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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Zeige ∩F ⊆ ∪G, falls F ⊆ G
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Universität/Hochschule J Zeige ∩F ⊆ ∪G, falls F ⊆ G
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-19


F: ℱ und sind nicht leere Mengenfamilien mit ℱ  ⊆



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-19


Hallo,

kannst du deine Frage noch einmal editieren und die fehlenden Details ergänzen?

:)



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-19


Jetzt hatte ich den ganzen Text noch einmal geschrieben und jetzt ist er wieder weg. Aergerlich.

Lass ℱ  und



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-19


Eure Seite hackt vor dem "Schreibschrift" G den Text immer ab. Was kann man da machen?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-07-19


Du könntest den Formeleditor benutzen, oder ein Foto machen.




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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-19


Oder LaTeX...


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-07-19

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\newcommand{\ov}[2]{\begin{matrix}#1 \\ #2\end{matrix}} \)
Alle Befehle zwischen zwei Dollar-Symbole schreiben

$\mathscr{G}$
TeX
\mathscr{G}

$\mathscr{F}$
TeX
\mathscr{F}

$\bigcup$
TeX
\bigcup


$\bigcap$
TeX
\bigcap

$\subseteq$
TeX
\subseteq



-----------------
Ziel sollte es eigentlich sein, dass es kein Leid auf der Erde gibt, nicht dass eine kleine Gruppe auf Kosten anderer lebt.
\(\endgroup\)


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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-07-19


Oder dort:

en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics#List_of_Mathematical_Symbols

oder dort:

en.wikipedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula




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timeout75
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-19


okay, okay, ich werde Besserung geloben. :) Hab glaube auch des Raetsels Loesung gefunden.



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-07-19


Moin, 2 Anmerkungen:

Du wirst Besserung geloben? Warum Futur?

Deshalb ein bemerkenswerter Thread, weil inhaltlich noch gar keine Frage gestellt worden ist.



-----------------
Knappe Antworten sind gewollt und sollen nicht unhöflich sein. Wenn du nachfragst, kurz deinen Kenntnisstand schildern!



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-20


1) Ich hatte Ruecksprache mit der Professorin gehalten und die hat mir die Thematik noch einmal erklaert. Folglich hatte sich das Thema erledigt.

2) Ich werde versuchen bei zukuenftigen Fragen versuchen dies mit Latex oder im Formeleditor zu schreiben.

So besser?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-21



okay, okay, ich dachte ich haette die richtige Antwort, jetzt kam doch die Rueckmeldung der Professorin, dass meine Antwort nicht stimmt.


Lass ℱ und ℳ nicht leere Mengenfamilien sein fuer die gilt ℱ ⊆ ℳ. Zeige ∩ℱ ⊆ ∪ℳ.

∀x (x ∈ ∩ℱ → x ∈ ∪ℳ)                        | alternative form
∀x (x ∉ ∩ℱ ∨ x ∈ ∪ℳ)                        | conditional law
∀x ┐(x ∈ ∩ℱ ∧ x ∉ ∪ℳ)                        | DeMorgan’s law

A: There is no element x that is not part of ∩ℱ and missing in ∪ℳ, so ∩ℱ is a subset of ∪ℳ.

Dies ist meine Antwort und ich hielt mich fuer so schlau :) Dann kam die Professorin und sie meinte, dass dies kein Beweis sei.

Dies war ihre Antwort bezueglich dieser Aufgabe:
"This is not a proof that every x in nF is in UG.  If x is in nF, what does that mean?  We will need to use the fact that F is a subset of G as well.  We do not have to be quite so symbolic like what you have.  We can add words to make the progression from x in nF to x being in UG more clear."

x in nF bedeutet doch nur, dass x eine Menge (set) in nF ist oder etwa nicht? Was danach kommt erschliesst sich mir nicht ganz. Ist mein Ansatz wirklich ganz falsch? Was ist eigentlich falsch?

