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Moderiert von Dixon Orangenschale
Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Betrag von Phi muss schneller gegen Null gehen
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Universität/Hochschule Betrag von Phi muss schneller gegen Null gehen
iwanttolearnmathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-10


Hello miteinander,


Und zwar sehe ich mir gerade mein QM Skript durch und dann kam ich an einer Stelle die ich hier mal hinschreibe:

"
fed-Code einblenden
"
1. Erstmal das Betragsquadrat der Wellenfkt. ist ja dieses rho, aber wieso muss kann man erst den Limes auf 3D bilden wenn Psi integrierbar auf 3D ist? Meint man das Psi auf dem ganzen Raum definiert sein muss?

2. Wieso muss die Wellenfkt. schneller als 1/r^3 abfallen damit der Radialteil integrierbar ist? Kann mir das wer erklären was sonst schiefgeht?


Desweiteren wird dann noch gesagt:
fed-Code einblenden

3. Warum gilt das nur für die zeitliche Ableitung, das N(t) null ist, j ist doch auch in N(t) selbst erhalten und müsste dann doch auch da null sein. Kann mir das wer erklären?

Liebe Grüße



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iwanttolearnmathe
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.06.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-13


Kann mir wer was dazu sagen?



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M4r71n
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-08-13


Hi,

zu 1) um den Limes zu bilden muss Psi wie du sagst auf dem ganzen Raum definiert sein (bis auf einer Nullmenge) aber zusaetzlich muss rho integrierbar im Sinne von Lebesgue sein. Wenn dich diese technischen Details interessieren, empfehle ich ein Analysis Skript zu lesen zum Thema Mass-Theorie.

zu 2) die schnelle Abschaetzung ob rho integrierbar ist wird klarer wenn du \(\rho(r)\sim\frac{1}{r^3}\) betrachtest und integrierst:
\[\int_0^\infty r^2\rho(r)dr\sim\int_0^\infty\frac{1}{r}=\log(r)|_0^\infty\rightarrow\infty\] das ist logarithmisch divergent, also mus \(|\psi(r)\|^2\) schneller als \(r^{-3} \) abfallen.

zu 3) der Wahrscheinlichkeitsstrom j ist eine Funktion des Ortes und der Zeit. Die Teilchenzahl N(t) ist die integrierte WSK-Dichte - also unabhaengig vom Ort. Wenn also rho und j auf dem Rand verschwinden heisst das noch lange nicht dass die integrierte Dichte (also N) Null ist, denn auf dem vom Rand eingeschlossenen Gebiet verschwinden weder rho noch j. Fuer die zeitliche Ableitung von N ist jedoch nur der Rand des Gebiets relevant, also ist N zeitlich konstant. D.h. die Gesamt-Wahrscheinlichkeit ist erhalten. (Waere schlimm wenn nicht)

Ich hoffe das hilft.
Viele Gruesse
Martin



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iwanttolearnmathe
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-15


Hello Martin,

Ja das hilft auf jeden Fall schon mal Dankeschön.
Aber eine Frage hab ich noch: Warum interessiert nur der Rand des Integrationsbereichs bei der Ableitung nach der Zeit? Woran siehst du das?

Beste Grüße Jan



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M4r71n
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-15


Das Integral ist ein Flaechenintegral, dass j ueber den Rand von G integriert (siehe Anmerkung in deinem ersten Post). Dieses Integral taucht auf, weil zunaechst die Kontinuitaetsgleichung benutzt wurde um \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\rho\) durch \(\nabla j\) auszudruecken und dann der Satz von Gauss benutzt wird. So wird aus dem Volumenintegral ueber G ein Integral ueber die Flaeche des Randes von G.



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doglover
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-08-17


Hallo zusammen,

nur um keine Missverständnisse aufkommen zu lassen noch ein Hinweis zu 2)

Die Bedingung, dass $\rho$ schneller gegen $0$ geht als $\frac{1}{r^3}$ für $r$ gegen unendlich, also $\rho\in o\left(\frac{1}{r^3}\right)$ für $r\rightarrow \infty$, ist WEDER hinreichend NOCH notwendig für die Existenz des Integrals.
Man kann beispielsweise die Funktion $\rho(\vec{r})=\frac{1}{r^3\cdot log(r)}$ betrachten. Dann ist $\lim_{r\rightarrow \infty}r^3 \cdot \rho(\vec{r})=0$, aber das Integral:
$\int_2^{\infty}r^2\rho(r)dr=\int_2^{\infty}\frac{1}{r\cdot
 log(r)}dr=+\infty$.

Umgekehrt gibt es ("im Unendlichen") unbeschränkte, stetige Funktionen, die (absolut) integrierbar sind. Daher muss für die Existenz des Integrals $\int_0^\infty r^2 \rho(r)dr$ der Integrand nicht unbedingt beschränkt, also insbesondere nicht von der Ordnung $o\left(\frac{1}{r}\right)$ für $r$ gegen unendlich sein.

Was aber hinreichend ist, wäre beispielsweise $\rho\in \mathcal{O}\left(\frac{1}{r^{3+\epsilon}}\right)$ für $r$ gegen unendlich für ein beliebiges $\epsilon>0$. Wenn also $\rho$ 'polynomiell' schneller gegen $0$ geht als $\frac{1}{r^3}$. Das schließt solche logarithmischen Gegenbeispiele wie oben aus.

Viele Grüße

doglover



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