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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Algebraische (Un)abhängigkeit über Ober- und Unterkörpern?
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Autor
Universität/Hochschule J Algebraische (Un)abhängigkeit über Ober- und Unterkörpern?
IVmath
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 315
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-16


Hallo,

sind meine folgenden Vermutungen mathematisch korrekt formuliert?

1.) Seien $K$ ein Körper, $O$ ein Oberkörper von $K$, und $v_1,...,v_n$ algebraisch abhängig über $K$. Dann sind $v_1,...,v_2$ algebraisch abhängig über $O$.

2.) Seien $K$ ein Körper, $U$ ein Unterkörper von $K$, und $v_1,...,v_n$ algebraisch unabhängig über $K$. Dann sind $v_1,...,v_2$ algebraisch unabhängig über $U$.

3.) Seien $K$ ein Körper, $\overline{K}$ der algebraische Abschluss von $K$, und $v_1,...,v_n$ algebraisch unabhängig über $K$. Dann sind $v_1,...,v_n$ algebraisch unabhängig über $\overline{K}$.

Sind diese Vermutungen wahr? (Ich bin kein Mathematiker und habe dazu bisher noch nichts im Internet und in meinen Algebra-Büchern und -Lexika gefunden.)

Wenn ja, ist das offensichtlich, oder gibt es mathematische Sätze, die das besagen? Könnt Ihr hier bitte Literaturstellen dazu angeben?

Könnt Ihr hier bitte auch diese Sätze beweisen? (Ich bin kein Mathematiker.)
(Es hängt Einiges davon ab: mit diesen Sätzen könnte ich einen leistungsstarken neuen für Anwendungen wichtigen mathematischen Satz beweisen.)

Vielen, vielen Dank.



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Curufin
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.08.2006
Mitteilungen: 1689
Aus: Stuttgart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-18


Hallo,

das ist nahezu trivial.
Z.B. 1.) Wenn die Elemente algebraisch abhängig sind über <math>K</math>, dann gibt es ein Polynom <math>p</math> mit Koeffizienten in <math>K</math>, so dass <math>p(v_1, \ldots, v_n)=0</math>. Da <math>K\subseteq O</math> kann man <math>p</math> aber auch als Polynom mit Koeffizienten über <math>O</math> auffassen.

Der Rest funktioniert analog.


VG



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IVmath
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 315
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-18


Meine Beweise waren zu kompliziert formuliert.

Ja, der Beweis von Vermutung 2 funktioniert analog. Aber wie ist Vermutung 3 zu beweisen? Da habe ich noch Schwierigkeiten.



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DavidM
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 228
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-18


Hallo IVmath,

vorab: es kann gut sein, dass man 3) auch elementarer beweisen kann, als ich es hier tue.

Ich definiere $L := K(v_1, \ldots, v_n)$ und $L' := \overline{K}(v_1, \ldots, v_n)$. Da $v_1, \ldots, v_n$ algebraisch unabhängig über $K$ sind, ist der Transzendenzgrad von $L/K$ gleich $n$. Die Körpererweiterung $L'/L$ wird von Elementen aus $\overline{K}$ erzeugt, ist also algebraisch. Damit ist auch der Transzendenzgrad von $L'/K$ gleich $n$. Jetzt betrachten wir die Erweiterungen $L' \supseteq \overline{K} \supseteq K$. Da $\overline{K}/K$ algebraisch ist, muss der Transzendenzgrad von $L'/\overline{K}$ wieder gleich $n$ sein. Andererseits wird $L'/\overline{K}$ von $n$ Elementen erzeugt, nämlich $v_1, \ldots, v_n$; das geht nur, wenn diese $n$ Elemente algebraisch unabhängig über $\overline{K}$ sind.

Gruß,
David



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ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2706
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-07-18


Ich möchte mal noch was zu der eingangs gestellten Frage sagen.

2019-07-16 22:43 - IVmath im Themenstart schreibt:
sind meine folgenden Vermutungen mathematisch korrekt formuliert?

1.) Seien $K$ ein Körper, $O$ ein Oberkörper von $K$, und $v_1,...,v_n$ algebraisch abhängig über $K$. Dann sind $v_1,...,v_2$ algebraisch abhängig über $O$.

Das ist nicht korrekt formuliert, die $v_i$ können ja nicht im Vakuum existieren. Man würde sowas sagen wie "Sei $L/K$ eine Körpererweiterung und $F$ ein Zwischenkörper." oder "Sei $L/F/K$ ein Körperturm.". Weiter: "Sind dann $v_1,\ldots,v_n\in L$ algebraisch abhängig über $K$, so sind sie es auch über $F$."

Bei 3) sollte man außerdem berücksichtigen, dass der algebraische Abschluss nur bis auf Isomorphie eindeutig ist, also von einem algebraischen Abschluss sprechen.


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⊗ ⊗ ⊗



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IVmath
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 315
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-18


Während meine Vermutungen 1 und 2 offenbar offensichtlich sind, habe ich jetzt doch etwas zu Vermutung 3 gefunden. Für den Beweis kann man auch einfach den Satz, dass der Transzendenzgrad eines Körpers invariant gegenüber algebraischer Körpererweiterung ist, verwenden.

Auch Eure Formulierungsverbesserungsvorschläge übernehme ich.

Vielen, vielen Dank. Ihr habt mir sehr geholfen. Jetzt kann ich beruhigt mit diesen 3 Sätzen arbeiten. Danke, danke, danke.



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