Die Mathe-Redaktion - 22.09.2019 14:45 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 452 Gäste und 22 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Moduln » Ein K[x]-Modul V ist dasselbe wie ein K-Vektorraum zusammen mit einem Endomorphismus f:V→V
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Ein K[x]-Modul V ist dasselbe wie ein K-Vektorraum zusammen mit einem Endomorphismus f:V→V
Sambucus
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.03.2019
Mitteilungen: 52
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-11


An diesem Artikel orientiere ich mich:

de.wikipedia.org/wiki/Modul_(Mathematik)#Vektorr%C3%A4ume_mit_einer_linearen_Abbildung_in_sich_selbst

Meine Frage dazu:


1) Ich verstehe wie man den übergang von einem bel. $K[x]$-Modul $M$ zum $K$-VR durchführt, dafür betrachtet man $K$ als die Menge der konstanten Polynome, also als Einbettung in $K[x]$

Die innere additive Verknüpfung ist in $M$ als $K[X]$-Modul und $M$ als VR gleich, und die Menge bildet mit "+" eine abelsche Gruppe.

Die Skalarmultiplikation ist dann definiert als:
$\cdot :K\times M\rightarrow M, \left(\lambda,m\right)\mapsto \lambda 1\cdot m $

$\lambda 1 $ soll andeuten, dass es sich jetzt um ein Polynom handelt.
Die restlichen Vektorraumaxiome kann man nachrechnen.

Sei $V$ dieser Vektorraum.


Um von $V$ zurück zum ursprünglichen $K[X]$-Modul zu kommen, definiert man den Endomorphismus, $A:V\rightarrow V,v\mapsto X\cdot v$.
Nun definiert man die Skalarmultiplikatiion wie in 2) und setzt $f=A$ .

Korrekt?


$A$ ist linear.*


2) Nun die andere Richtung:
 
Sei $V$ ein $K$-Vektorraum, sowie $f$ ein beliebiger Endomorphismus auf $V $.

Man definiert nun $f(v):=X\cdot v$.
Warum kann man das so definieren???
Sry, wenn die Frage ungenau formuliert ist, ich bekomme mein Problem damit nicht so gut in Worte gefasst.
Mich irritiert, dass man einen Endomorphismus $f:V\rightarrow V$ auf der einen Seite hat und  auf der anderen Seite $X\cdot v$, was nicht mal unbedingt in $V$ enthalten ist, da $X$ nicht unbedingt in $K$ enthalten ist.
 
 Die Skalarmultiplikation kann man folgendermaßen definieren:
$\cdot :K[X]\times V\rightarrow V, \left(\sum \limits_{i=0}^{n} a_iX^i,v\right)\mapsto \left(\sum \limits_{i=0}^{n} a_if^i(v)\right)$.

Die innere additive Verknüpfung ist in $V$ als VR und $V$ als $K[X]$-Modul gleich, und die Menge bildet mit "+" eine abelsche Gruppe.

Die restlichen Modulaxiome kann man nachrechnen.


* Beweis:
Seien $\lambda \in K$ und $v_1,v_2\in V $ bel., dann gilt:

$A(\lambda 1\cdot v_1+v_2)=X\cdot (\lambda 1\cdot v_1+v_2)
=X\cdot (\lambda 1\cdot v_1) + X\cdot v_2 \\
=((X \lambda 1)\cdot v_1) + X\cdot v_2
=((\lambda 1 X)\cdot v_1) + X\cdot v_2 \\
=\lambda 1 (X\cdot v_1) + X\cdot v_2= \lambda 1\cdot A(v_1)+A(v_2) $

Wobei die Eigenschaften von einem Modul und von $K[X]$ genutzt wurden.


Anmerkung: Ich hatte schon mal eine ähnliche Frage gestellt, aber es erscheint mir übersichtlicher, ein neues Thema zu eröffnen, da ich zuvor wirrer geschrieben habe und meine Fragen sich verändert haben.

Siehe: LinkK[x]-Modul als K-Vektorraum interpretieren und andersherum



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1624
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-11

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-07-11 22:34 - Sambucus im Themenstart schreibt:
Man definiert nun $f(v):=X\cdot v$.
Warum kann man das so definieren???
Andersherum: Man definiert $X\cdot v:= f(v)$.
Warum? Wir haben einen $K$-Vektorraum $V$ und einen Endomorphismus $f$ von $V$. Wir wollen mit diesen Zutaten $V$ als $K[X]$-Modul auffassen. Dazu müssen wir insbesondere irgendwie festlegen, wie $X\in K[X]$ auf Elementen von $V$ wirken soll. Die naheliegende Weise das zu tun ist $X\cdot v:= f(v)$ zu definieren.

\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sambucus
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.03.2019
Mitteilungen: 52
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-12

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-07-11 22:51 - Nuramon in Beitrag No. 1 schreibt:

Andersherum: Man definiert $X\cdot v:= f(v)$.
Warum? Wir haben einen $K$-Vektorraum $V$ und einen Endomorphismus $f$ von $V$. Wir wollen mit diesen Zutaten $V$ als $K[X]$-Modul auffassen. Dazu müssen wir insbesondere irgendwie festlegen, wie $X\in K[X]$ auf Elementen von $V$ wirken soll. Die naheliegende Weise das zu tun ist $X\cdot v:= f(v)$ zu definieren.


Leuchtet ein, danke :)

Zu 2)
Es war aber richtig von mir zu schreiben, dass $f$ ein BELIEBIGER Endomorphismus auf $V$ ist?
Ich könnte also aus einem BELIEBIGEN Vektorraum-Endomorphismus und dem entsprechenden Vektorraum ein $K[X]$-Modul konstruieren?

Wäre nett wenn jemand nochmal kurz auf folgende Frage eingehen könnte:

2019-07-11 22:34 - Sambucus im Themenstart schreibt:


1) ...

Um von $V$ zurück zum ursprünglichen $K[X]$-Modul zu kommen, definiert man den Endomorphismus, $A:V\rightarrow V,v\mapsto X\cdot v$.
Nun definiert man die Skalarmultiplikatiion wie in 2) und setzt $f=A$

Korrekt?


Ich bin mir dabei zwar relativ sicher, aber ich habe bei diesem Thema schon öfter etwas falsch interpretiert.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1624
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-12


Ja, stimmt so. Es fehlt noch der Nachweis, dass diese Abbildungen in 1) und 2) invers zueinander sind, aber das ist eigentlich auch klar.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sambucus hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sambucus hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Sambucus wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]