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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » duale Sequenz ein Komplex
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Universität/Hochschule duale Sequenz ein Komplex
GiFi
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  Themenstart: 2019-07-04

Hallo zusammen! Ich habe bislang eine Richtung, um zu zeigen, dass eine duale Sequenz \(A \stackrel{f}\rightarrow B \stackrel{g}\rightarrow C \) ein Komplex ist \( \Leftrightarrow \) die duale Sequenz ein Komplex ist (f soll die erste Abbildung (sollte oberhalb es Pfeils stehen, ich bin mir nur nicht sicher, ob beschriftete Pfeile hier funktionieren), g die zweite Abbildung sein, also: f:A \( \rightarrow \) B, g:B \( \rightarrow \) C). Bei der Rückrichtung habe ich Etwas ausprobiert, es funktioniert aber noch nicht so recht, wobei es doch eigentlich analog sein müsste...? Vielen Dank!


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GiFi
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-04

Ich habe für die Richtung "=>" bislang Folgendes: Es ist: \[ g \circ f(a) = 0 \forall a \in A \] Zu zeigen: \[ f^*(g^*(c')))(a) = 0 \forall a \in A, c' \in C^*: \] \[ f^*(g^*(c')))(a) = ((g \circ f)^*(c'))(a) = c'(g \circ f)(a) = c'(0) = 0 \forall c' \in C^* \] Für die Rückrichtung "<=" habe ich überlegt, müsste es eigentlich ähnlich gehen: Es ist: \[ f^* \circ g^* = 0 \forall c' \in C^*, f^* \circ g^* = (g \circ f)^* \] Zu zeigen: \[ g(f(a)))(c') = 0 \forall a \in A, c' \in C^*: \] Viel weiter komme ich dann nicht, weil ich ja nicht die Definition des Dualen * anwenden kann und nicht z.B. etwas "vorziehen" kann, oder?: \[ g(f(a)))(c') = a(g^* \circ f^*)(c') = … \] (Hier ist dann auch die Reihenfolge von \( g^*, f^* \) vertauscht, da die Voraussetzung \( f^* \circ g^* = 0 \) lautet, die ich verwenden könnte, was so hier nicht möglich ist) Für Ideen wäre ich sehr dankbar!


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GiFi
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-04

Weiterhin noch die Frage, die ich hier anfügen sollte: Wenn die duale Sequenz exakt ist, folgt, dass auch die Sequenz selbst exakt ist. Ist das nicht analog zum obigen Beweis (siehe Frage hier bereits im Forum)? Weiterhin bin ich mir noch nicht sicher, wie man daraus schließen kann, dass T dann Monomorphismus ist gdw. T* Epimorphismus und umgekehrt. Dazu müsste ich ja aus der Tatsache, dass obige Sequenz exakt ist, also gilt: Bild(T) = Kern(S) folgern, dass, wenn T Injektiv ist, T*:V*->U* surjektiv ist und umgekehrt.


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ligning
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-05

Also einmal ist die => Richtung richtig. Bei der <= Richtung kann man mit einem Widerspruch ansetzen: Angenommen es gibt $a\in A$ mit $g(f(a)) = c\neq 0\in C$, dann kann man $l\in C^*$ so wählen dass $l(c)\neq 0$ ... Zur Exaktheit: Ich denke nicht, dass das analog ist, und es ist auch nicht trivial. Für endlich-dimensionale Vektorräume gibt es einen natürlichen Isomorphismus $V\cong V^{**}$, so dass die Umkehrung tatsächlich sofort folgt, aber sonst nicht. Auch sonst ist die Aussage in allgemeineren Zusammenhängen falsch, man wird also bestimmte Eigenschaften von Vektorräumen verwenden müssen. Zu der Frage zu injektiv/surjektiv: Untersuche exakte Sequenzen der Form $0\to A\to B$ bzw. $A\to B\to 0$.


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-05

Hallo Ligning! Danke erstmal, schon einmal beruhigend zu wissen, dass die "=>"- Richtung schon einmal richtig ist. Nun zunächst einmal zum Wdsp.- Beweis, ich mache jetzt Alles möglichst Schritt für Schritt. Die Annahme ist doch dann, dass: \(f^* \circ g^* = 0\) gelte, aber man Folgendes findet: \(g \circ f \neq 0\), woraus dann wiederum folgt, dass schon: \(f^* \circ g^* \neq 0\) sein muss, richtig soweit zum Ansatz? Betrachte man also: \(a \in A:g(f(a)) = c \neq 0 \in C\). Nun bin ich mir nicht sicher, wie ich dieses l konstruieren soll. Ich kann ein solches l finden, weil - und da komme ich erst einmal noch nicht weiter: es gilt ja nach oben: \(c \neq 0\), wieso kann l dann nicht auch auf 0 schicken??


