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Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » Differentialgleichung ohne Anfangswertproblem lösen
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Universität/Hochschule Differentialgleichung ohne Anfangswertproblem lösen
nakrama
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2019
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-06


Hallo,

habe erneut Aufgaben zu Differentialgleichungen gekriegt:
1) $$ y'(x)+2xy=2xy^2 $$
2) $$ y' = x^2- \frac{y}{x}+4 $$

Hab es bei der 1. mit der Bernoulli DGL versucht und substituiert, jedoch sieht meine Stammfunktion nach dem integrieren nicht wirklich hilfreich aus:
1) Substitution:
   $$ z = 1/y \Leftrightarrow y = 1/z $$
   $$ \Rightarrow z' = -y^{-2}y'$$
   Einsetzen:
   $$ -z^2*z'+2xz^{-1}=2xz^{-2} $$
   $$ -z^2*z'=2xz'^{-2}-2xz^{-1} = \frac{2x}{z^2}-\frac{2x}{z} $$
   $$ => z'= \frac{2x(z-1)}{z^4} $$
   Umformung liefert dann
   $$ \int z^4*\frac{1}{z-1} dz = 2*\int x dx $$
   $$ \frac{1}{12}*(3z^4+4z^3+6z^2+12)+ln(\left\lvert z-1 \right\rvert)=x^2+C $$

Falls meine Rechnung bis hier her stimmen sollte, weiß ich leider nicht wie mich das nun weiterbringen soll  confused



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trunx
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.08.2003
Mitteilungen: 2832
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-06


du hast direkt nach dem Einsetzen einen Fehler drin.


-----------------
das problem des menschen ist nicht, dass er fleisch von tieren isst, sondern dass er für sein wachstum KRIEG gegen alle anderen lebensformen führt. dieser krieg nennt sich (land)wirtschaft, seine ideologische legitimation kultur.



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nakrama
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Dabei seit: 12.05.2019
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-06



du hast direkt nach dem Einsetzen einen Fehler drin.
Würdest du mir verraten wo dieser liegt?
Den Tippfehler im Exponenten habe ich verbessert.



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Caban
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 658
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-06


fed-Code einblenden

Gruß Caban



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grosserloewe
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.12.2012
Mitteilungen: 249
Aus: Thueringen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-07-06


Hallo,

Du kannst diese DGL mittels Trennung der Variablen lösen.

y'= 2x y^2 -2xy

y'= 2xy(y-1)

dy/dx= 2xy(y-1)

fed-Code einblenden

usw.



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nakrama
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2019
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-07



Du kannst diese DGL mittels Trennung der Variablen lösen.
y'= 2x y^2 -2xy
y'= 2xy(y-1)
dy/dx= 2xy(y-1)
fed-Code einblenden
usw.

Danke, den Ansatz hab ich nicht gesehen biggrin
Aber trotzdem komm ich nicht viel weiter, integrieren liefert mir:
ln(y-1)-ln(y)=x^2 + C
Möchte es ja nun nach y umformen, einerseits stellt sich mir die Frage wie,
anderseits ist es für meine Lösung nötig das C zu bestimmen?
Habe ja kein Anfangswertproblem und somit müsste ich doch keine spezielle Lösung angeben?



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nakrama
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2019
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-07


Habe nun folgendes versucht:
$$ y = \frac{1}{z} , y' = -\frac{z'}{z^2} $$
$$ -\frac{z'}{z^2} = 2x\frac{1}{z^2}-2x-\frac{1}{z} $$
$$ -z' =2x-2xz $$
$$ z' = -2x+2xz = 2x(z-1) $$
$$ \frac{dz}{dx} = 2x(z-1) $$
$$ \frac{1}{1-z}dz=2x dx $$
$$ \int \frac{1}{z-1}dz=2 \int xdx $$
$$ ln(z-1) = x^2 + C $$
$$ z-1 = e^{x^2} +e^C $$
$$ z = e^{x^2}+ e^c + 1 $$
Rücksubstituieren:
$$ \frac{1}{y} = e^{x^2} +e^C +1 $$
$$ y = \frac{1}{e^{x^2}+e^C+1} $$



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Caban
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 658
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-07-07


fed-Code einblenden
Gruß Caban



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nakrama
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2019
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-07



fed-Code einblenden

Ja, das stimmt natürlich, hab die Potenzgesetze in dem Moment nicht im Kopf gehabt..
Aber wenn ich deine Variante mit den Logarithmen umforme:

$$ ln(y-1)-ln(y)= x^2+C $$
$$ \frac{y-1}{y} = 1-\frac{1}{y} = e^{x^2+C} $$
$$ y = \frac{1}{1-e^{x^2+C}} \neq y = \frac{1}{e^{x^2+C}+1} $$
Oder hab ich vorher bei meiner anderen Rechnung etwas übersehen?



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2312
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-07-07

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

das kommt hier offensichtlich von einem völlig nachlässigen Umgang mit der Integrationskonstanten im Zusammenhang mit diesem Lösungsverfahren. Es geht damit los, dass du mal den Term \(e^{x^2+C}\) noch faktorisieren solltest. Und dann mal überlegen, welche Werte diese Konstante, die jetzt bei dir \(e^C\) heißt, eigentlich annehmen können sollte. Wäre das hier beachtet worden, dann wäre sofort klar, dass beide Darstellungen äquivalent sind...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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