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Strukturen und Algebra » Polynome » Nullstellen von Polynomen (ab Grad 4)
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Universität/Hochschule Nullstellen von Polynomen (ab Grad 4)
Urnisapa
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.07.2019
Mitteilungen: 1
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-15


fed-Code einblenden



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1629
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-15


Hallo Urnisapa und herzlich Willkommen hier auf Matroids Matheplanet!

Es geht hier nicht um quadratische Funktionen, sondern allgemein um Polynomfunktionen bzw. ganzrationale Funktionen, wie man sie auch nennt.

Setzt man eine solche Funktion gleich Null, so entsteht eine algebraische Gleichung der selben Ordnung wie die Funktion.

Lineare Gleichungen löst man per Äquivalenzumformung.

Quadratische Gleichungen mit der Mitternachtsformel (abc-Formel, pq-Formel).

Auch für Gleichungen 3. und 4. Ordnung existieren Formeln, jedoch recht anspruchsvolle.

Ab der Ordnung 5 kann man eine solche Gleichung im allgemeinen Fall nicht analytisch lösen.


Gruß, Diophant



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sulky
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1333
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-07-15


hallo urnisapa,

In deinem Beispiel sind die Summe aller Koeffizienten gleich Null.

In den Schulbuchaufgaben ist dies meist der Fall.

In diesem Sonderfall ist x=1 eine Lösung.


Es gibt die Kardanische Auflösungsformel für die kubische Gleichung.
Diese Formel ist zwar absolut genial, spielt in der Mathematik aber eine untergeordnete Rolle.

Das Finden der Nullstellen eines Polynomes 4.Grades ist -so finde ich- sogar fast einfach als für 3.Grades. Auch wenn ich vergessen habe wie es geht.
Musst es googeln.


Interessant ist aber dass man Beweisen kann, dass sich die Nullstellen für Polynome ab dem 5. Grade ganz anders verhalten als man das vermuten würde.

Auch hier muss ich dich auf Wikipedia verweisen, denn ein Polynom 5.Grades hat immer Reele Nullstellen und nun gilt es ganz genau zu definieren in welchem Raum dass diese eben nicht liegen.


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2185
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-15


Hallo,

in der Regel ist die effektivste Methode bei solchen Gleichungen höheren Grades die Polynomdivision.

Bemerke auch, dass es für Polynome ab Grad fünf keine Lösungsformel mehr gibt.

Für Gleichungen von Grad 3 und 4 gibt es zwar welche, die sind aber zu kompliziert um sie sich wirklich zu merken.

Siehe etwa hier.

Wenn du bei der zweiten Polynomdivision einen Rest bekommst, hast du dich verrechnet, oder einen falschen Linearfaktor rausgeteilt.

Wie gesagt ist bei Gleichungen dritten Grades oder höher, normalerweise die Polynomdivision anzuwenden, oder eben eine Substitution.

Ist dir bekannt, dass wenn es ganzzahlige Lösungen gibt, diese das Absolutglied teilen?

In deinem Beispiel ist das Absolutglied -1. Die einzigen Teiler sind $\pm 1$

Also prüfst du dann $f(1)$ oder $f(-1)$. In diesem Fall sind beide eine Nullstelle.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 26822
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-07-15


Hi Urnisapa

Willkommen auf dem Planeten

Noch eine kleine Ergänzung:
Für eine (wie auch immer) erratene Nullstelle $x_0$ (meist eben ein Teiler des Absolutgliedes, wie PrinzessinEinhorn anmerkte) muß gelten:
$f(x_0)=0$
Wenn das nicht der Fall ist, dann hast du dich bei der Berechnung von $f(x_0)$ verrechnet, oder $x_0$ ist halt doch keine Nullstelle.
Ist es eine, dann reduziert die Polynomdivision $f(x):f(x_0)$ den Grad des Polynoms. Und das Spiel beginnt von neuem, oder du hast den Grad auf $2$ reduziert und kannst die quadratische Gleichung $f^*(x)=0$ (dabei ist $f^*$ das Polynom vom Grad $2$, das übrig geblieben ist) direkt lösen.

Dein Anfangssatz ist natürlich Unfug:
2019-07-15 22:09 - Urnisapa im Themenstart schreibt:
fed-Code einblenden
Eine quadratische Gleichung hat den Grad 2(!).
Grad 3 nennt man kubisch, und Grad 4 biquadratisch.
Der Rest vom Grad >4 hat meines Wissens keinen eigenen Namen, und ist, wie bereits erwähnt, im Normalfall auch gar nicht mit einer Formel direkt lösbar.

Gruß vom ¼


-----------------
Bild



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ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2706
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-16


@viertel: Eine Gleichung 4. Grades heißt quartisch; biquadratisch ist eine Gleichung der Form $x^4 + ax^2 + b = 0$ (die man also durch Substitution sofort in eine quadratische Gleichung überführen kann). Eine Gleichung 5. Grades heißt quintisch.