Viele Gruesse
Tobias  




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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-07-21


Hallo,

also du möchtest ja zeigen, dass $\bigcap\mathcal{F}\subseteq\bigcup\mathcal{M}$

Daher: Für alle $x\in\bigcap\mathcal{F}$ gilt $x\in\bigcup\mathcal{M}$


Ist mein Ansatz wirklich ganz falsch? Was ist eigentlich falsch?

Du schreibst eigentlich nur hin, was zu zeigen ist und machst dann ein paar logisch äquivalente Umformungen.
Im Prinzip hast du also nur eine alternative hingeschrieben, was du stattdessen beweisen könntest, aber keinen Beweis der eigentlichen Aussage. :)


x in nF bedeutet doch nur, dass x eine Menge (set) in nF ist oder etwa nicht?

Ja, aber damit erklärst du nur, was das Zeichen $\in$ bedeutet.
Nun erkläre auch das Zeichen $\bigcap$.

Ich nehme mal an, dass das was du hier als $\mathcal{M}$ schreibst, eigentlich ein $\mathcal{G}$ sein soll.

[Wenn du bei meinem Beitrag auf quote klickst, kannst du die Codes sehen. Zukünftig ist es wahrscheinlich angenehmer für dich diese zu benutzen.]




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timeout75
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-21


Let F ={{1,2,3,4},{2,3,4,5},{3,4,5,6}}

⋂F = {1,2,3,4}⋂{2,3,4,5}⋂{3,4,5,6} = {3,4}
Der "Intersect" von Mengen ist die Menge welche alle Elemente beinhaltet die die Mengen gemein haben. Kann man das so ausdruecken?
Die "Union" besteht aus der Gesamtheit der Elemente = {1,2,3,4,5,6}

Bin jetzt allerdings nicht ganz sicher, wie mir das weiterhilft. Ich kann schon sehen, dass dies eine Teilmenge ist, aber ich weiss jetzt noch immer nicht wie ich das hinschreiben soll.

"Ich nehme mal an, dass das was du hier als M schreibst, eigentlich ein G sein soll." Richtig. :)




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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-07-21


Das ist korrekt, du solltest dich aber streng an die Definitionen halten.
Und mit eben dieser arbeiten.

Wiederhole also gegebenenfalls die Definition, auch wenn dir intuitiv klar ist, was mit Schnitt und Vereinigung gemeint ist.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-07-21


Hallo timeout75,

deine Professorin bemängelt zurecht, dass du an keiner Stelle deines "Beweises" die Voraussetzung \(F\subseteq M\) verwendest. Dein Beweis kann also nicht stimmig sein.



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timeout75
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-21


Ich werde dies jetzt anders machen und den "Beweis" einfach in Schriftform ausformulieren.

Ich werde den hier spaeter einstellen.

Allerdings habe ich trotzdem noch eine Frage:

∀x (x ∈ ∩ℱ → x ∈ ∪ℳ)

∩ℱ → x ∈ ∪ℳ
Bedeutet diese Aussage nicht, dass ∩ℱ eine Teilmenge von ∪ℳ ist?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-07-21


2019-07-21 18:09 - timeout75 in Beitrag No. 16 schreibt:

1) ∀x (x ∈ ∩ℱ → x ∈ ∪ℳ)

2) ∩ℱ → x ∈ ∪ℳ

1) bedeutet, dass ∩ℱ eine Teilmenge von ∪ℳ ist.

2) ist eine sinnlose Zeichenkette.



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timeout75
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-21


Du hast vollkommen recht!

Ich hab da beim copy and paste geschlafen.

Es haette heissen sollen:

∩ℱ → ∪ℳ



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timeout75
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ℱ ⊆ ℳ                         | This means ℱ is a subset of ℳ

∩ℱ                                | ∩ℱ. see p77: “If ℱ is any family of sets, then we want ∩ℱ to contain the elements that all the sets in ℱ have in common. …”
∪ℳ                                | ∪ℳ. see p77: “The union of the family, written ∪ℳ, is the set resulting from throwing all elements of all the sets in ℳ together into one set.”

