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Analysis » Ungleichungen » Ungleichung (aus einem Chernoff Bound) abschätzen
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Autor
Universität/Hochschule J Ungleichung (aus einem Chernoff Bound) abschätzen
yellowyeti
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-20


Hallo,

ich habe ein Problem mit der Vereinfachung eines Terms den ich durch einen Chernoff Bound bekommen habe. Der Term sieht folgendermaßen aus:

\[
\left(e^{\frac{\ln n}{\ln \Delta}} \left( 1 + \frac{\ln n}{\ln \Delta} \right)^{-\left(1 + \frac{\ln n}{\ln \Delta} \right)} \right)^{\ln \Delta}
\]
Laut einem Paper kann man zeigen dass dieser Term
\[
\leq n^{-(\ln 4 - 1)}
\] ist. Leider sehe ich nicht wie man darauf kommt. Wäre sehr froh wenn mir jemand einen Tipp hätte. Für die Variablen $n, \Delta \in \mathbb{N}$ gilt $1 \leq \Delta \leq n$.



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Squire
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.08.2015
Mitteilungen: 576
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-20


Servus yellowyeti und willkommen auf dem Planeten!

$\left(e^{\frac{\ln n}{\ln \Delta}} \left( 1 + \frac{\ln n}{\ln \Delta} \right)^{-\left(1 + \frac{\ln n}{\ln \Delta} \right)} \right)^{\ln \Delta}=$

$=n\cdot\left(\left( 1 + \frac{\ln n}{\ln \Delta} \right)^{-\left(1 + \frac{\ln n}{\ln \Delta} \right)} \right)^{\frac{\ln \Delta \ln n}{\ln n}}=$

$=n\cdot\left(\left( 1 + \frac{\ln n}{\ln \Delta} \right)^{-\left(1 + \frac{\ln \Delta}{\ln n} \right)} \right)^{\ln n}$

Wenn du jetzt $x=\frac{\ln \Delta}{\ln n}$ setzt, hast du mit ein wenig Differentialrechnung zu zeigen $\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{-\left(1 + x \right)} \leq \frac{1}{4}$ im Intervall 0 bis 1.

Grüße Squire



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yellowyeti
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.07.2019
Mitteilungen: 2
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-21


Danke Squire,

tatsächlich leichter als gedacht :)
auf die Idee dass man ja $0 < x \leq 1$ gegeben hat und da
\[
\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-1-x}
\] monoton steigt, bei x=1 das Maximum im Intervall sein muss, wäre ich nicht alleine gekommen.


Die einzige Abschätzung die mir gestern noch eingefallen ist (eben ohne auszunutzen dass $x$ in einem begrenzten Intervall liegt), ist folgende:

\[
\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-1-x} = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-x} \cdot \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-1} \leq e^{-1} \cdot 1 \leq \frac{2}{5}
\]



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