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Energieerhaltung relativistische Bewegung im Potential |
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supcro
Aktiv  Dabei seit: 16.01.2016 Mitteilungen: 44
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Hallo zusammen,
kann mir jemand bei folgender simplen Fragestellung weiterhelfen:
Ich möchte zeigen, dass die Energie
\(E = m\gamma + V(x)\)
unter der Bewegungsgleichung
\(\frac{\mathrm{d}(m\gamma v)}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{d}x}\)
eine Erhaltungsgröße ist mit \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\) und \(\mathrm{d}x = v\mathrm{d}t\).
Ich rechne jetzt schon ewig rum und komme nicht drauf. Vielleicht kann mich jemand erlösen^^
Liebe Grüße
supcro
PS: Inhaltliche Einordnung: Ich habe mein Studium abgeschlossen und schreibe gerade an einem Buch, in dem ich die Rechnung zeigen möchte.
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zippy
Senior  Dabei seit: 24.10.2018 Mitteilungen: 775
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-17
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Hallo supcro,
es ist$$
{\mathrm d\over\mathrm dt}\,\Bigl[m\gamma+V(x)\Bigr]=
\frac{m\,v\,\dot v}{\sqrt{1-v^2}^{\,3}}+V'(x)\,v=
\frac{m\,v\,\dot v}{\sqrt{1-v^2}^{\,3}}
-\frac{m\,v\,\dot v}{\sqrt{1-v^2}^{\,3}}=0
$$wegen$$
-V'(x)={\mathrm d\over\mathrm dt}\,m\gamma v=
m\left[\frac{v^2\,\dot v}{\sqrt{1-v^2}^{\,3}}+
\frac{\dot v}{\sqrt{1-v^2}}\right]=
\frac m{\sqrt{1-v^2}^{\,3}}\Bigl[
v^2\,\dot v+(1-v^2)\,\dot v\Bigr]=
\frac{m\,\dot v}{\sqrt{1-v^2}^{\,3}}\;.
$$
Du findest diese Rechnung aber auch in so gut wie jedem Buch oder Skript zur relativistischen Mechanik, so etwa im ersten Google-Treffer zu den Stichworten "relativistisches Teilchen Potential Energieerhaltung" im Vorspann zu Gleichung (9.19).
--zippy
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supcro
Aktiv  Dabei seit: 16.01.2016 Mitteilungen: 44
 |     Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-17
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super, vielen vielen Dank! Genau das hatte ich gesucht. Das \(\gamma^3\) ausklammern und somit den \(1 - v^2\) Term zu bekommen hatte mir gefehlt.
Ja, ich weiß, hatte gestern so einen blinden Tag^^
Du hast mir sehr geholfen, vielen Dank!
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