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GiFi
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-05

Zur Exaktheit: ich habe tatsächlich vergessen - bitte entschuldige - wir befinden uns hier immer auf endlich-dimensionalen Vektorräumen über einem fest gewählten Körper. Dann darf ich doch genau diese Isomorphie \(V \cong V^{**}\) verwenden und die Aussage folgt analog, da ich statt: \(U^* \stackrel{f^*}\rightarrow V^* \stackrel{g^*}\rightarrow W^* \implies U \stackrel{f}\rightarrow V \stackrel{g}\rightarrow W\) auch zeigen kann: \(U^{**} \stackrel{f^{**}}\rightarrow V^{**} \stackrel{g^{**}}\rightarrow W^{**}\), womit der Beweis von "=>" analog zu führen ist, da nun alle *- Voraussetzungen genauso angewendet werden können, richtig??


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  Beitrag No.6, eingetragen 2019-07-05

Du kannst eine lineare Abbildung immer durch Angabe der Bilder einer Basis definieren. Hier würde das also zum Beispiel so aussehen, dass du $c$ (weil $\neq 0$) zu einer Basis $c, v_2, \ldots, v_n$ von $C$ ergänzt und $l$ so definierst, dass $c$ auf $1$ und die $v_i$ auf $0$ geschickt werden. Das muss man m.E. nicht immer so ausführlich hinschreiben (außer im ersten Semester), es ist "klar" dass man immer so eine Abbildung finden kann. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-05

Danke, manchmal hat man echt "ein Brett vor dem Kopf". Ich hätte sie natürlich einfach so simpel wie möglich definieren sollen, das fällt manchmal noch schwer. Ich bin zwar schon weit weiter, aber schreibe es doch mal mit auf, "schaden" kann es ja nicht. Ich habe es jetzt in der Form aufgeschrieben: \(\exists l \in C^*:l(c) \neq 0\) mit: \(l(c) = 1, l(v_i) = 0 \forall i = 1, ..., n, i \neq c\). Kann ich dann nicht, um den Wiederspruch \(f^* \circ g^* \neq 0\) zu erhalten, erneut eine lin. Abb. finden, die dann erfüllt: \(k(l(c)) \neq 0, k \in B^*\), sodass die Wdsp.- Beh. folgt?


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ligning
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  Beitrag No.8, eingetragen 2019-07-05

\quoteon(2019-07-05 10:04 - GiFi in Beitrag No. 5) Zur Exaktheit: ich habe tatsächlich vergessen - bitte entschuldige - wir befinden uns hier immer auf endlich-dimensionalen Vektorräumen über einem fest gewählten Körper. Dann darf ich doch genau diese Isomorphie \(V \cong V^{**}\) \quoteoff Wenn du weißt, was ein natürlicher Isomorphismus ist... Ist das eine Anfängervorlesung über Lineare Algebra, oder ist das eine weiterführende Vorlesung? Kennst du Kategorien und Funktoren? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-05

Zur Exaktheit: ein natürlicher Isomorphismus hängt nicht von der Wahl seiner Basis ab oder nicht? Es gilt doch dann: \(V \stackrel{f}\rightarrow V^{**}, v^{**}(f) = f(v)\) oder darf ich das nicht annehmen?? Es handelt sich hier um eine Grundlagenvorlesung, ich kenne aber bereits "grob" Kategorien und Funktoren... - weiß aber nicht, wie ich die hier anwenden soll (wäre aus einer anderen VL, da müsste ich erst einmal sehen, wie ich das transferiert bekomme und ob ich das eben nutzen darf...)? D.h. aber, wenn ich zeigen kann, das \(V \rightarrow V^{**}\) ein natürlicher Isomorphismus ist, habe ich damit obige alternative Implikation gezeigt, oder?


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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-05

