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Mechanik » Dynamik der Punktmasse » Kraft auf Punkt auf Spiralbahn (Polarkoordinaten)
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Autor
Universität/Hochschule J Kraft auf Punkt auf Spiralbahn (Polarkoordinaten)
Euler_eleluler
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Dabei seit: 02.02.2019
Mitteilungen: 49
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-10


Hallo!

Ich hab eine vermutlich einfache Frage, die originelle Fragestellung lautet: "Betrachten sie eine Punktmasse, die sich in x-y Ebene auf Spiralbahn bewegt: $r(\varphi)=a \cdot$ exp($-b\cdot \varphi)$. (a und b sind Konstanten)

Hierzu soll ich nun die auf die Punktmasse wirkende Kraft berechnen.
Muss ich dazu $r(\varphi)$ einfach 2 mal ableiten und mit m multiplizieren? Bloß dann habe ich doch keinen Kraftvektor $\vec{F}$  oder? Dann weiter wüsste ich nicht, wie ich daraus ein Potential gewinnen könnte.

Am Ende soll nämlich noch die Hamiltonfunktion des Systems aufgestellt werden. Das ist aber nicht das Problem.

Danke für jede Hilfe.



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Rathalos
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.08.2018
Mitteilungen: 94
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-10


Hallo Euler_eleluler,

Du musst im Prinzip die Beschleunigung ausrechnen um auf die Kraft zu kommen. Beachte dabei, dass die Newton Gleichung nicht Forminvariant ist, dh es gilt nicht einfach \(F_r = m \ddot r\).

Du wirst auf das Problem stossen, dass du Zeitableitungen berechnen musst und somit auf Terme wie \(\partial_\phi r \cdot \dot \phi\) stößt, die die Zeitableitung von \(\phi \) enthalten. Ich glaube daher, dass die Aufgaube nur lösbar ist, wenn du annimmst, dass die Kraft konservativ ist also nur radialabhängig. Dann kannst du die WInkelableitung aus einem Erhaltungssatz bestimmen.

2) Wie ist denn ein Potential definiert? Und wie kannst du die Kraft dann hochintegrieren um auf das Potential zu kommen?



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lula
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Dabei seit: 17.12.2007
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Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-07-11


Hallo
 ist dennn irgendetwas über die Geschwindigkeit der Punktmasse gesagt? kannst du die Originalaufgabe vollständig zitieren, Bisher gibt die Aufgabe für mich keinen Sinn, denn x-y Ebene sagt ja wohl keine Gravitationskraft ausser senkrecht zur Fläche, oder liegt die y-achse in Richtung g?
bis dann, lul


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Euler_eleluler
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Dabei seit: 02.02.2019
Mitteilungen: 49
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-11


Hallo, danke für eure Antworten.

Ja ich habe euch unterschlagen, dass der Drehimpuls als konstant angenommen wird. Sonst ist die Aufgabe wirklich 1 zu 1 hier gepostet.


Ich habe nun erstmal die zweite Ableitung gebildet: $r''(\varphi)=a b^2 \varphi '^2 \cdot $exp$(-b \varphi)$

Ich denke ich habe nun auch verstanden, warum das mit dem Drehimpuls angegeben wird. Denn der ist ja nun $L= m r^2 \varphi '$. Heißt ich stelle nach $\varphi '$ um und setze in $r''(\varphi)$ ein.
Dann folgt: $r''(\varphi)= b^2 a \frac{L^2}{m^2 r^4} \cdot$ exp$(-b\varphi)$.

Doch wie mach ich weiter? Grüße



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Rathalos
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Dabei seit: 11.08.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-07-11


Hallo Euler_eleluler,


Es gilt für die Kraft in Polarkoordinaten:
\[F_r = m \cdot (\ddot r - r \dot \phi^2)\] Die \(F_\phi \) Komponente ist null warum?

Weiterhin solltest du auf deine Notation aufpassen, bei deinen \(r''(\phi) = ... \phi'^2\) würde ich denken, dass du versucht hast r nach \( \phi \) abzuleiten, aber du hast es versucht nach der Zeit abzuleiten.


Weiterhin ist deine zweite Zeitableitung falsch, ich komme auf \[\ddot r = b^2 a \exp{(-b\phi)} \dot \phi^2 - ba \exp(-b \phi) \ddot \phi\]. Du darfst nicht vergessen, dass \(\phi \) auch von der Zeit abhängt und du daher die Produktregel brauchst.



