste eine Harfenschule - kurz, er war ein musikalisches Ausnahmetalent. Nur mit Mathematik hatte er rein gar nichts am Hut. Das Einzige, das ihn mit einem berühmten französischen Mathematiker verband, war das gleiche Geburts- und Todesjahr; aber davon wussten beide natürlich nichts.

Der Mathematiker wiederum kümmerte sich nicht um Klarinetten und Harfen, sondern ersann eine besondere Art zu rechnen. Und so stehen in einem alten, vergilbten französischen Rechenbuch folgende seltsam anmutenden Rechenbeispiele geschrieben:

\[\frac{211}{215}+\frac{3}{145}=\frac{40}{41}\] \[\frac{102}{1435}-\frac{14}{25}=\frac{12}{115}\] \[\frac{4}{11}\times \frac{123}{1210}=\frac{34}{415}\]
Allerdings waren in dem Buch über den Zahlen eigenartige Strichmuster angebracht, die bei der automatischen Texterkennung leider verloren gegangen sind frown

Nur bei einer Multiplikationsaufgabe sind die Strichmuster vollständig überliefert:
\[12\overline{3}3\overline{1}\times 1\overline{4}4\overline{1}\overline{1}=?\]
Wer das Rechensystem versteht wird auch das Ergebnis der Multiplikation in diesem System darstellen können smile


Lösungen (der Name des Mathematikers, die Strichmuster der ersten drei Beispiele und das Ergebnis der Multiplikationsaufgabe) bitte als PN an mich.


Viel Spaß!



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Dies ist eine Knobelaufgabe!
Der Themensteller hat bestimmt, dass Du Lösungen oder Beiträge zur Lösung direkt im Forum posten darfst.
Bei dieser Aufgabe kann ein öffentlicher Austausch über Lösungen, Lösungswege und Ansätze erfolgen. Hier musst Du keine private Nachricht schreiben!
querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-03


Hinweis
$3\overline{3}3+1\overline{4}4\overline{4}=1\overline{1}1\overline{1}$




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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-07


Prequel: Wie alles begann
Eine fast 300 Jahre alte Originalarbeit von John Colson mit freiem pdf-Download in leicht lesbarem Englisch (nur die "langen s" wie in "Uſefulneſs" = "Usefulness" sind etwas gewöhnungsbedürftig)
www.jstor.org/stable/103469

Der gesuchte französische Mathematiker hat diese Ideen viele Jahre später bei seiner genialen Divisionsmethode verwendet.

Mit Colsons Schiebezettelmethode kann $12\overline{3}3\overline{1}\times 1\overline{4}4\overline{1}\overline{1}$ Ziffer für Ziffer im Kopf berechnet werden. Ich finde, es ist einen Versuch wert.


Der Name des Mathematikers, das Ergebnis der Multiplikationsaufgabe und eventuell auftretende Fragen können jetzt gerne direkt gepostet werden. Die Rekonstruktiion der drei Bruchrechnungen ist etwas kniffliger wink



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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-14


Lösung
Die historische Persönlichkeiten sind:
de.wikipedia.org/wiki/John_Colson (1680 - 1760)
de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier (1768 - 1830)
de.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Backofen (1768 - 1830)

Colsons Schiebzettelmultiplikation ergibt
\[12\overline{3}3\overline{1}\times 1\overline{4}4\overline{1}\overline{1}=1\overline{2}\overline{5}0\overline{7}7\overline{4}\overline{2}1\] Das kann sehr leicht im Kopf berechnet werden, wobei immer nur Zahlen zwischen 1 und 12 $(=3\cdot 4)$ addiert oder subtrahiert werden müssen.
In normaler Darstellung lautet die Rechnung $11729\cdot 6389=74936581$

Die Idee zu dieser Aufgabe hatte ich bei der Implementierung der Fourier Division en.wikipedia.org/wiki/Fourier_division als Programmieraufgabe.


Die Lösung der Bruchrechnungen lasse ich noch offen (falls sich doch jemand dafür interessiert).



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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-28


Auflösung:

Die Querstriche kennzeichnen negative Ziffern. Die Darstellung ist eindeutig, wenn die Ziffern $6,7,8,9$ durch ihre Zehnerkomplemente $\overline{4},\overline{3},\overline{2},\overline{1}$ ersetzt werden und die nächsthöhere Stelle um 1 erhöht wird, z.B. $38=4\overline{2}$.

Die ersten beiden Bruchrechnungen sind eindeutig bestimmt:
\[\frac{2\overline{1}1}{2\overline{1}5}+\frac{3}{1\overline{4}5}=\frac{40}{4\overline{1}}\] Das bedeutet
\[\frac{201-10}{205-10}+\frac{3}{105-40}=\frac{40}{40-1}\] und
\[\frac{10\overline{2}}{1\overline{4}\overline{3}5}-\frac{1\overline{4}}{25}=\frac{\overline{1}2}{115}\] also
\[\frac{100-2}{1005-430}-\frac{10-4}{25}=\frac{2-10}{115}\]
Die letzte Aufgabe
\[\frac{4}{11}\times \frac{123}{1210}=\frac{34}{415}\] ist nicht eindeutig bestimmt, dafür gibt es 2 verschiedene Lösungen.