Zu der Frage zu injektiv/ surjektiv (jetzt bin ich auch mal dort *lach): Ich formuliere das jetzt nochmal hier passend zu dem Thread, da ich den ja in einem anderen Post angepasst hatte; also: ich habe meiner Ansicht nach schon gezeigt, dass: \(0 \rightarrow B \stackrel{g}\rightarrow C\) und \(A \stackrel{f}\rightarrow B \rightarrow 0\) exakt sind gdw. g Monomorphismus bzw. f Epimorphismus ist und zwar wie folgt (in * eingeschlossen zur besseren Übersicht) - kann ich das noch Anders zeigen, ohne Nutzung von Cobild und Cokern: ************************************************************************** \(0 \rightarrow B \rightarrow C\) ist exakt \(\Leftrightarrow Bild(0) = Kern(g) \Leftrightarrow Cobild(g) = B \Leftrightarrow g\) injektiv \(\Leftrightarrow g\) Monomorphismus \(A \rightarrow B \rightarrow 0\) ist exakt \(\Leftrightarrow A = Bild(f) = Kern(0) \Leftrightarrow Cokern(Kern(f)) = A \Leftrightarrow f\) surjektiv \(\Leftrightarrow f\) Epimorphismus ************************************************************************** Dann folgt obige Behauptung aus: Es gilt, da Sequenz und duale Sequenz exakt sind: \(Bild(f) = Kern(g)\) und \(Bild(g^*) = Kern(f^*)\). Betrachte: \(0 \rightarrow A \stackrel{f}\rightarrow B\) . Dann folgt aus obiger Aussage (was ich schon gezeigt habe): f Monomorphismus. Betrachte: \(B^* \stackrel{f^*}\rightarrow A^* \rightarrow 0\). Dann folgt aus obiger Aussage (was ich schon gezeigt habe): \(f^*\) Epimorphismus. Ich kann doch in obiger Aussage (was ich schon gezeigt habe) jeweils z.B. C = 0 wählen, da ich dann einfach den 0- Vektorraum nutze und meine gegebene 2er- Sequenz zu einer 3er- Sequenz ergänze, um dann obiges Ergebnis anwenden zu können, oder? Analog folgt dann: Betrachte: \(A \stackrel{f}\rightarrow B \rightarrow 0\) . Dann folgt aus obiger Aussage (was ich schon gezeigt habe): f Epimorphismus. Betrachte: \(0 \rightarrow B^* \stackrel{f^*}\rightarrow A^*\). Dann folgt aus obiger Aussage (was ich schon gezeigt habe): \(f^*\) Monomorphismus.


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Ich habe jetzt auch nochmal die Konstruktion von l hoffentlich "sauber" aufgeschrieben: Meine erste Frage dazu wäre, kann ich das nicht direkt \(g^*\) nennen?? Ich habe nun Folgendes: \(\exists g^* \in C^*:g^*(c) \neq 0, g^*(x) = 1, x = c, g^* (x) = 0\), sonst \(\implies \exists f^* B \in ^*:f^*(g^*(c)) \neq 0, f^*(g^*(x)) = 1, x = c, f^*(g^* (x)) = 0\), sonst Somit gilt: \(f^*(g^*(x)) = 1 \neq 0\) für: \(x = c\) Widerspruch zur Annahme: \(f^*(g^*(x)) = 0 \forall x \in C^*\)


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\quoteon(2019-07-05 10:22 - GiFi in Beitrag No. 9) Zur Exaktheit: ein natürlicher Isomorphismus hängt nicht von der Wahl seiner Basis ab oder nicht? Es gilt doch dann: \(V \stackrel{f}\rightarrow V^{**}, v^{**}(f) = f(v)\) oder darf ich das nicht annehmen?? \quoteoff Lassen wir das lieber mit dem natürlichen Isomorphismus. Das hat schon eine technische Bedeutung (=> natürliche Transformation), aber hier erstmal nachzurechnen, dass es diesen natürlichen Isomorphismus überhaupt gibt ist zuviel Aufwand für die Lösung dieser Aufgabe. Das war nur mein Vorschlag wie man es machen könnte, wenn das bekannt wäre. Falls es dich interessiert: Sei $V$ ein Vektorraum und $a_V : V\to V^{**}, a_V(v)(l) = l(v)$. Dann muss man zeigen: 1) Es gilt für jede lineare Abbildung $h : V\to W$ dass $a_W\circ h = h^{**}\circ a_V$ 2) falls $V$ endlich-dimensional ist, ist $a_V$ ein Isomorphismus. Dann kann man nämlich $f = a_B^{-1}\circ f^{**} \circ a_A$ (und analog für $g$) schreiben und damit sehr leicht nachrechnen, dass die Exaktheit der Doppeldual-Sequenz die Exaktheit der ursprünglichen Sequenz impliziert.


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Natürlich interessiert es mich, soweit klingt es auch erstmal logisch, natürlich kenne ich nicht "Alles" aus dem Bereich. Aktuell weiß ich auch noch keinen alternativen Weg. Darf ich fragen, was Sie bislang zu meinen anderen Lösungen/ Ansätzen sagen? Ich "bastle" in der Zeit mal ein wenig weiter.


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Ich habe noch einen Satz gefunden, der besagt, dass eine kanonische lineare Abbildung \(\phi:V \rightarrow V^{**}\) existiert, wobei \(\phi\) für den hier als endlich dimensionalen Vektorraum sogar ein Isomorphismus ist. Darf ich das dann annehmen?? Ich bin mir nicht ganz sicher, ob das nun ausreicht, denn isomorph sind sie nach dem Satz ja... .


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