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Schulmathematik » Integralrechnung » Fläche integrieren
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Schule Fläche integrieren
Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-18


ich habe eine Fläche von a=1 und b=1 , also 1^2, die mit einem Gummi bespannt ist.

Dann fällt genau in die Mitte der Fläche ein Stein. Dadurch entsteht eine Vertiefung und die Fläche vergrößert sich. Würde man die jetzige vertiefte Fläche genau auf der Hälfte von a und b durchschneiden, bekäme man in der Draufsicht eine einfache Kurve (Sin, Glockenkurve oder Parabel)

Die Länge der Kurve berechnet man durch Integration.

Frage: Ist die gekrümmte Fläche jetzt einfach Kurvenlänge senkrecht x Kurvenlänge waagerecht?



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Das Schwierige ist nicht die Mathematik. Schwierig ist es zu formulieren, daß man selber versteht, was man sieht und die anderen auch!



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo Bekell,

2019-07-18 08:03 - Bekell im Themenstart schreibt:
ich habe eine Fläche von a=1 und b=1 , also 1^2, die mit einem Gummi bespannt ist.

Dann fällt genau in die Mitte der Fläche ein Stein. Dadurch entsteht eine Vertiefung und die Fläche vergrößert sich. Würde man die jetzige vertiefte Fläche genau auf der Hälfte von a und b durchschneiden, bekäme man in der Draufsicht eine einfache Kurve (Sin, Glockenkurve oder Parabel)

Die Länge der Kurve berechnet man durch Integration.

Frage: Ist die gekrümmte Fläche jetzt einfach Kurvenlänge senkrecht x Kurvenlänge waagerecht?

Nein, so einfach ist es nicht. Du müsstest die gekrümmte Fläche in einem dreidimensionalen Koordinatensystem als Funktion zweier Variablen \((x,y)\), also als Funktion \(z=f(x,y)\), beschreiben. Die fragliche Fläche kann man dann mit dieser Funktion per Flächenintegal über dem fraglichen Gebiet berechnen.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Integralrechnung' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-18


Danke, Diophant, werd ich dran versuchen ...

ich frage mich, wie groß ist die Wurzel der durch einen Sinusberg gekrümmten Fläche, würde man sie einebenen, wenn sie ohne Berg 1 ist.


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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-18


2019-07-18 08:51 - Bekell in Beitrag No. 2 schreibt:

ich frage mich, wie groß ist die Wurzel der durch einen Sinusberg gekrümmten Fläche,
Kannst du die Fläche mal als Formel hinschreiben?

Bekell schreibt:
würde man sie einebenen, wenn sie ohne Berg 1 ist.
Ohne Berg ist sie 1, eingeebnet ist sie ohne Berg, also immer noch 1.

Bekell schreibt:
Schwierig ist es zu formulieren, daß man selber versteht, was man sieht und die anderen auch!
 biggrin


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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-18


(2019-07-18 10:41 - viertel
Bekell schreibt:
würde man sie einebenen, wenn sie ohne Berg 1 ist.
Ohne Berg ist sie 1, eingeebnet ist sie ohne Berg, also immer noch 1.

Nein, Viertel, wenn man die mit einem Berg oder Grube versehene Fläche eben ziehen würde, so daß Berg oder Grube verschwänden, ist sie größer als 1


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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-18


(2019-07-18 10:41 - viertel
ich frage mich, wie groß ist die Wurzel der durch einen Sinusberg gekrümmten Fläche,
Kannst du die Fläche mal als Formel hinschreiben?

Es ist eine Fläche, 1 x 1 darin ein Kreis, Radius 1  und mit Beginn des Kreises erhebt sich eine ganze Sinusbeule, Höhe 2, also mit langsam ansteigendem Fuß, nicht abrupt mit Winkel, wie bei Sinusbeule Höhe 1.

de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-07-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo Bekell,

offensichtlich meinst du einen Kosinusberg.  biggrin

Mit folgender Funktionsgleichung könnte man im Definitionsbereich \((x,y)\in\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]^2\) die beschriebene Fläche erzeugen:

\[f(x,y)=\bc \frac{1}{4}\left[cos\left(2\pi\cdot x\right)+cos\left(2\pi\cdot y\right)\right]+\frac{1}{2}&,\quad\text{für}\ x^2+y^2\le\frac{1}{4}\\0 &,\quad\text{sonst}\ec\]

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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hgseib
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-07-18


Hallo

ich hänge mich da mal mit rein. Die beschriebene Veränderung ist höchst problematisch: Es handelt sich um eine plastische Verformung.

