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Logik, Mengen & Beweistechnik » Aussagenlogik » Beweis durch "contrapositive"
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Universität/Hochschule J Beweis durch "contrapositive"
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-23


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-24


Hallo,

du denkst wohl viel zu kompliziert.

Zu deiner ersten Frage:

Ja, es ist $\neg x\in C\leftrightarrow x\notin C$. Analog für die andere Aussage.

Dein nächstes Problem verstehe ich nicht ganz.
Das sollte auch keine Rolle spielen.
Mir ist auch nicht klar, was genau du mit 'logischer Ausdruck' meinst.
Grundsätzlich lässt sich ja praktisch alles in einen Ausdruck umformen, der nur mit Quantoren, Junktoren etc. auskommt. In der Regel ist es einfacher, wenn man das unterlässt. Ein wenig auch persönlicher Stil.

Deine Umformungen sind nun leider falsch.

Zum Beispiel gilt nicht, dass $x\notin B\setminus C$ gleichbedeutend ist mit $x\in B\wedge x\notin C$. Das würde nämlich bedeuten, dass $x\in B\setminus C$ gilt.

Die weiteren Schritte sind dann auch fehlerhaft, aber das könnten auch Tippfehler sein.

Notwendig ist es aber ohnehin nicht. Wie gesagt machst du es dir damit eigentlich eher schwerer.

Wenn $A\subseteq B$ gilt, dann gilt $\forall x\in A\Rightarrow x\in B$. Das ist aber nur eine Umformulierung und keine wirkliche neue Voraussetzung (Given/Annahme), sondern wäre eher eine Folgerung aus der Annahme, dass aus $x\in A$ folgt, dass $x\in B$.

Kurz:

Unter 'Given' führst du nicht nur Annahmen auf, sondern auch Folgerungen.
Dein 'Goal' ist nicht logisch äquivalent zu $\neg (x\notin B\setminus C)$


Ansonsten ist es wohl gut, wenn man am Anfang sich hinschreibt, was 'Voraussetzung' ist und was eigentlich 'zu zeigen' ist.
Ich denke es ist nicht gut, wenn du dich da irgendwie eingeschränkt siehst, also der Meinung bist Dinge umformulieren zu müssen, was denke ich auch nicht verlangt ist.

Die mathematische Sprache und die vielen Zeichen können am Anfang ein wenig verwirrend sein und viele Studienanfänger sind der Meinung diese benutzen zu müssen.
Das ist nicht der Fall und jeder sollte da seinen eigenen Stil finden. Für die Übung ist es sicherlich immer gut, wenn man im Vorfeld klar macht, was man gegeben hast und was zu zeigen ist.

Du musst dich dabei aber nicht verwirren lassen und auf Teufel komm raus die Dinge auf eine bestimmte Form bringen, nur weil es in anderen Beispielen so gemacht wurde. (Soweit ich das Beurteilen kann, ich kenne deine Vorlesung/dein Buch nicht, aber ich kann mir nicht vorstellen, dass das Ziel der Sache ist).



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timeout75
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-24


Danke fuer Deine schnelle und ausfuehrliche Antwort.

Ein paar Kommentare:

"Zum Beispiel gilt nicht, dass x∉B∖C gleichbedeutend ist mit x∈B∧x∉C. Das würde nämlich bedeuten, dass x∈B∖C gilt."

Da ist mir ein Schreibfehler unterlaufen. Ich habe das NOT vergessen. Die weiteren Schritte muessten eigentlich stimmen, da ich diese aus dem Buch uebernommen habe und einfach noch das fehlende NOT davorgesetzt.


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-24


Hier mal eine Beweis-Version weitgehend in "natürlicher" Sprache:

Da x Element von A und A Teilmenge von B ist, ist auch x Element von B. (1)
Angenommen, x wäre nicht in C. Dann wäre x wegen (1) Element von B\C. Das widerspricht aber der Voraussetzung, nach der x eben kein Element von B\C ist.
Daher ist die Annahme falsch und x ist somit ein Element von C.

Du siehst also so furchtbar tiefgründig ist der Beweis nicht. Vielleicht hilft es Dir, diese Beweisidee in Deinen Formalismus zu übertragen.



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timeout75
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-29


Danke fuer Eure Hilfe.

Den Beweis habe ich jetzt umgeaendert, da die Prof den Beweis durch Contrapositive sehen wollte. Ich hoffe, ich hab das jetzt richtig gemacht:

2)        Theorem: Suppose x ∈ A and A ⊆ B. If x ∉ B∖C, then x ∈ C.
Proof: We will prove the contrapositive. A is a subset of B and x ∈ A, therefore x ∈ B. Suppose x ∉ C. Then, since x ∈ B, x ∈ B∖C. Therefore, if x ∉ B∖C, then x ∈ C.

Mal abwarten, was die Gute meint :)




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