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Ausbildung J Beweis über Teilbarkeit in UFD
crazydoc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-31


Guten Tag


Ich soll folgendes beweisen. Sei der kommutative Ring $R$ ein $UFD$ ($ZPE$) und $a\in R$, $b\in R$ seien coprime. Für ein gegebenes $c\in R$ gelte $a\mid c$ und $b\mid c$. Ich soll zeigen, dass auch $ab\mid c$ gilt.
Ich habe eine Lösung gesehen über, welche über die eindeutige Zerlegung läuft, mir gefällt diese aber nicht so sehr und schreibe mal einen Ansatz auf und hoffe, dass der passt:
Da $a,b$ coprime gilt, dass $\mathrm{ggT}(a,b)\in R^\times$, wobei mit $R^\times$ die Menge aller Einheiten sei. Also ist  $\mathrm{ggT}(a,b)=k\cdot a+l\cdot b=u\in R^\times$ für geeignete $k\in R$ und $l\in R$. Und $a\mid c\Leftrightarrow \exists r\in R: a\cdot r=c$. Genauso $b\mid c\Leftrightarrow \exists s\in R: b\cdot s=c$. Indem ich nun die $\mathrm{ggT}(a,b)$-Gleichung mit $c$ multipliziere, erhalte ich $k\cdot a\cdot c+l\cdot b\cdot c=u\cdot c$, wobei ich für das erste $c$ auf der linken Seite $c=b\cdot s$ und für das zweite $c$ auf der linken Seite $c=a\cdot r$ einsetze. Dies ergibt $k\cdot a\cdot b\cdot s+l\cdot b\cdot a\cdot r=u\cdot c$. Ich erhalte $a\cdot b\cdot u^{-1}(k\cdot s+l\cdot r)=c$, also gilt $a\cdot b\mid c$.
Kann man das so stehen lassen, oder übersehe ich etwas / berücksichtige ich etwas nicht?
Besten Dank und freundliche Grüsse




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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-31


2019-07-31 17:40 - crazydoc im Themenstart schreibt:
Da $a,b$ coprime gilt, dass $\mathrm{ggT}(a,b)\in R^\times$, wobei mit $R^\times$ die Menge aller Einheiten sei. Also ist  $\mathrm{ggT}(a,b)=k\cdot a+l\cdot b=u\in R^\times$ für geeignete $k\in R$ und $l\in R$.

Diesen Satz habe ich noch nie in meinem Leben gesehen, wo in aller Welt hast du den her?  😮

Nimm mal als Beispiel den ZPE-Ring $\mathbb Z[X]$. Du meinst also, das sollte also beispielsweise für die coprimen Elemente $2$ und $X$ in diesem Ring gelten? Da bin ich aber sehr skeptisch.  😎



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crazydoc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-31


Hallo Weird, danke für die Antwort.
Ich nehme an, dass du "diesen Satz habe ich noch nie gesehen" nach dem  Also meinst?
Danke schön!



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-31


Vielleicht nur zur Klardarstellung: Meine Definition von coprimen Elementen $a$ und $b$ ist, das sie die Einheiten des Rings als einzige gem. Teiler haben.



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crazydoc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-31


Danke nochmals. Bei mir steht in der Aufgabenstellung, $a$ und $b$ sind coprime (das heisst $\mathrm{ggt}(a,b)\in R^\times $.

Hier noch der Originalwortlaut:
Let $R$ be a $\mathrm{UFD}$. Let $a,b\in R$ be coprime elements (that is, $\mathrm{gcd}(a,b)\in R^\times$) and $c\in R$. Suppose that $a|c$ and $b|c$. Prove that $ab|c$.



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crazydoc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-31


Ich habe eigentlich einen (anderen) Beweis 1:1 aus den Übungen, würde aber gerne wissen, wieso der obige eben nicht funktioniert...
Freundliche Grüsse



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-07-31


Hallo crazydoc,

du willst beutzen, dass es für $a,b \in R$ stets $s,t \in R$ gibt mit $\mathrm{ggT}(a,b)=ka+lb$. Das gilt aber nur in Hauptidealringen, nicht in beliebigen faktoriellen Ringen.

Gruß,
David



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-07-31


2019-07-31 19:06 - crazydoc in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich habe eigentlich einen (anderen) Beweis 1:1 aus den Übungen, würde aber gerne wissen, wieso der obige eben nicht funktioniert...

Unsere Definitionen von coprim stimmen also dann überein bzw. sind äquivalent.

Um zu verstehen, wo dein Beweis im Startposting "hakt", kann ich nur noch einmal auf mein Beispiel von oben hinweisen, das du wirklich versuchen solltest selbst nachzuvollziehen: Die Elemente $2$ und $X$ haben in dem ZPE-Ring $\mathbb Z[X]$ nur Einheiten als gem. Teiler (insbesondere ist also jeder ggT ein Einheit!), trotzdem ist aber $(2,X)$, also das von diesen beiden Elementen erzeugte Ideal nicht der ganze Ring $\mathbb Z[X]$, sondern es enthält nur genau die Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten, deren konstantes Glied gerade ist. Insbesondere enthält $(2,X)$ nicht die $1$ und auch keine Einheiten, im Gegensatz zu deiner obigen Argumentation, denn das würde natürlich sofort den Widerspruch $(2,X)=\mathbb Z[X]$ implizieren.

Und ja, DavidM hat natürlich Recht damit, dass dies in Hauptidealringen funktionieren würde, aber ZPE-Ringe sind halt leider i.Allg. keine Hauptidealringe.



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crazydoc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-01


Ich danke Euch vielmals, jetzt habe ich es verstanden!
Vielen Dank, ich werde wohl noch mit weiteren Fragen kommen, wenn es sich ergibt.
Freundliche Grüsse



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crazydoc hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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