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    Moderiert von fru
    Physik » Relativitätstheorie » Energieerhaltung relativistische Bewegung im Potential    		Druckversion
    Druckversion
    Autor
    Universität/Hochschule J Energieerhaltung relativistische Bewegung im Potential
    supcro
    Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
    Dabei seit: 16.01.2016
    Mitteilungen: 30
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-17


    Hallo zusammen,

    kann mir jemand bei folgender simplen Fragestellung weiterhelfen:

    Ich möchte zeigen, dass die Energie

    \(E = m\gamma + V(x)\)

    unter der Bewegungsgleichung

    \(\frac{\mathrm{d}(m\gamma v)}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{d}x}\)

    eine Erhaltungsgröße ist mit \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\) und \(\mathrm{d}x = v\mathrm{d}t\).

    Ich rechne jetzt schon ewig rum und komme nicht drauf. Vielleicht kann mich jemand erlösen^^


    Liebe Grüße
    supcro


    PS: Inhaltliche Einordnung: Ich habe mein Studium abgeschlossen und schreibe gerade an einem Buch, in dem ich die Rechnung zeigen möchte.

      Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
    zippy
    Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
    Dabei seit: 24.10.2018
    Mitteilungen: 583
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-17


    Hallo supcro,

    es ist$$
    {\mathrm d\over\mathrm dt}\,\Bigl[m\gamma+V(x)\Bigr]=
    \frac{m\,v\,\dot v}{\sqrt{1-v^2}^{\,3}}+V'(x)\,v=
    \frac{m\,v\,\dot v}{\sqrt{1-v^2}^{\,3}}
    -\frac{m\,v\,\dot v}{\sqrt{1-v^2}^{\,3}}=0
    $$wegen$$
    -V'(x)={\mathrm d\over\mathrm dt}\,m\gamma v=
    m\left[\frac{v^2\,\dot v}{\sqrt{1-v^2}^{\,3}}+
           \frac{\dot v}{\sqrt{1-v^2}}\right]=
    \frac m{\sqrt{1-v^2}^{\,3}}\Bigl[
      v^2\,\dot v+(1-v^2)\,\dot v\Bigr]=
    \frac{m\,\dot v}{\sqrt{1-v^2}^{\,3}}\;.
    $$
    Du findest diese Rechnung aber auch in so gut wie jedem Buch oder Skript zur relativistischen Mechanik, so etwa im ersten Google-Treffer zu den Stichworten "relativistisches Teilchen Potential Energieerhaltung" im Vorspann zu Gleichung (9.19).

    --zippy

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    supcro
    Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
    Dabei seit: 16.01.2016
    Mitteilungen: 30
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-17


    super, vielen vielen Dank! Genau das hatte ich gesucht. Das \(\gamma^3\) ausklammern und somit den \(1 - v^2\) Term zu bekommen hatte mir gefehlt.

    Ja, ich weiß, hatte gestern so einen blinden Tag^^

    Du hast mir sehr geholfen, vielen Dank!

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    supcro hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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