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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Sequenz Kern Kokern exakt
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Universität/Hochschule Sequenz Kern Kokern exakt
GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-05


Hallo zusammen!

Bei folgender Frage bin ich mir schon beim Ansatz unsicher und tendiere dazu, dass er falsch ist; gegeben ist: \(f:A \rightarrow B \in\) Hom(A).
Zu zeigen ist, dass folgende Sequenz exakt ist: \(0 \rightarrow Kern(f) \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow Coker(f) \rightarrow 0\), f wie oben definiert, \(Coker(f) := B/Bild(f)\).

Mein Ansatz ist, für jede einzelne 3er- Sequenz zu zeigen, dass Bild und Kern der jeweils folgenden Abbildung übereinstimmen.

Bei der ersten Sequenz bin ich mir schon nicht sicher, denn, darf ich annehmen, dass: \(0 \rightarrow Kern(f)\) injektiv ist? Denn dann könnte ich sofort folgern, dass f Homomorphismus ist, also Monomorphismus und damit exakt, da gilt: \(0 \rightarrow A \rightarrow B\) ist exakt gdw. f (wie oben definiert) ist Monomorphismus.

Weitere Aussagen würden dann analog folgen, wobei ich mir schon beim Ansatz nicht sicher bin, ob ich die Injektivität annehmen darf.


VG



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-05


Du musst ja Bilder mit Kernen vergleichen.

Welche Homomorphismen sind bei <math>0\to Kern(f)</math> und <math>Kern(f)\to A</math> gemeint? Was ist Bild des ersten und Kern des zweiten?



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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-05


Hallo Hippias!

Vielen Dank für deine Antwort.
Leider weiß ich, jetzt auch nach längerem Grübeln nicht, welche Homomorphismen gemeint sind. Es muss ja gelten (struktur- erhaltend): \(f(x+y) = f(x) + f(y)\) und \(f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y)\) und f(1) = 1.

Meiner Ansicht nach kann ich dann auch, zumindest weiß ich nicht wie, das Bild und den Kern bestimmen, wenn ich nicht weiß, wie die Abbildung aussieht … .



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AlgebraicInteger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-05


Hallo GiFi,

hier sind die beiden Homomorphismen:
Es gilt $\ker(f)\subseteq A$. Das bedeutet aber, dass wir einen Homomorphismus\[
\varphi\colon\ker(f)\to A,\;x\mapsto x
\]bekommen.

Außerdem gilt $\operatorname{im}(f)\subseteq B$. Das bedeutet, die Quotientenabbildung\[
\psi\colon B\to B/\operatorname{im}(f),\;y\mapsto y+\operatorname{im}(f)
\]ist wohldefiniert.

Wie kannst du damit jetzt zeigen, dass die Sequenz exakt ist?

Viele Grüße.



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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-05


Hi!

Danke dafür. Den ersten Homomorphismus habe ich mal wieder als "zu einfach" verworfen … . Haben Sie noch einen Hinweis, wie man auf die Abbildung \(\psi\) kommt?

\(Bild(f) \subseteq Kern(g)\) ist ja trivial, d.h., dass ich nur noch die andere Richtung zeigen muss, also: \(Bild(f) \supseteq Kern(g)\).

Ich habe dazu einen "Ansatz":

Es ist: \(Kern(\psi) = \psi^{-1}(0) =\) { \(v \in B|\psi(v) = 0 \) } = {0}
Es ist aber: \({0} \subset Bild(f)\)
Damit ist die Sequenz exakt.

Dann muss ich immer noch für die beiden äußeren Sequenzen Selbiges zeigen, oder, also für: \(0 \rightarrow Kern(f) \rightarrow A\) und für: \(B \rightarrow Cokern(f) \rightarrow 0\)?



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-06


Es muss ja gelten (struktur- erhaltend): f(x+y)=f(x)+f(y) und f(x⋅y)=f(x)⋅f(y) und f(1) = 1.
Das gilt für Ringe; jedoch wette ich jeden Betrag, dass es sich bei Deiner Aufgabe bei <math>A</math> und <math>B</math> nicht Ringe dreht, sondern...

