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Analysis » Stetigkeit » Fragen zu Lipschitzstetigkeit
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Universität/Hochschule J Fragen zu Lipschitzstetigkeit
Neymar
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 492
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-01


Hallo alle zusammen.

Eine (stetige) Funktion $f: X \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ heißt Lipschitzstetige, wenn \[d'\left( f(x), f(y) \right) \leq \lambda d(x,y), \qquad \forall x,y \in X.\]
$d, d'$ seien Metriken.

"On a bounded interval in $\mathbb{R}$, polynomials are always Lipschitz continuous." Ich verstehe hier aber den folgenden Beweis noch nicht so ganz (ich gehe sehr stark davon aus, dass $M = \text{max}|f'(x)| $).

Was mich stört: Wir haben $\mathbf{\text{kein}}$ kompaktes Intervall vorliegen, woher wissen wir also, dass die (stetige) Funktion $f'$ tatsächlich ihr Maximum annimmt?

Im Zitat (aus einem Buch) steht ja explizit, dass wir ein beschränktes Intervall vorliegen haben.


Gruß,
Neymar



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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2318
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-01


Hi,
wenn du ein beschraenktes Intervall $I$ hast, kannst du doch einfach den Abschluss nehmen oder ein kompaktes Intervall $J\supset I$ finden.



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Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 612
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-08-01

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo Neymar,

Polynome haben eine weitere Eigenschaft über die Stetigkeit hinaus, die hier ausschlaggebend ist: Sie sind auch auf den Rand ihres Definitionsbereichs stetig fortsetzbar. Man kann also $f:(a,b)\to\R$ einfach auf $[a,b]$ stetig fortsetzen (genau was ochen im Prinzip vorschlägt), und zeigen, dass die Fortsetzung von $f$ auf $[a,b]$ lipschitzsstetig ist. Und damit natürlich auch auf jeder Teilmenge von $[a,b]$, insbesondere auch auf $(a,b)$.

Bei allgemeineren Funktionen ist dein Einwand berechtigt. Zum Beispiel ist $f:(0,1)\to\R,~x\mapsto\frac{1}{x}$ nicht lipschitzstetig, weil sich diese Funktion nicht stetig auf $[0,1]$ fortsetzen lässt.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Neymar
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 492
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-01


Hallo ihr beiden,

da habt ihr natürlich Recht ...

Man definiert sich dann eine Fortsetzung $\tilde f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, so dass die Polynome auf ganz $[0,1]$ lipschitz-stetig sind. Dann betrachtet man $f: (0,1) \rightarrow \mathbb R$ und hat dann ,,automatisch" LS (lipsc.st.).

Okay, danke euch.

Gruß,
Neymar



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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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