Since ℱ is a subset of ℳ, then the elements that are found in the intersect, can of course also be found among all elements in the union of ℳ.



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2019-07-21

\(\begingroup\)\( \DeclareMathOperator{\Et}{\acute{E}t} \DeclareMathOperator{\et}{\acute{e}t} \DeclareMathOperator{\etale}{\acute{e}tale} \DeclareMathOperator{\Gl}{GL} \DeclareMathOperator{\PGL}{PGL} \DeclareMathOperator{\PSL}{PSL} \DeclareMathOperator{\SL}{SL} \DeclareMathOperator{\equi}{equi} \DeclareMathOperator{\Hecke}{Hecke} \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\Jac}{Jac} \DeclareMathOperator{\GL}{GL} \DeclareMathOperator{\HF}{HF} \DeclareMathOperator{\HS}{HS} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\trdeg}{trdeg} \DeclareMathOperator{\mod}{mod} \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\log}{log} \DeclareMathOperator{\Log}{Log} \DeclareMathOperator{\Nm}{Nm} \DeclareMathOperator{\Con}{Con} \DeclareMathOperator{\coker}{coker} \DeclareMathOperator{\Ob}{Ob} \DeclareMathOperator{\Emb}{Emb} \DeclareMathOperator{\Tr}{Tr} \DeclareMathOperator{\Sym}{Sym} \DeclareMathOperator{\scale}{scale} \DeclareMathOperator{\Sper}{Sper} 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2019-07-21 04:49 - timeout75 in Beitrag No. 11 schreibt:

okay, okay, ich dachte ich haette die richtige Antwort, jetzt kam doch die Rueckmeldung der Professorin, dass meine Antwort nicht stimmt.


Lass ℱ und ℳ nicht leere Mengenfamilien sein fuer die gilt ℱ ⊆ ℳ. Zeige ∩ℱ ⊆ ∪ℳ.

∀x (x ∈ ∩ℱ → x ∈ ∪ℳ)                        | alternative form
∀x (x ∉ ∩ℱ ∨ x ∈ ∪ℳ)                        | conditional law
∀x ┐(x ∈ ∩ℱ ∧ x ∉ ∪ℳ)                        | DeMorgan’s law

A: There is no element x that is not part of ∩ℱ and missing in ∪ℳ, so ∩ℱ is a subset of ∪ℳ.

Dies ist meine Antwort und ich hielt mich fuer so schlau :) Dann kam die Professorin und sie meinte, dass dies kein Beweis sei.

Dies war ihre Antwort bezueglich dieser Aufgabe:


"This is not a proof that every x in nF is in UG.  If x is in nF, what does that mean?  We will need to use the fact that F is a subset of G as well.  We do not have to be quite so symbolic like what you have.  We can add words to make the progression from x in nF to x being in UG more clear."

x in nF bedeutet doch nur, dass x eine Menge (set) in nF ist oder etwa nicht? Was danach kommt erschliesst sich mir nicht ganz. Ist mein Ansatz wirklich ganz falsch? Was ist eigentlich falsch?

Viele Gruesse
Tobias  


$1.$ Du meinst wohl das hier:
"A: There is no element x that is not part of ∩ℱ and missing in ∪ℳ, so ∩ℱ is a subset of ∪ℳ."

Bitte nicht "part of" oder "missing in" verwenden. Das sind strenggenommen undefinierte Begriffe.
Es gibt dafür einen wohldefinierten Begriff: "is an element of.../is not an element of..."

Das ist nur eine Aussage die (trivialerweise) zu der Aussage die du beweisen sollst äquivalent ist. Deshalb ist diese Aussage für sich genommen kein Beweis. Du müsstest entweder diese Aussage oder die ursprüngliche Aussage beweisen. Dabei muss die Voraussetzung eingehen. Siehe auch Punkt $2.$.