Der einzige Homomorphismus <math>:0\to</math> irgendwas ist die Nullabbildung, d.h. die Null wird auf die Null abgebildet  - beweise dies! Ich bezeichne diesen Homomorphismus mit <math>\alpha</math>.

Ferner hat AlgebraicInteger Dich über den gemeinten Homomorphismus <math>:Kern(f)\to A</math> aufgeklärt; ich nenne ihn <math>\beta</math>.

Bestimme nun <math>Bild(\alpha)</math> und <math>Kern(\beta)</math>. Sind die beiden Mengen gleich?



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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-06


Hallo hippias!

Stimmt, es handelt sich sicherlich um Vektorraumhomomorphismen, d.h., dass gelten muss für \(A = (A,f), B = (B,g), \phi = A \rightarrow B\):
\(\phi(f(a_1,...,a_m)) = g(\phi(a_1),...,\phi(a_m)), a_1,...,a_m \in A\).

Ist denn das, was ich gezeigt habe für: \(Bild(f) \supseteq Kern(g)\) soweit richtig?

Für die erste der beiden anderen Sequenzen (\(0 \rightarrow Kern(f) \rightarrow A\)) habe ich mir nun Folgendes überlegt:

\(Bild(f) = {0} = g^{-1}(0) = Kern(g)\), damit sind die Mengen meiner Ansicht nach gleich, was zu zeigen ist.

Weiterhin muss ich noch Folgendes zeigen:
\(\alpha:0 \rightarrow Kern(f), 0 \mapsto 0\) ist einziger Homomorphismus. Da bin ich noch nicht weiter gekommen, da mir nicht klar ist, was nach obiger Definition hier f, g sind (\(\phi\) ist klar)...?


VG





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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-07-06


Ich verstehe Dich nicht!

Finde als erstes heraus, um welche Strukturen es sich bei <math>A</math> und <math>B</math> handelt!

Wenn es denn Vektorräume sind, was sind dann <math>f</math> bzw. <math>g</math> in <math>(A,f)</math> und <math>(B,g)</math>? Was ist jetzt <math>\varphi</math>?

Vermeide bitte mehrfach Bezeichnungen und bleibe bei einmal getroffenen Bezeichnungen! Sonst werden wir uns hier ewig im Kreise drehen.


Für die erste der beiden anderen Sequenzen (0→Kern(f)→A) habe ich mir nun Folgendes überlegt:

Bild(f)=0=g−1(0)=Kern(g), damit sind die Mengen meiner Ansicht nach gleich, was zu zeigen ist.
Das hat rein gar nichts mit dem zu tun, was ich Dir aufgetragen habe!
Daher nocheinmal: was sind <math>Bild(\alpha)</math> und <math>Kern(\beta)</math>?

Wenn Dir das mit dem einzigen Homomorphismus <math>:0\to Kern(f)</math> zu schwer ist, dann lassen wir das ersteinmal beiseite.





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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-06


Entschuldige, ich gebe mein Bestes.

Also ich habe A, B als Vektorraumhomomorphismen (wie oben geschrieben) gegeben. Was ich angegeben habe, war die Definition, nachdem Sie gesagt hatten, dass meine erstgenannte Def. nicht die Richtige war.
Das \(\phi\) wäre dann in dem Fall Ihr definiertest \(\alpha\), was f, g sind, weiß ich leider selbst nicht, daher bin ich auch nicht sehr sicher, dass es die richtige Definition ist, mir war vorher nur die andere Def. soweit geläufig.

Okay, noch ein Versuch: das Bild von \(\alpha\) müsste doch sein: \(Bild(\alpha) = Kern(f)\), da dies die Abbildung selbst so angibt.

Ferner ist: \(Kern(\beta) = \beta^{-1}(0) = Kern(f)\) und damit herrscht Gleichheit, was zu zeigen war ... ?



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-07-06



Entschuldige, ich gebe mein Bestes.

