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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Durchstreichen der Zeile/Spalte mathematisch beschreiben?
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Autor
Universität/Hochschule J Durchstreichen der Zeile/Spalte mathematisch beschreiben?
jjzun
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.07.2019
Mitteilungen: 9
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-20


Hallo,

das hier ist eine reine Interessensfrage, und ich hoffe ich schreibe das als Neuling in den richtigen Forenbereich(?).

Es geht konkret um eine rigorose Definition des "Durchstreichens" der Zeile/Spalte, wenn man z.B. die Kofaktoren berechnet.

Der Vorzeichenwechsel ist mir klar, aber meist wird das entsprechende Vorzeichen in der Definition mit der Unterdeterminante multipliziert.

Jedoch wird nicht mathematisch rigoros darauf eingegangen, wie das Erhalten der "Untermatrix" durch "Durchstreichen" genau definiert ist.

Kennt da also zufällig jemand vielleicht eine mathematische Beschreibung für das "Durchstreichen", oder geht es nicht "genauer"?



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Chandler
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.03.2011
Mitteilungen: 1000
Aus: Hamburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-20


Hallo jjzun,

willkommen auf dem Matheplaneten :)

2019-07-20 21:52 - jjzun im Themenstart schreibt:
Jedoch wird nicht mathematisch rigoros darauf eingegangen, wie das Erhalten der "Untermatrix" durch "Durchstreichen" genau definiert ist.

Naja, mathematisch passiert doch nicht viel. Für eine nxn-Matrix definierst du einfach eine neue (n-1)x(n-1)-Matrix, die eben fast alle Einträge der alten benutzt.

Wenn du es formal hinschreiben willst, dann musst du den Einträgen der Matrix natürlich Namen geben und die Definition mit Fallunterscheidung aufschreiben.

Da dies etwas umständlich ist und keine neuen Einblicke bringt, begnügt man sich mit der verständlichen Definition von "Streichen der Zeile und Spalte".

Viele Grüße
Chandler



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HyperPlot
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.01.2019
Mitteilungen: 302
Aus: Kneedeep in the Dead
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-07-21 04:39


2019-07-20 21:52 - jjzun im Themenstart schreibt:
Es geht konkret um eine rigorose Definition des "Durchstreichens" der Zeile/Spalte, wenn man z.B. die Kofaktoren berechnet.

Du könntest sowas wie "Pseudo-Elementarmatrizen"  definieren, etwa
$\def\m{\begin{pmatrix}
1 & 0
\end{pmatrix}}

\def\M{\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}}

\def\R{\begin{pmatrix}
a & b
\end{pmatrix}}

\m \cdot \M = \R, \hspace{2cm}
\begin{array}{c | c}
   & \M \\ \hline
\m & \R
\end{array}$

$\def\m{\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}}

\def\M{\begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{pmatrix}}

\def\R{\begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f
\end{pmatrix}}

\m \cdot \M = \R, \hspace{2cm}
\begin{array}{c | c}
   & \M \\ \hline
\m & \R
\end{array}$

usw.

(vielleicht haben diese Matrizen auch einen Namen).

PS: Vermutlich musst Du dabei mit echten Elementarmatrizen (quadratische Matrizen) dafür sorgen, dass die zu streichende Zeile die unterste Zeile ist.



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jjzun
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.07.2019
Mitteilungen: 9
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-21 18:02


Hallo nochmal,
erst einmal vielen Dank für all die Antworten!

@Chandler: Stimmt, an die Methode hatte ich gar nicht gedacht, obwohl sie eigentlich offensichtlich ist. Jetzt, wo Du es erwähnst, fällt mir wieder ein, dass auf Wikipedia eine mit Nullen an den entsprechenden Stellen aufgefüllte Matrix steht.

@HyperPlot: Das ist eine sehr kreative Methode, an so etwas hatte ich noch gar nicht gedacht!
-------------------------------------------------------------
(
Diese ganze Frage kam bei mir übrigens deshalb auf,
weil ich glaube, durch Zufall auf einen etwas anderen,
jedoch schreibaufwändigeren Weg gestossen bin,
wie man die entsprechenden Minoren ausrechnen könnte.

Allerdings müsste ich:

A) Einen Beweis führen, um die Korrektheit zu garantieren.
Also konkret: Es kommen dieselben Minoren heraus.

ODER

B) Die Methode ist bekannt, und bereits bewiesen und ich kann sie ohne Risiko anwenden. Habe dazu allerdings noch nichts gefunden.
Andererseits gibt es unzählige Zerlegungsverfahren, die ich noch nicht alle kenne oder verstehe.
)

Jedenfalls nochmal danke für die Antworten, vielleicht kommen mir ja noch Ideen für einen Beweis (oder überhaupt eine schöne Darstellung).

Viele Grüße,

jjzun


 




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