$2.$ Die äquivalenten Umformungen beweisen nicht dass die Aussage gilt, sondern nur, dass sie äquivalent zu einer anderen Aussage ist. Und das ist auch trivial wenn man es nicht mit Quantoren aufschreibt.

$3.$ Das ist auch schon der dritte Punkt:
Bitte nicht alles in Quantoren aufschreiben. Man schreibt Mathematik durch eine gesunde Mischung von Worten und Symbolen auf.

$4.$ Die Kritik der Dozentin ist berechtigt:
Erstens hast du $\sc{F}\sube \sc{M}$ gar nicht benutzt.
Zweitens beweist man eine Aussage der Form $A\sube B$ nicht dadurch, dass man sagt "Aus $x\in A$ folgt $x\in B$". Du musst das logisch begründen, warum das gilt. So einen Inklusionsbeweis kann man (obwohl es auch andere Methoden gibt) wie folgt aufziehen:
"Sei $x\in A$. Dann gilt ... Hierraus folgt ... usw. Und am Ende steht... hierraus folgt $x\in B$"

$5.$ Es geht in erster Linie nicht darum dass du Latex oder den fed benutzt, obwohl das lobenswert wäre.
Es geht darum, dass du eine Aufgabe stellst.
Wenn du uns - wie am Anfang des Threads - nicht alle Informationen hinschreibst, dann können wir dir nicht helfen, weil wir nicht wissen was du eigentlich machen willst.

$6.$ Bevor du etwas beweist, mach dir erstmal klar was die Aussage genau bedeutet. Dann mache dir klar warum sie gilt. Weißt du überhaupt was mit $\bigcap \sc{F}$ gemeint ist? Das ist eine Kurzform von $\bigcap_{F\in \sc{F}}F$. Es ist also $x\in \bigcap \sc{F}\iff$ für alle $F\in \sc{F}$ gilt $x\in F$.

Also. Ich mach jetzt mal den Anfang, und versuche den Beweis zu Ende zu bringen:
Sei $x\in \bigcap \sc{F}$. Dann gilt $x\in F$ für alle $F\in \sc{F}$. (Wir wollen zeigen, dass dann $x\in M$ gilt für ein $M\in \sc{M}$. Dabei müssen wir $\sc{F}\sube \sc{M}$ ausnutzen.)

Ich hoffe ich konnte alle Missverständnisse aus dem Raum räumen.




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xiao_shi_tou_
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Man sieht deutlich, dass $\bigcap\sc{F}\sube \bigcup\sc{G}$ gelten muss. Stelle dir einen Punkt in $\bigcap\sc{F}$ vor und versuche herauszufinden warum er dann in $\bigcup\sc{G}$ liegen muss. Es ist eigentlich offensichtlich.
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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2019-07-22


2019-07-21 18:43 - timeout75 in Beitrag No. 18 schreibt:
Du hast vollkommen recht!

Ich hab da beim copy and paste geschlafen.

Es haette heissen sollen:

∩ℱ → ∪ℳ

Hä? Hast du hier ebenfalls geschlafen?

Was ist mit #19??



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timeout75
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@strgaltentf Jo, ich musste heute Mittag nach Maine und dann hatte ich in der Eile wieder vergessen die G mit den M auszutauschen. Hab das nachgeliefert.

@xiao_shi_tou_ Vielen Dank fuer die ausfuehrliche Antwort!

Vielen Dank auch an alle Anderen die mir hier geholfen haben! Danke!!! :)



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2019-07-22


Hi timeout75,
die Voraussetzung, dass die Familien F und G nichtleer sind, muss beim Beweis benutzt werden.
Ich würde so vorgehen:
Aus F ⊆ G folgt ∩F ⊆ ∩G. Der Beweis dafür ist sehr leicht.
Leider gilt nur die umgekehrte Inklusion ∩F ⊇ ∩G.
Es bleibt zu zeigen, dass ∩G ⊆ ∪G gilt.
Nach Voraussetzung gibt es ein H ∈ G, und dann ist ∩G ⊆ H ⊆ ∪G, was zu beweisen war.
Leider gilt die obige Aussage nicht, so dass dieser Ansatz nicht zum Ziel führt.
Gruß Buri



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zippy
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2019-07-22 10:08 - Buri in Beitrag No. 24 schreibt:
Aus F ⊆ G folgt ∩F ⊆ ∩G. Der Beweis dafür ist sehr leicht.