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1629
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-07-16

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hier gibt es übrigens eine sehr einfache Möglichkeit, das Polynom zu faktorisieren (das war mir gestern Abend am Handy zu umständlich, sorry...):

\[\ba
x^4+2x^3-2x-1&=x^4-1+2x^3-2x\\
\\
&=\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)+2x\left(x^2-1\right)\\
\\
&=\left(x^2-1\right)\left(x^2+2x+1\right)\\
\\
&=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+1\right)^2\\
\\
&=\left(x-1\right)\left(x+1\right)^3
\ea\]

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Erlenmeyer
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.05.2019
Mitteilungen: 10
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-07-16


Hallo,

das mit den Quadratischen Funktionen ist natürlich Quatsch, keine Ahnung wie so ein Fehler mit unterlaufen ist :/

Vielen Dank für die ganzen Antworten das hilft mir wirklich sehr, so kann ich mich mit allem beschäftigen und aussuchen welche Methode mir am besten passt.

Hier gibt es übrigens eine sehr einfache Möglichkeit, das Polynom zu faktorisieren

Dies ist, wie ich finde, die beste Methode. Jedoch fällt es mir manchmal schwer es zu sehen. Vielen Dank nochmal.

Zweiteres habe ich zuerst die Polynomdivision mit (x-1) versucht, da ich dort ein Rest bekommen hatte, habe ich es abgebrochen.
Was ich aber nicht verstehe ist, wenn ich die Polynomdivision mit (x+1) mache, funktioniert es. Dann bekommt ich am ende:
fed-Code einblenden

Wodurch man sagen kann, das die Nullstellen fed-Code einblenden
Aber da ich für die Polynomdivision (x+1) benutzt habe, müsste dieser doch auch betrachtet werden, oder nicht?

Also fed-Code einblenden
das wären doch 3 Nullstellen, aber dies ist falsch.

Was verstehe ich falsch?

**EDIT**

Ich weiß nicht wieso ich diesen Gedanken habe, aber ich denke immer ab fed-Code einblenden
X-1
raus.

Daher x-1 => x=1 und x+1 => x=-1 , also 2 Nullstellen.

Ich habe die vorherige Nachricht extra nicht entfernt, da ich mir trotzdem unsicher bin ob ich doch nichtmehr weiter die Polynomdivision verwenden darf.



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1629
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-07-16

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

vorneweg: du solltest dich vielleicht auf die Benutzung eines Accounts beschränken, das ist sonst für uns hier ziemlich unübersichtlich...

Es gibt zwei Nullstellen, die du richtig berechnet hast (auch wenn man die Rechnung nicht nachvollziehen kann).

Aber: oben war die Rede davon, dass es um Eigenwerte geht. Dann spielt ja auch die algebraische Vielfachheit der Nullstellen eine wichtige Rolle. Probiere es nochmal mit der Polynomdivision aus. Und zwar könntest du versuchen, so oft den Linearfaktor \((x+1)\) abzuspalten, bis es ohne Rest nicht mehr weitergeht.

Wie oft das geht: das solltest du meiner Faktorisierung entnehmen können.

Wenn Polynome so symmetrisch ausschauen wie in diesem Fall, lohnt es sich oft, ein wenig genauer hinzuschauen, was man in Sachen Umordnen und Aufspalten von Summanden so machen kann, um anschließend faktorisieren zu können.
Und dann gibt es ja noch die anderen genannten Methoden...



Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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hyperG
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.02.2017
Mitteilungen: 722
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-07-16


Hallo Urnisapa,

analog zur pq-Formel für Polynome Grad 2, gibt es
PQRST-Formel für Grad 3 hier
PQRSTUVW-Formel für Grad 4
ALSO bereits fertig umgestellte Gleichungen, wo man nur einsetzen muss.
Allerdings mit komplexen Zwischenergebnissen.

Das ist zwar kein Schulstoff, aber Du fragtest nach der schnellsten Lösung. Sie ist sogar vom Algorithmus her so einfach, dass man leicht Programme schreiben kann wie unter
Nullstellen bis Gleichungen (Polynome) 6.Grades auf 64 Stellen genau
(nicht benötigte Faktoren sind mit 0 einzutragen)

Dein Beispiel jedoch ist ein SPEZIALFALL, so wie gern von Lehrern gestellt wird, weil man die erste Nullstelle (und auch 2.) im Kopf raten kann -> der Rest ist dann Polynomdivision und pq-Gleichung.
Dieser Spezialfall hat die Besonderheit, dass bei der PQRSTUVW-Formel eine Division durch 0 eine Sonderbehandlung nach sich zieht (die auf der genannten Internetseite noch nicht eingebaut wurde, weil extrem selten und leicht zu erraten). Per Cardanische Lösung der kubischen Hilfsgleichung kommt man aber leicht zu 2 pq-Formeln, die sich leicht berechnen lassen (wie der erste Algorithmus zeigt).




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