Also ich habe A, B als Vektorraumhomomorphismen (wie oben geschrieben) gegeben. Was ich angegeben habe, war die Definition, nachdem Sie gesagt hatten, dass meine erstgenannte Def. nicht die Richtige war.
Das ϕ wäre dann in dem Fall Ihr definiertest α, was f, g sind, weiß ich leider selbst nicht, daher bin ich auch nicht sehr sicher, dass es die richtige Definition ist, mir war vorher nur die andere Def. soweit geläufig.
Das lasse ich mal unkommentiert...

Zu <math>Bild(\alpha)</math>: Wieviele Elemente hat der Definitionsbereich von <math>\alpha</math>? Wohin wird die Null abgebildet?
Wenn Du dies beantworten kannst, kennst Du die Bildmenge von <math>\alpha</math>.

Zu <math>Kern(\beta)</math>: Schau Dir die Definition der Abbildung <math>\beta</math> von AlgebraicInteger an: was macht <math>\beta</math>? Finde heraus, welche Elemente aus dem Definitionsbereich von <math>\beta</math> auf die Null abgebildet werden. Soviel sei verraten: es sind nicht viele...



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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-06


Der Definitionsbereich von \(\alpha\) enthält die 0, enthält also ein Element. Die 0 wird auf Kern(f) abgebildet, somit ist: Kern(f) = 0, also  ist die Bildmenge von \(\alpha\) 0?

\(\beta\) schickt x auf x, daher wird lediglich 0 auf die 0 geschickt??
\(\beta\) hieß bei AlgebraicInteger \(\phi\).
(Ich hoffe, dass die Notation jetzt wieder richtig ineinander über geht - es ist tatsächlich schwer, wenn Notationen von verschiedenen Personen kommen.)

Ist es nun so in Ordnung???



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-07-07


2019-07-06 14:51 - GiFi in Beitrag No. 10 schreibt:
Der Definitionsbereich von <math>\alpha</math> enthält die 0, enthält also ein Element.
Richtig

Die 0 wird auf Kern(f) abgebildet, somit ist: Kern(f) = 0,
Grober Unfug

 also  ist die Bildmenge von <math>\alpha</math> 0?
Richtig

<math>\beta</math> schickt x auf x, daher wird lediglich 0 auf die 0 geschickt??
Prima

Also wissen wir jetzt, dass <math>Bild(\alpha)=0</math> und <math>Kern(\beta)=0</math> ist. Folglich gilt <math>Bild(\alpha)= Kern(\beta)</math>.

Nun zum nächsten Teil der Sequenz: jetzt musst Du zeigen, dass <math>Bild(\beta)= Kern(f)</math> - bzw. <math>Bild(\phi)= Kern(f)</math> - ist, wobei <math>f</math> der aus der Voraussetzung gegebene Homomorphismus ist.
Das kann man ziemlich schnell erledigen.

Den Rest kriegst Du vielleicht ohne Hilfe hin. Sonst frage einfach nocheinmal nach. Übrigens ist der letzte Homomorphismus der Kette wieder der Nullhomomorphismus, denn andere Möglichkeiten gibt auch hier nicht.
 

<math>\beta</math> hieß bei AlgebraicInteger <math>\phi</math>.
(Ich hoffe, dass die Notation jetzt wieder richtig ineinander über geht - es ist tatsächlich schwer, wenn Notationen von verschiedenen Personen kommen.)

Ist es nun so in Ordnung???



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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-07


Danke, dass ich nochmal nachfragen darf. Ich mag es ganz verstehen, daher frage ich auch lieber nach, bis ich es vollständig habe.

Zunächst einmal bin ich nochmal den ganzen Verlauf durchgegangen und was mir nicht klar ist: Wieso zeigt man zuerst: \(Bild(\alpha) = Kern(\beta)\)? Es dient lediglich als Hilfe zum nächsten Schritt, oder?

Sie haben geschrieben, dass man als Nächstes zeigen müsse, dass: \(Kern(f) = Bild(\beta)\), ist es nicht genau andersherum (s. Definition von Exaktheit), also: \(Kern(\beta) = Bild(f)\), da ich ja den Zusammenhang und damit die Exaktheit der Sequenz zeigen möchte???
Das habe ich weiter unten einmal notiert gehabt, wäre das dann so in Ordnung (ist dann wirklich nicht viel)...?