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-29


Ich verstehe aber, dass sich diese Methode nicht durchgesetzt hat xD
Erkenne da keinen Mehrwert drinne... Statt bei der schriftlichen Multiplikation nur addieren und positive Überträge zu haben, kann das hierbei auch negativ sein. Statt von 0 bis 9 rechnet man hier halt von -4 bis 5 (der Ziffernbereich also auch nicht verringert)... Zwar hat man dann etwas kleinere Zwischenergebnisse, aber das kleine Einmaleins sollte ja kein Problem sein und das kompensiert auch nicht, dass man jetzt auch subtrahieren muss.
Die schriftliche Division wird vermutlich noch ungemein komplizierter, wenn man mit Vielfachen solcher Zahlen (in denen subtrahiert wird) rechnen muss und diese dann wahlweise (um in dem Ziffernbereich zu bleiben) sogar addieren statt nur subtrahieren zu müssen, und dann auch negative Überträge eventuell bekommt xD

Außerdem... Für die Schiebezettelmultiplikation braucht man nicht diese Zahlendarstellung. Die ist total unabhängig davon und genauso funktioniert auch die normale schriftliche Multiplikation mit der normalen Zahlendarstellung bzw. in jedem Stellenwertsystem.


Edit:
Müsste die Anzahl der Lösungen bei der Multiplikationsaufgabe nicht ein Vielfaches von 32 sein? Wie kommst du da auf 2 xD
Jeder Zähler und Nenner kann positiv oder negativ sein, sind schon 16 Möglichkeiten. Jedes Ergebnis lässt sich dann auf 2 Arten darstellen... Sind wir bei 32.
Edit2: ach, im Ergebnis taucht eine 5 auf... Also kann das Ergebnis nur auf eine Art dargestellt werden. Bleibt immer noch ein Vielfaches von 16.



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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-29


2019-07-29 11:37 - MartinN in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich verstehe aber, dass sich diese Methode nicht durchgesetzt hat xD

Hallo Martin,

Negative Ziffern haben sich als Zahlensystem nicht durchgesetzt, in dem Sinne, dass alle Zahlen konsequent so dargestellt werden _müssen_ (wie in dieser Knobelaufgabe). Aber so war es auch nie gedacht. Negative Ziffern werden dort verwendet wo sie die Rechnung vereinfachen. So wird man $7\cdot 298$ im Kopf automatisch als $7\cdot30\overline{2}$ berechnen (natürlich ohne es explizit hinzuschreiben). Ich habe mich eine Zeit lang näher mit dem japanischen Soroban beschäftigt; auch dabei werden auf natürliche Weise negative Ziffern verwendet (z.B. $+8$ zieht man je nach Situation mit einem Griff entweder als $5+3$ oder $1\overline{2}$)


Erkenne da keinen Mehrwert drinne... Statt bei der schriftlichen Multiplikation nur addieren und positive Überträge zu haben, kann das hierbei auch negativ sein. Statt von 0 bis 9 rechnet man hier halt von -4 bis 5 (der Ziffernbereich also auch nicht verringert)... Zwar hat man dann etwas kleinere Zwischenergebnisse, aber das kleine Einmaleins sollte ja kein Problem sein und das kompensiert auch nicht, dass man jetzt auch subtrahieren muss.

Außerdem... Für die Schiebezettelmultiplikation braucht man nicht diese Zahlendarstellung. Die ist total unabhängig davon und genauso funktioniert auch die normale schriftliche Multiplikation mit der normalen Zahlendarstellung bzw. in jedem Stellenwertsystem.

Ja, die Schiebezettelmultiplikation funktioniert in jedem Zahlensystem. Sie ist dazu gedacht, _große_ Zahlen ohne Anschreiben von Zwischenergebnissen direkt im Kopf zu multiplizieren. Zumindest für mich ist das Addieren mehrerer Zahlen bis $81=9\cdot 9$ fehleranfälliger, als mit Zahlen von $-20$ bis $25$ zu rechnen. Die Summe ist meist eine kleine Zahl und negative Überträge passen genau ins System. Aber das ist rein subjektiv.


Die schriftliche Division wird vermutlich noch ungemein komplizierter, wenn man mit Vielfachen solcher Zahlen (in denen subtrahiert wird) rechnen muss und diese dann wahlweise (um in dem Ziffernbereich zu bleiben) sogar addieren statt nur subtrahieren zu müssen, und dann auch negative Überträge eventuell bekommt xD

Schon Colson schreibt, dass bei der normalen Divisiion mit negativen Ziffern kein Vorteil erreicht werden kann. Doch zwei Generationen später hat Fourier seine Divisiionsmethode entwickelt, die negative Ziffern (meist zur Basis 100) verwendet. Fourier und später Cauchy haben das durchaus ernst genommen und Abhandlungen darüber veröffentlicht.

