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Physik » Mathematische Physik » Drehimpulsalgebra, Kommutator mit Levi-Civita-Symbol ausrechnen
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Autor
Universität/Hochschule J Drehimpulsalgebra, Kommutator mit Levi-Civita-Symbol ausrechnen
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-21


Hallo alle zusammen,

ich wollte mal \[[L_i, L_j] = i\hbar L_k\] herleiten, am besten mittels des Levi-Civita-Symbols. Ich habe hier einen Beweis gefunden, wozu ich noch eine Frage habe:

Ich glaube, ich verstehe noch nicht den Übergang von \[ [L_i, L_j] = i\hbar \epsilon_{iab}\epsilon_{jcd} \left( -x_a p_d \delta_{bc} + x_c p_b \delta_{ad} \right) \] zur darauffolgenden Gleichung. Meine Idee:
\[[L_i, L_j] = i\hbar \epsilon_{iab}\epsilon_{jcd} \left( -x_a p_d \delta_{bc} + x_c p_b \delta_{ad} \right) = -i\hbar \epsilon_{iab}\epsilon_{jcd}x_a p_d \delta_{bc} + i\hbar\epsilon_{iab}\epsilon_{jcd}x_c p_b \delta_{ad} = i\hbar \epsilon_{iab}\epsilon_{bjd}x_a p_d + i\hbar\epsilon_{iab}\epsilon_{jca}x_c p_b.\] Was das ,,Umbenennen" von $x_c p_b$ zu $x_a p_d$ angeht, so verstehe ich nicht ganz, wie dann die Epsilon-Tensoren und Kronecker-Deltas zu wechseln haben.

Vielen Dank im Voraus.

Gruß,
Neymar



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-30


2019-07-21 19:32 - Neymar im Themenstart schreibt:
Meine Idee:
\[[L_i, L_j] = i\hbar \epsilon_{iab}\epsilon_{jcd} \left( -x_a p_d \delta_{bc} + x_c p_b \delta_{ad} \right) = -i\hbar \epsilon_{iab}\epsilon_{jcd}x_a p_d \delta_{bc} + i\hbar\epsilon_{iab}\epsilon_{jcd}x_c p_b \delta_{ad} = i\hbar \epsilon_{iab}\epsilon_{bjd}x_a p_d + i\hbar\epsilon_{iab}\epsilon_{jca}x_c p_b.\]

Das stimmt soweit. Jetzt werden gleich mehrere Umbenennungen auf einmal vorgenommen. Sehen wir uns den zweiten Term an, um den es geht, also $\varepsilon_{iab}\varepsilon_{jca}x_c p_b$.  Wegen Zyklizität in den Indizes von $\varepsilon$ ist das gleich $\varepsilon_{bia}\varepsilon_{ajc}x_c p_b$. Da über die Indizes $a,b,c$ summiert wird, können wir sie nach Belieben umtaufen. Führt man also die Ersetzungen $a\to b$, $b\to d$ und $c\to a$ durch, so erhält man $\varepsilon_{dib}\varepsilon_{bja}x_a p_d$ und kann daher $x_a p_d$ ausklammern, wie auf Physics SE erläutert.

Grüße,
PhysikRabe


-----------------
"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca
"Even logic must give way to physics." - Spock



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-30


Hallo PhyskRabe,

vielen Dank, dass du noch zurückgeantwortet hast! :-)
Ich habe es jetzt.


Beste Grüße,
Neymar



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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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