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Integration » uneigentliche Integrale » Existenz uneigentlicher Integrale
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Autor
Universität/Hochschule J Existenz uneigentlicher Integrale
Euler_eleluler
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.02.2019
Mitteilungen: 49
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-19


Hallo,

ich habe eine Aufgabe aus einer Klausur gefunden, wo ich entscheiden soll, ob diese uneigentlichen Integrale existieren:

1.) $\int_{0}^{1} \frac{1}{t+t^2}$dt

2.) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1+sin(t)+t+t^2}$


zu 1) Nun muss ich eine Majorante finden. Da t von 0 bis 1 geht muss ich also den Nenner verkleinern. Gut... das könnte ich natürlich machen indem ich das $t^2$ wegnehme. Dann habe ich den ln als Stammfunktion, der ja bei 0 nicht existiert... heißt das Integral divergiert? Weil ich eine divergente Majorante gefunden habe?

zu 2) Könnte mir hier jemand einen Tipp geben? Ich denke ich kann den Sinus gut abschätzen mit $sin(t) \leq$ 1. Dann hab ich doch so gut wie das gleiche wie bei a) zu stehen.

Danke für die Hilfe. LG



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darkhelmet
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2651
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-19


2019-07-19 20:50 - Euler_eleluler im Themenstart schreibt:
heißt das Integral divergiert? Weil ich eine divergente Majorante gefunden habe?

Natürlich nicht. Eine divergente Majorante sagt überhaupt nichts über die Funktion aus. Das sollte dir bei nochmaligem Nachdenken völlig offensichtlich werden.

Stattdessen könntest du nach einer "divergenten Minorante" suchen.

2) Warum verfolgst du deinen Plan nicht weiter und schaust, ob es funktioniert?



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-07-19


Hallo,

bei der 1) könntest du alternativ auch mit der (einfach zu ermittelnden) Stammfunktion arbeiten.


Gruß, Diophant



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Euler_eleluler
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.02.2019
Mitteilungen: 49
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-19


Danke für deine Antwort.

Du hast Recht, das hätte man wissen können. Ich sehe gerade nicht, wie ich den Nenner auf etwas Bekanntes vergrößern kann, sodass ich meine Minorante habe. Deswegen habe ich das Integral einfach mal berechnet.
Rauskommt mit Partialbruchzerlegung dann: $[ln(t)-ln(t+1)]$ in den Grenzen von 0 bis 1. Wenn ich dort einsetze stoße ich ja auf das gleiche Problem, dass eben ln($\infty)=\infty$. Habe ich denn hiermit gezeigt, dass es nicht existiert?

zu 2) Nunja, wenn ich so vorgehe wie ich das dachte habe ich ja  $\int\limits_1^\infty \frac{1}{2+t+t^2}$ und somit wieder meine Majorante in $\int\limits_1^\infty \frac{1}{t}$, die nicht existiert und mir nichts bringt. Was mache ich sonst?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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darkhelmet
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2651
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-07-19


2) Um den Bruch nach oben abzuschätzen musst du den Nenner (und damit auch den Sinus) nach unten abschätzen. Ich dachte, das hättest du gemeint, denn das führt tatsächlich zum gleichen Bruch wie bei 1).

2019-07-19 21:52 - Euler_eleluler in Beitrag No. 3 schreibt:
Deswegen habe ich das Integral einfach mal berechnet.
Rauskommt mit Partialbruchzerlegung dann: $[ln(t)-ln(t+1)]$ in den Grenzen von 0 bis 1. Wenn ich dort einsetze stoße ich ja auf das gleiche Problem, dass eben ln($\infty)=\infty$.

Die saubere Methode, die man anwenden sollte, wenn man sich nicht sicher ist: nicht 0 und 1 als Grenzen, sondern $0<x<1$ und 1, und dann schauen, ob der Grenzwert für $x\rightarrow 0$ existiert.

So ist das uneigentliche Riemannintegral ja auch definiert.



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Euler_eleluler
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.02.2019
Mitteilungen: 49
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-19


Mit diesen Tipps kann ich weiterarbeiten. Dankeschön!



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