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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Anwendung Satz von der monotonen Konvergenz
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Universität/Hochschule Anwendung Satz von der monotonen Konvergenz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-08


Hallo liebe Leute,

ich arbeite mich gerade durch das Kapitel über lineare Funktionale in H.W. Alts "Lineare Funktionalanalysis" und stoße regelmäßig auf Probleme, da ich mich eher in der endlich-dimensionalen Mathematik zuhause fühle und Alt viele Dinge anders definiert, als ich dies aus dem Bauch heraus erwarten würde.

Folgendes Problem habe ich aktuell:

Gegeben seien ein Maßraum $(S,\mathcal{B},\mu)$, eine Funktion $f\in L^1(\mu;\mathbb{R})$, $1<p<\infty$ und es gelte
\[ \underbrace{\left(\int_{A_m}|f|^pd\mu\right)^{\frac1p}}_{=||f|_{A_m}||_{L^p(\mu)}}\leq C\hspace{1em}\forall m\in\mathbb{N}, \]
für $A_m:=\{x\in S:0<|f(x)|\leq m\}$.

Wie nutze ich hier den Satz von der monotonen Konvergenz, um zu zeigen, dass $f\in L^p(\mu)$ und $||f||_{L^p(\mu)}\leq C$ gilt?

Der Satz von der monotonen Konvergenz ist formuliert wie folgt:

Seien $f_k\in L(\mu;\mathbb{R})$ für $k\in\mathbb{N}$ und $f:S\rightarrow\mathbb{R}$. Es gelte $0\leq f_k\nearrow f$ $\mu$-fast überall für $k\rightarrow\infty$ und
\[ \limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\int_S f_kd\mu <\infty.  \] Dann ist $f\in L(\mu;\mathbb{R})$ und es konvergiert $f_k\rightarrow f$ in $L(\mu;\mathbb{R})$ für $k\rightarrow \infty$. Insbesondere ist
\[ \int_Sfd\mu = \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\int_Sf_kd\mu.  \]
Alt definiert die Lebesgue-integrierbaren bzw. $L^p$ Funktionen wie folgt:

\[ f\in L(\mu;\mathbb{R}) \hspace{1em}:\Leftrightarrow\hspace{1em} f:S\rightarrow\mathbb{R} \text{ und es gibt eine Folge } (f_k)_{k\in\mathbb{N}}\in \widetilde{T}(\mu;\mathbb{R}), \text{ so dass } f=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}f_k ~\mu\text{-fast überall} \]
\[ f\in L^p(\mu;\mathbb{R}) \hspace{1em}:\Leftrightarrow\hspace{1em} f:S\rightarrow\mathbb{R} \text{ ist } \mu\text{-messbar} \text{ und } |f|^p\in L(\mu;\mathbb{R})\]
Hierbei sei $\widetilde{T}$ die Vervollständigung des Raums der einfachen Funktionen. Außerdem folgert Alt an einer Stelle, dass $L(\mu;\mathbb{R})=L^1(\mu;\mathbb{R})$.

Die Aufgabenstellung ist eigentlich trivial und intuitiv. Was mir jedoch in dem Buch fehlt ist eine Formulierung des Satzes von der monotonen Konvergenz im Sinne der $L^p$ Funktionen oder ein Resultat der Form
\[ f \in L^p(\mu;\mathbb{R}) \hspace{1em}:\Leftrightarrow\hspace{1em} f ~\mu\text{-messbar und } ||f||_{L^p(\mu)}<\infty.  \] Wie argumentiere ich auf Basis der obigen Definitionen?



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