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Funktionentheorie » Holomorphie » Holomorphe Stammfunktion?
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Autor
Universität/Hochschule J Holomorphe Stammfunktion?
Neymar
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Dabei seit: 03.01.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-03


Hallo alle zusammen,

ich habe hier eine Klausur zur Funktionentheorie gefunden und wundere mich schon über Aufgabe 1, i.e. komme nicht weiter. Man weiß, dass $f$ holomorph auf $G \backslash D$ ist, i.e. $f$ kann doch als Potenzreihe dargestellt werden (auf $G\backslash D)$, hätte ich gedacht.

Aber dann besitzt doch $f$ immer eine Stammfunktion, denn eine Potenreihe kann ja einfach Glied für Glied ,,integriert" werden.

Wo liegt mein Denkfehler? Und könnt ihr mir auch noch sagen, wo ich den Beweis nachlesen kann bzw. könnte?


Gruß,
Neymar



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Bai
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1240
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-03


Hi,

die Taylorentwicklung funktioniert ja nur auf Kreisscheiben und du hast aus $G$ etwas diskretes herausgenommen. Wenn du dir also einen beliebigen Punkt aus $G/D$ nimmst, in dem du entwickeln  möchtest, kann der Radius der Kreisscheibe, in der du entwickelst, höchstens so groß sein wie der kleinste Abstand zu einem Punkt aus $D$. Auf ganz $G\backslash D$ gibt es eine Stammfunktion von $f$ genau dann, wenn für jeden in $G\backslash D$ verlaufenden und geschlossenen Weg $\gamma$ gilt: $\oint_\gamma f(z)dz=0$. Dadurch kommt bei dieser Aufgabe dann der Residuensatz und damit die Residuen ins Spiel.

Betrachte z.B. die Funktion $f(z)=\frac{1}{z}$ auf $G\backslash D=\mathbb C^\times$. Die Potenzreihenentwicklung in bpsw. $z_0=3$ ist $f(z)=\frac{1}{3}\sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{3}\right)^n(z-3)^n$ und diese konvergiert nur auf der Kreisscheibe $K_3(3)$. Dort besitzt $f$ dann auch eine Stammfunktion. Auf dem gesamten Gebiet $\mathbb C^\times$ jedoch offensichtlich nicht.



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1609
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-07-03


Hey Neymar,

du kannst zu jedem \(z_0 \in G \setminus D\) die Funktion \(f\) in eine Potenzreihe entwickeln, das stimmt. Der Konvergenzradius dieser Potenzreihe umfasst aber nicht ganz \(G \setminus D\), sondern der Radius \(r\) ist so groß, dass \(B_r(z_0) \subset G \setminus D\) ist.
Wie gesagt, die Funktion \(f\) lässt sich für jedes \(z_0 \in G \setminus D\) in eine Potenzreihe entwickeln, diese sieht aber i.A. für zwei unterschiedliche Stellen, um die entwickelt wird, anders aus.

D.h. so ohne weiteres weiß man nur, dass \(f_{|B_r(z_0)}\) eine Stammfunktion auf \(B_r(z_0)\) hat, aber noch nicht auf ganz \(G \setminus D\).
Und das ist i.A. ja auch nicht so, mache dir das am Beispiel \(f(z)=\frac{1}{z}\), \(G= \mathbb{C}\) und \(D= \{0\}\) klar. Denn \(f\) besitzt auf ganz \(\mathbb{C} \setminus \{0\}\) keine Stammfunktion.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Neymar
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Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 563
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-06


Hallo Bai und Kampfpudel,

entschuldigt die verspätete Antwort.


Hi,

die Taylorentwicklung funktioniert ja nur auf Kreisscheiben und du hast aus $G$ etwas diskretes herausgenommen. Wenn du dir also einen beliebigen Punkt aus $G/D$ nimmst, in dem du entwickeln  möchtest, kann der Radius der Kreisscheibe, in der du entwickelst, höchstens so groß sein wie der kleinste Abstand zu einem Punkt aus $D$.

$>$ Ich war zuerst ein bisschen verwundert bezüglich dieser Aussage, weshalb ich mal in Rudin, ,,Real and Complex Analysis" geschaut habe (10.16 Theorem) und es ergibt Sinn, denke ich. :-)


Beste Grüße,
Neymar




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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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