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Euler_eleluler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-11


Hallo,

Du hast recht, die Notation ist gefährlich. Das Ableiten war unkonzentriert, ich komme jetzt auch auf deine Gleichung für $\ddot{r}$.


Die $\varphi$-Komponente ist 0, da keine Arbeit verrichtet entlang der Kurve?

Woher kommt diese Formel für die Kraft? Bzw. Was ist "$-mr\dot{\varphi}^2$"

vielen Dank für deine Hilfe.

Edit: Okay ja das ist die Zentrifugalkraft, aber wieso das negative Vorzeichen? Weil sie der Radialkraft entgegenwirkt?



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-07-11


Hallo Euler_eleluler,

Die Begründung warum die \(F_\phi\) Komponente 0 ist, ist nicht gut. Was wäre denn mit dem Drehimpuls, wenn die Komponente nicht Null wäre?


Im allgemeinen wird schlecht unterschieden zwischen Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft unterschieden. Stelle dir vor du schleuderst eine Kugel im Kreis. Dann bewegt sich die Kugel nur im Kreis, da das Seil eine nach innen ( entgegen den Radiusvektor) gerichtete Seilkraft auf die Masse ausübt.

Oft wird dies mit der Scheinkraft der Zentrifugalkraft gleichgesetzt. Dh, man überlege sich man, transformiere in das rotierende System der Masse. Die Masse selbst empfindet dann, dass auf ihr eine Kraft wirkt, die nach außen zeigt und die wegbeschleunigen möchte. (BSP Autofahren).






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Euler_eleluler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-11


Hallo,

Wäre die Komponente nicht 0, so würde der Drehimpuls nicht erhalten sein, d.h. eine Änderung des Drehimpulses wäre nicht mehr 0, sondern ein extra Drehmoment, welches hier aber offensichtlich nicht wirkt?


Und danke für die Erklärung.



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-07-11


Hallo Euler_eleluler,

Genau es würde ein Drehmoment wirken und somit wäre der Drehimpuls nicht mehr Zeitlich konstant. Zerlege \( \vec F = F_r \vec e_r + F_\phi \vec e_\phi \). Dann gilt \[\vec M = \vec r \times \vec F  = r \vec e_r \times ( F_r \vec e_r + F_\phi \vec e_\phi ) = r F_r (\vec e_r \times \vec e_r) + r F_\phi (\vec e_r \times \vec e_\phi) = r  F_\phi \vec e_z \]



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Euler_eleluler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-11


Hallo,

Okay super.

Ich habe nun alles eingesetzt und habe ja jetzt eine Kraft in Abhängigkeit von $\dot{\varphi}$ und $\ddot{\varphi}$.

Wäre es jetzt angemessen den Drehimpuls $L=mr^2 \dot{\varphi}$ einzubauen?



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-07-11


Hallo Euler_eleluler,

Ja das wäre eine gute Idee. Ich verrechne mich leider ziemlich oft aber komme auf das Ergebnis \[F_r = -\frac{(b^2+1)L^2}{mr^3}\].

Hoffe wir haben das Selbe  😄



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Euler_eleluler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-11


Hallo,

Nach einigen Vereinfachungen steht bei mir ${F_r}=\frac{L^2}{mr^4}\cdot ab^2 $exp$(-b\varphi) - \frac{L^2}{mr^4} a $exp$(-b\varphi)$

Jetzt ist bei dir die Masse und $a$ rausgeflogen, dann hätte ich das gleiche, aber geht das so einfach? Nur wenn man die Kraft durch die beiden Sachen teilt bzw. multipliziert oder?

Lg



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-07-11


Hallo Euler_eleluler,

Setze noch \(r = a \exp(-b \phi)\) ein, dann steht bei dir fast das Gleiche. Es unterscheidet sich nur um ein Vorzeichen bei dem \(b^2\)



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Euler_eleluler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-11


Hallo,

Ah ich sehe, vielen Dank. Das Potential dazu wäre dann $-\int F_r dr$?



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-07-11


Hallo Euler_eleluler,

Ja das Potential wäre dein angegebenes Integral.



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Euler_eleluler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-11


Hallo,

Und als letztes, die kinetische Energie in Polarkoordinaten lautet doch
$T=\frac{m}{2}(\dot{r}^2+\dot{\varphi}^2 r^2)$ . Dafür habe ich ja alles gegeben und damit auch eine Lagrange-Funktion oder?

Ich markiere den Thread dann als abgehakt, vielen Dank für die Hilfe.



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