Wenn ich das dann Alles gezeigt habe, habe ich doch Alles gezeigt, weil der letzte Homomorphismus (das der ebenfalls 0 sein muss ist klar) \(Coker(f) \rightarrow 0, z \mapsto z\) ist, wobei 0 erneut auf 0 geschickt wird.


VG und danke



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-07-07


Die Antwort auf Deine Fragen ergeben sich aus der Definition der exakten Sequenz, welche Du, wie ich aufgrund Deiner Fragen vermute, nicht verstanden hast oder nicht kennst.

Poste die Definition hierher, damit wir sie durchgehen können.



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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-07


Okay, das mache ich.
Also, eine Sequenz \(U \rightarrow V \rightarrow W\) mit: \(f: U \rightarrow V\), \(g: V \rightarrow W\) heißt exakt, falls: \(Bild(f) = Kern(g)\).
Weiterhin habe ich noch die Definition, dass eine Kette von Homomorphismen exakte Sequenz ist, falls je zwei aufeinanderfolgende Homomorphismen exakte Sequenz im obigen Sinn sind.



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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-07


Daher ist mein Ansatz gewesen für folgende Kette (die beiden ersten Abb. habe ich nun noch benannt, der Deutlichkeit halber):

\(0 \stackrel{\kappa}\rightarrow Kern(f) \stackrel{\alpha}\rightarrow A \stackrel{f}\rightarrow B \stackrel{\beta}\rightarrow Coker(f) \stackrel{\mu}\rightarrow 0\)

z.z.:
\(Bild(\kappa) = Kern(\alpha)\)
\(Bild(\alpha) = Kern(f)\)
\(Bild(f) = Kern(\beta)\)
\(Bild(\beta) = Kern(\mu)\)






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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-07-07


Ich kann keinen Zusammenhang zwischen Deinen Bezeichnungen und den in diesem Faden bisher getroffenen Vereinbarungen erkennen (siehe Beitrag 5).

Abgesehen davon hast Du die Definitionen richtig wiedergegeben. Wendest Du also die vorher gemachten Bezeichnungen an, sollten Deine Fragen beantwortet sein; sonst frage nocheinmal.
 



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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-07


Ich schaue jetzt nochmal, entschuldige, es wird langsam echt unübersichtlich, also:

\(0 \stackrel{\alpha}\rightarrow Kern(f) \stackrel{\beta}\rightarrow A \stackrel{f}\rightarrow B \stackrel{\gamma}\rightarrow Coker(f) \stackrel{\delta}\rightarrow 0\)

z.z.:
\(Bild(\alpha) = Kern(\beta)\) (ich fasse gleich nochmal zusammen)
\(Bild(\beta) = Kern(f)\) - JETZT IST AUCH KLAR, WO MEIN "DOOFER" Bezeichungsfehler war bei den ganzen Bezeichungen, sorry
\(Bild(f) = Kern(\gamma)\)
\(Bild(\gamma) = Kern(\delta)\)






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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-07


Also jetzt nochmal, wobei ich da Morgen nochmal ausgeschlafen drüber lese *zzz:

Bislang hatte ich nun:

\(Bild(\alpha) = 0 = Kern(\beta)\), da: \(\beta^{-1}(0) = 0\) und \(\alpha:0 \rightarrow Kern(f), x \mapsto x\)

Nun noch z.z.:
\(Bild(\beta) = Kern(f)\) = A ???? Weil für einen VR V gilt: V = Kern(f) + Bild(f) ?? Die vielen Fragezeichen machen hoff. deutlich, dass ich das stark bezweifle … .

\(Bild(f) = Kern(\gamma)\) noch zu zeigen …
 
\(Bild(\gamma) = Kern(\delta)\) = 0 ???? (Der letzte Hom. schickt ebenfalls Alles auf 0, also \(x \mapsto x\))






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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2019-07-08


2019-07-07 22:27 - GiFi in Beitrag No. 18 schreibt:
Also jetzt nochmal, wobei ich da Morgen nochmal ausgeschlafen drüber lese *zzz:

Bislang hatte ich nun:

\(Bild(\alpha) = 0 = Kern(\beta)\), da: \(\beta^{-1}(0) = 0\) und \(\alpha:0 \rightarrow Kern(f), x \mapsto x\)
Das hatten wir in den letzten Tagen erledigt.