Schiebezettelmultiplikation, Division und Wurzelberechnung mit negativen Ziffern nach Fourier waren lange Zeit die effektivsten Methoden für das numerische Rechnen mit _großen_ ganzen Zahlen. Noch Anfang des 20.Jahrhunderts wurden diese Methoden an Universitäten gelehrt (siehe etwa Jacob Lüroths "Vorlesungen über numerisches Rechnen"). Tempi passati. Heute lockt man damit höchstens noch Zahlenromantiker wie mich hinter dem Strandkorb hervor wink


Edit:
Müsste die Anzahl der Lösungen bei der Multiplikationsaufgabe nicht ein Vielfaches von 32 sein? Wie kommst du da auf 2 xD
Jeder Zähler und Nenner kann positiv oder negativ sein, sind schon 16 Möglichkeiten. Jedes Ergebnis lässt sich dann auf 2 Arten darstellen... Sind wir bei 32.
Edit2: ach, im Ergebnis taucht eine 5 auf... Also kann das Ergebnis nur auf eine Art dargestellt werden. Bleibt immer noch ein Vielfaches von 16.

Du hast natürlich recht. Ich hatte kürzbare Vorzeichen implizit als triviale Variationen ausgeschlossen, das hätte ich klarstellen sollen. Aber bei der letzten Aufgabe gibt es (modulo kürzbare Vorzeichen) tatsächlich genau zwei Lösungen. Aber ich lasse mich gern eines Bessern belehren...



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-07-29


Zur letzten Aufgabe...


oBdA (da die Vorzeichen nicht gelten sollen) ist die erste Ziffer positiv.

Dann ist weiterhin offensichtlich 1000±200±10 durch 2, aber nicht 4 teilbar.

Es verbleibt:
\(\frac{2}{10 \pm 1} \cdot \frac{100 \pm 20 \pm 3}{500 \pm 100 \pm 5} = \frac{30 \pm 4}{400 \pm 10 \pm 5}\)

Obv muss nochmals gekürzt werden im Zähler und nach Multiplikation mit 2 ergibt sich 34 oder 26.
Damit muss vorher 17 oder 13 aus 100±20±3 entstanden sein:
100+20-3 = 117 = 9*13
(mehr fällt mir hier nicht ein)

Damit muss mit 9 gekürzt werden... also entweder ist 10±1 die 9; oder die 9 ergibt sich aus 500±100±5.

Dies ergibt 2 Möglichkeiten:
(a) 10-1 = 9*1
(b) 500-100+5 = 9*45

Beginnen wir mit a:
\(\frac{2}{10 - 1} \cdot \frac{100 + 20 - 3}{500 \pm 100 \pm 5} = \frac{2}{9} \cdot \frac{117}{500 \pm 100 \pm 5} = \frac{30 - 4}{400 \pm 10 \pm 5}\)
Somit muss im Nenner: 1 * (500±100±5) = 400±10±5
Dies führt schnell zu 500-100-5 = 400-10+5

Damit die erste Lösung:
\(\frac{4}{10 - 1} \cdot \frac{100 + 20 - 3}{1000 - 200 - 10} = \frac{30 - 4}{400 - 10 + 5}\)


Weiter mit b:
\(\frac{2}{10 \pm 1} \cdot \frac{100 + 20 - 3}{500 - 100 + 5} = \frac{2}{10 \pm 1} \cdot \frac{117}{9*45} = \frac{30 - 4}{400 \pm 10 \pm 5}\)
Somit muss im Nenner: (10±1) * 45 = 400±10±5
Dies führt schnell zu 9*45 = 400+10-5

Hier wäre aber 5 mit negativen Vorzeichen, somit multiplizieren wir beide Seiten einfach mit -1:
Damit die zweite Lösung:
\(-1 \cdot \frac{4}{10 - 1} \cdot \frac{100 + 20 - 3}{1000 - 200 + 10} = -1 \cdot \frac{30 - 4}{400 + 100 - 5} = \frac{30 - 4}{- 400 - 10 + 5}\)
Welche Zahl man links mit -1 multipliziert dabei egal (rechts musste es die Zahl mit 5 sein).

Bei der zweiten Lösung ist der zweite Faktor aber nicht vollständig gekürzt.


Jetzt kann man noch rechts und links verschiedene Nenner/Zähler mit -1 multiplizieren xD




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Hallo Martin,

danke für die sehr gut erklärte Lösung und herzlichen Glückwunsch smile

Hier noch beide Lösungen in Colson Schreibweise
\[\frac{4}{1\overline{1}}\times \frac{12\overline{3}}{1\overline{2}\overline{1}0}=\frac{3\overline{4}}{4\overline{1}5}\] \[\frac{4}{\overline{1}1}\times \frac{12\overline{3}}{1\overline{2}10}=\frac{3\overline{4}}{\overline{4}\overline{1}5}\]




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querin hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
querin hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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