Die Form der Verformung wird durch den Stein beeinflusst. Ist er Punktförmig oder eine Kugel? Bei Punktförmig hat die gesuchte Kurve eine Spitze, ansonsten ist sie zwangsweisse ein Stück Kreisförmig.

Die Form der Verformung wird durch die Steifigkeit (und die Dicke) des Gummis beeinflusst. Bringt das Gummi keinen Widerstand auf, dann wird es an den Kanten ohne Radius abknicken. (Das in Verbindung mit einer Spitze ergibt zwei Strecken - Verformung durch die Schwerkraft mal weggelassen. Das in Verbindung mit einer Kugel ergibt zwei Strecken und ein Kreisstück). Je Steifer das Gummi ist, desto grössere Bögen ergeben sich.

Die Form der Verformung wird durch die Kanten beeinflusst. Entweder es handelt sich um ein quadratisches Loch, d.H. das Gummi ist grösser und es kann Material nachfliessen. Oder das Gummi ist an den Rändern befestigt. Dann ergibt sich zu den Kantenmitten ein anderes Spannungsbild als zu den weiter entfernten Ecken. (Das das Material in der Realität Falten werfen wird lassen wir mal ausser acht). Jedenfalls ergeben sich wegen des Quadrates keine Kreise als Höhenlinien (bis zu der Stelle, an der eine Kugel dem Gummi ihre Form aufzwingt).

Einmal mehr ist die Realität komplexer als die geometrische Ersatzkörper, die wir berechnen können. Ich empfehle, einen Ersatzkörper zu benennen (wohlwissend, dass das kein exaktes Ergebnis liefern wird).

mfg



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-07-18


Hallo Bekel
am besten nimmst du ein kreisförmiges Gummituch, den kannst du die Oberfläche als Rotation einer sin Kurve oder einer Parabel ausrechnen, oder einen Kugelabschnitt. ,mit dem Quadratischen Enden ist die entstehende Fläche viel schwerer zu modellieren.
bis dann, lula

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-07-18


2019-07-18 12:55 - Bekell in Beitrag No. 4 schreibt:
Nein, Viertel, wenn man die mit einem Berg oder Grube versehene Fläche eben ziehen würde, so daß Berg oder Grube verschwänden, ist sie größer als 1
Das mit dem glatt Ziehen geht nicht, ohne die Fläche zu verformen und damit den Flächeninhalt zu verändern.
Schneide einen Ball am Äquator durch, lege die obere Hälfte auf den Boden und versuche, das flach zu drücken. Geht nicht!



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-18


Ich danke erstmal allen, für die Tips. Es geht mir aber hier nur um die Übung eines Fächenintegrals gerechnet. Dafür nehmen wir was Ideales. Morgen muß ich Wachs schmelzen, und dann ist Urlaub! Hoffentlich finde ich einen Computer dort. Ich will das durchkämpfen.

2019-07-18 16:04 - viertel in Beitrag No. 9 schreibt:
2019-07-18 12:55 - Bekell in Beitrag No. 4 schreibt:
Nein, Viertel, wenn man die mit einem Berg oder Grube versehene Fläche eben ziehen würde, so daß Berg oder Grube verschwänden, ist sie größer als 1
Das mit dem glatt Ziehen geht nicht, ohne die Fläche zu verformen und damit den Flächeninhalt zu verändern.
Schneide einen Ball am Äquator durch, lege die obere Hälfte auf den Boden und versuche, das flach zu drücken. Geht nicht!

in der Tat geht das nicht, aber wir sagen zur beidem einer 2 D und 3 D Fläche Fläche, also müssen 2 D und 3 D sie kommensurabel sein. Also ist die Frage erlaubt, wie ist die Wurzel eines Quadrates nach der und der Verformung.


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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-07-20


Hallo
die Frage ist erlaubt!!"Also ist die Frage erlaubt, wie ist die Wurzel eines Quadrates nach der und der Verformung." nur sollte man sie verstehen!
anscheinend willst du einfach eine Fläche unter oder über einem Einheitsquadrat bestimmen? Dannsolltest du die Fläche implizit oder parametrisiert erstmal angeben!
Gruß lula


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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-07-20


Bekell in Signatur schreibt:
Das Schwierige ist nicht die Mathematik. Schwierig ist es zu formulieren, daß man selber versteht, was man sieht und die anderen auch!
Du wirst hier keine zielführende Antwort bekommen (können), solange keine verständliche Frage dasteht confused

Bekell schreibt:
in der Tat geht das nicht, aber wir sagen zur beidem einer 2 D und 3 D Fläche Fläche, also müssen 2 D und 3 D sie kommensurabel sein. Also ist die Frage erlaubt, wie ist die Wurzel eines Quadrates nach der und der Verformung.
Verstehst du das selbst noch?



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