Nun noch z.z.:
\(Bild(\beta) = Kern(f)\) = A
Kannst Du mir mal verraten, wieso zu zeigen sein sollte, dass Bild und Kern $A$ sein sollen?! Du hast doch selber gerade $Bild(\beta)= Kern(f)$ als zu zeigende Bedingung angegeben!
Also dasselbe Spiel: was macht $\beta$? Was ist der Definitionsbereich von $\beta$? Was heisst das für die Bildmenge von $\beta$?

 
???? Weil für einen VR V gilt: V = Kern(f) + Bild(f) ?? Die vielen Fragezeichen machen hoff. deutlich, dass ich das stark bezweifle … .

\(Bild(f) = Kern(\gamma)\) noch zu zeigen …
 
\(Bild(\gamma) = Kern(\delta)\) = 0 ???? (Der letzte Hom. schickt ebenfalls
Alles auf 0, also \(x \mapsto x\))
Echt?






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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-08


Hallo nochmal!

Ich wollte den ersten der vier z.z. Aufgaben nur der Vollständigkeit halber nochmal "sauber" anführen.

Zu: \(Bild(\beta) = Kern(f)\):

\(\beta:Kern(f) \rightarrow A, x \mapsto x\), das macht \(\beta\).
Der Definitionsbereich ist: Kern(f).
Was das für die Bildmenge von \(\beta\) heißt:
Da \(x \mapsto x\), müsste das \(Bild(\beta)\) der Kern(f) sein ???
Aber das ist doch meine Annahme, ich kann doch nicht einfach schreiben:
\(Bild(\beta) = Kern(f)\) gilt, oder??

Zu Letzterem: dann wohl "echt nicht"



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2019-07-08


Es ist tatsächlich so einfach - auch die anderen Gleichungen, die noch zu zeigen sind: alles folgt direkt aus den Definitionen. Ob Du dafür schon die volle Punktzahl erhältst, kann ich nicht beurteilen. Um sicher zu gehen, wende an, was Du gelernt hast.

Um <math>Bild(\beta)= Kern(f)</math> zu beweisen, zeige, dass die linke in der rechten Menge enthalten ist und umgekehrt; tiefsinnig wird das aber auch nicht. Für Anfänger ist es aber eine wichtige Übung.
Z.B. zeige ich, dass <math>Bild(\beta)\subseteq Kern(f)</math> gilt.

Dazu sei <math>y\in Bild(\beta)</math> beliebig. Zu zeigen ist, dass <math>y\in Kern(f)</math> ist. Weil <math>y</math> im Bild von <math>\beta</math> und <math>\beta:Kern(f)\to A</math> gilt, gibt es ein <math>x\in Kern(f)</math> mit <math>x^{\beta}= y</math>. Nach Definition von <math>\beta</math> gilt <math>x^{\beta}=x</math>, sodass <math>y=x\in Kern(f)</math> folgt. Weil <math>y</math> beliebig war, folgt <math>Bild(\beta)\subseteq Kern(f)</math>.

Nun <math>Kern(f)\subseteq Bild(\beta)</math>. Sei <math>x\in Kern(f)</math>. Zu zeigen ist, dass es es Element aus dem Definitionsbereich von <math>\beta</math> gibt, das auf <math>x</math> abgebildet wird...


Der letzte Hom. schickt ebenfalls Alles auf 0, also x↦x
Sag' Du es: beschreiben <math>x\mapsto 0</math> und <math>x\mapsto x</math> i.a. die selbe Abbildung?



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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-08


Okay, danke

Ja, einige Inklusionen habe ich schon bei anderen Aufgaben gezeigt. Hier fällt es mir iwi sehr schwer.

\(x \mapsto 0\) und \(x \mapsto x\) beschreiben wohl nur dieselbe Abbildung, wenn x = 0 auf der rechten Seite steht ... .


D.h. für die letzte Abbildung müsste gelten:

\(\delta:Coker(f) \rightarrow 0, x \mapsto 0\)??