Der Beweis dafür sollte nicht sehr leicht sein, weil diese Aussage nicht stimmt.



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2019-07-22

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2019-07-22 10:14 - zippy in Beitrag No. 25 schreibt:
2019-07-22 10:08 - Buri in Beitrag No. 24 schreibt:
Aus F ⊆ G folgt ∩F ⊆ ∩G. Der Beweis dafür ist sehr leicht.

Der Beweis dafür sollte nicht sehr leicht sein, weil diese Aussage nicht stimmt.
Gemeint war wohl
$\bigcap \sc{F}\sube \sc{F}\sube \bigcup \sc{F}\sube \bigcup \sc{G}$ wobei die letzte Inklusion aus $\sc{F}\sube \sc{G}$ folgt.
Das ist natürlich in der Tat der einfachste Beweis, und natürlich hat er Recht damit, dass beide Familien nicht-leer sein müssen (das war mir entgangen ;?)).
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Hallo xiao_shi_tou,

2019-07-22 10:24 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 26 schreibt:
$\bigcap \sc{F}\sube \sc{F}\sube \bigcup \sc{F}$
Diese beiden \(\subseteq\) sind doch aber nicht richtig.
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Buri
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Hi timeout75,
man kann es vielleicht mit der Vereinigung statt mit dem Durchschnitt machen:
Aus F ⊆ G folgt ∪F ⊆ ∪G.
Außerdem gibt es ein H ∈ F, daraus folgt ∩F ⊆ H ⊆ ∪F.
Daraus folgt die Behauptung ∩F ⊆ ∪G.
Gruß Buri



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helmetzer
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2019-07-22 11:45 - StrgAltEntf in Beitrag No. 27 schreibt:
Hallo xiao_shi_tou,

2019-07-22 10:24 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 26 schreibt:
<math>\bigcap \sc{F}\sube \sc{F}\sube \bigcup \sc{F}</math>
Diese beiden <math>\subseteq</math> sind doch aber nicht richtig.

Interessant, wie man sich hier verheddern kann. Ich benutze mal Prosa:

Durchschnitt(F) ist Teilmenge jeder Menge, die in F liegt; aber nicht Teilmenge von F.


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xiao_shi_tou_
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2019-07-22 11:45 - StrgAltEntf in Beitrag No. 27 schreibt:
Hallo xiao_shi_tou,

2019-07-22 10:24 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 26 schreibt:
$\bigcap \sc{F}\sube \sc{F}\sube \bigcup \sc{F}$
Diese beiden \(\subseteq\) sind doch aber nicht richtig.

Oh ja. Ich meinte

$\bigcap \sc{F}\sube F\sube \bigcup \sc{F}$ für alle $F\in \sc{F}$
\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
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2019-07-22 13:00 - helmetzer in Beitrag No. 29 schreibt:
2019-07-22 11:45 - StrgAltEntf in Beitrag No. 27 schreibt:
Hallo xiao_shi_tou,

2019-07-22 10:24 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 26 schreibt:
<math>\bigcap \sc{F}\sube \sc{F}\sube \bigcup \sc{F}</math>
Diese beiden <math>\subseteq</math> sind doch aber nicht richtig.

Interessant, wie man sich hier verheddern kann. Ich benutze mal Prosa:

Durchschnitt(F) ist Teilmenge jeder Menge, die in F liegt; aber nicht Teilmenge von F.



Hier zeigt sich wieder, dass einfache Sprache der wilden Aneinanderreihung von Symbolen überlegen ist^^
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