Die äußere Richtung (\(Bild(\gamma) = Kern(\delta)\)) müsste dann gelten, weil: \(Kern(\delta) = \delta^{-1}(0) = x = ... = Coker(f)\) ... - also für mich folgt das nicht direkt aus der Definition ...
 



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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-08


2019-07-08 13:40 - hippias in Beitrag No. 21 schreibt:

Dazu sei <math>y\in Bild(\beta)</math> beliebig. Zu zeigen ist, dass <math>y\in Kern(f)</math> ist. Weil <math>y</math> im Bild von <math>\beta</math> und <math>\beta:Kern(f)\to A</math> gilt, gibt es ein <math>x\in Kern(f)</math> mit <math>x^{\beta}= y</math>. Nach Definition von <math>\beta</math> gilt <math>x^{\beta}=x</math>, sodass <math>y=x\in Kern(f)</math> folgt. Weil <math>y</math> beliebig war, folgt <math>Bild(\beta)\subseteq Kern(f)</math>.


Hierzu noch: Wieso \(x^{\beta}\) und nicht einfach eine andere Variable, sagen wir z ?? Ansonsten habe ich den Teil soweit verstanden, danke.



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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-08


2019-07-08 13:40 - hippias in Beitrag No. 21 schreibt:
Nun <math>Kern(f)\subseteq Bild(\beta)</math>. Sei <math>x\in Kern(f)</math>. Zu zeigen ist, dass es es Element aus dem Definitionsbereich von <math>\beta</math> gibt, das auf <math>x</math> abgebildet wird...


Ich habe es mal hier versucht, ist aber nicht viel … :
Sei \(x \in Kern(f)\).
Da: <math> \beta : Kern(f) \rightarrow A, x \mapsto x \exists x^" </math> <math> \in Kern(f) : \beta(x^" </math> <math> )= x \implies Kern(f) \supseteq Bild(\beta) </math>



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GiFi
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Ah, so langsam wird es mir beim "Basteln" klarer und verständlich, warum es eigentlich "klar" ist.

Ich habe mir noch die letzte fehlende Richtung angesehen und habe Folgendes:

z.z.: \(Bild(f) = Kern(\gamma)\):

\(Kern(\gamma) = \gamma^{-1}(0) = 0 + Bild(f) = Bild(f)\)

Ist das so in Ordnung?



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hippias
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2019-07-08 14:10 - GiFi in Beitrag No. 24 schreibt:
2019-07-08 13:40 - hippias in Beitrag No. 21 schreibt:
Nun <math>Kern(f)\subseteq Bild(\beta)</math>. Sei <math>x\in Kern(f)</math>. Zu zeigen ist, dass es es Element aus dem Definitionsbereich von <math>\beta</math> gibt, das auf <math>x</math> abgebildet wird...


Ich habe es mal hier versucht, ist aber nicht viel … :
Sei <math>x \in Kern(f)</math>.
Da: <math> \beta : Kern(f) \rightarrow A, x \mapsto x \exists x^" </math> <math> \in Kern(f) : \beta(x^" </math> <math> )= x</math>
Vermutlich lässt Dein Korrektor das nicht durchgehen: wähle <math>x"= x</math>...

 <math>\implies Kern(f) \supseteq Bild(\beta) </math>

Eher nicht. Schreibfehler?



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hippias
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2019-07-08 14:21 - GiFi in Beitrag No. 25 schreibt:
Ah, so langsam wird es mir beim "Basteln" klarer und verständlich, warum es eigentlich "klar" ist.

Ich habe mir noch die letzte fehlende Richtung angesehen und habe Folgendes:

z.z.: \(Bild(f) = Kern(\gamma)\):

\(Kern(\gamma) = \gamma^{-1}(0) = 0 + Bild(f) = Bild(f)\)

Ist das so in Ordnung?

Ich persöhnlich bin damit nicht unzufrieden. Aber auch hier kannst -solltest? - Du im Zweifel die Mengeninklusionen nachrechnen.



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GiFi
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Vielen, vielen Dank!

Es gibt Sicherheit, das es nicht ganz unzufriedenstellend ist.

Und natürlich war es ein Schreibfehler ;) .



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