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Mathematik » Geometrie » Bruchteil einer quadratischen Fläche
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Schule Bruchteil einer quadratischen Fläche
diz
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.12.2010
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-10


Hallo,

ich habe hier ein vermeintlich leichtes Problem zu einem Bruchteil, das eigentlich schlaue 6.-Klässler lösen können sollten.



Wie groß ist der Bruchteil, den die markierte Fläche an der Gesamtfläche ausmacht?

Ich weiß, dass es 1/120 ist.
Das habe ich mit einer dynamischen Geometriesoftware "ausgemessen".

Ich finde aber bisher keinen elementaren Weg, dies zu zeigen.

Wer kann mir helfen?

Danke.

Gruß
Diz



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1806
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-10

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

mal ganz grob als Grundidee (wobei: Sechtsklässler können das noch nicht, ich weiß nicht, wie du auf diese Vermutung kommst?):

Das schraffierte Dreieck ist rechtwinklig. In der ganzen Figur wimmelt es von rechtwinkligen Dreiecken, die zu diesem Dreieck ähnlich sind. Von daher sollte eine Kombination von Satz des Pythagoras und Anwendung der Strahlensätze hier schnell zum Erfolg führen.

EDIT: nein, das schraffierte Dreieck ist zwar rechtwinklig, jedoch zu den anderen rechtwinkligen Dreieck mit Kathetenverhältnis \(2:1\) nicht ähnlich.

Dennoch muss es wie oben beschrieben gehen (Ich kenne diese Aufgabe, und werde weiter darüber nachdenken, mit etwas Glück habe ich irgendwo noch einen Lösungsweg gespeichert).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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diz
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.12.2010
Mitteilungen: 28
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-10


Hallo Diophant,

dieses Beispiel stammt aus einer Arbeit eines Mathematikdidaktikers zur Bruchrechnung, die eben in der 6. Klasse behandelt wird.

Daher vermute ich, dass es auch eine Idee zur Lösung gibt, die sehr elementar daherkommt. Nur sehe ich diese leider nicht.

Hier alle 20 Aufgaben zur Bruchrechnung.



Bei den letzten beiden hänge ich noch...

Gruß
Diz



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hgseib
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.04.2019
Mitteilungen: 172
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-10


Hallo



Quadrat A,B,D,C => q = 1
Dreieck A,E,C => a = 1/4
Dreieck J,E,C => b = a/2 = 1/8
Dreieck J,I,H => c = gesuchtes 3eck

Dreieck(grün) J,E,Q = 9c
Rechteck(blau) Q,E,R,C = 12c

Dreieck b = 9c + 12c/2 = 15c => c = 1/8/15 = 1/120

Ist zumindestens lösbar.


Die Zerlegung in 15c ist nicht durch logisches Überlegen ersichtlich?
Also ich dachte mir das es möglich sein müsste und habe es dann experimentell gelöst.
Ob das für die 6.Klasse geeignet ist weiss ich nicht.

mfg

EDIT: L in J geändert. Danke Diophant.
Das Bild ist nur so dahingekritzelt und deshalb wenig aufgeräumt.



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1806
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-10


Hallo hgseib,

deine Idee ist brillant und du hast ihre Richtigkeit mittels der eingezeichneten Kreise meiner Ansicht nach wenn nicht bewiesen, so doch plausibel gemacht.

2019-08-10 14:56 - hgseib in Beitrag No. 3 schreibt:
Die Zerlegung in 15c ist nicht durch logisches Überlegen ersichtlich?

Doch, für mich wie gesagt schon.

Ich glaube, der einzige Fehler in deiner Ausführung ist der, dass du die Namen der Punkte L und J verwechselt hast (also im Vergleich Begründung <-> Zeichnung), oder irre ich mich?

Aber das als 6. Klasse-Didaktik? Ambitioniert, würde ich sagen...


Gruß, Diophant



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hgseib
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.04.2019
Mitteilungen: 172
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-08-10


Wie alles, so folgt auch diese Aufgabe einer gewissen Logig. Wenn in einer Klasse das Lösungschema besprochen wird, dann sollten die Schüler vergleichbare Aufgaben lösen können.

Eine logische Begründung, warum bei der 3ecks- Aufgabe z.B. eine Seite zu 5teln ist sehe ich leider immer noch nicht. Optisch könnte es passen - aber so etwas ist extrem trügerisch. Also wie von Diophant vorgeschlagen: Mittels Pythagoras nachrechnen.
Das wiederspricht aber den Erwartungen :-(
Somit: die richtige (schultauglische) Lösung steht noch aus!


Möglicher Lösungsansatz für die zwei fast-8-ecke:


Abstand O-G ist 1/4 der Quadratseite und wird gedrittelt. Damit sind beide Aufgaben lösbar.

Die anderen Aufgaben von diz #2 sind rein durch Überlegen lösbar. Ausser den beiden letzten. Auch hier: Das mit dem dritteln hilft und kann man nachrechnen. Nur eine logische Begründung für das 1/3 kann ich nicht liefern.

mfg





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Hans-Juergen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 31.03.2003
Mitteilungen: 1345
Aus: Henstedt-Ulzburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-08-10


zum Themenstart:

Hallo Diz,



Gruß
Hans-Jürgen



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1806
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-08-10

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo hgseib,

2019-08-10 19:56 - hgseib in Beitrag No. 5 schreibt:
Eine logische Begründung, warum bei der 3ecks- Aufgabe z.B. eine Seite zu 5teln ist sehe ich leider immer noch nicht. Optisch könnte es passen - aber so etwas ist extrem trügerisch. Also wie von Diophant vorgeschlagen: Mittels Pythagoras nachrechnen.
Das wiederspricht aber den Erwartungen :-(
Somit: die richtige Lösung steht noch aus!

Einspruch:
Aus dem zweiten Strahlensatz folgt sofort, dass \(\overline{EQ}\) die Strecke \(\overline{CH}\) halbiert. Verlängert man \(\overline{EQ}\) bis auf die senkrechte Seite des Quadrats, bekommt man zusammen mit dem Punkt \(C\) ein rechtwinkliges Dreieck, das kongruent zum Dreieck \(FJH\) ist (auf die Begründung verzichte ich hier, aber das ist leicht einzusehen). Da diese Dreiecke wiederum ähnlich zu den großen Dreiecken sind, die jeweils \(1/4\) des Quadrats bilden (Beispiel: \(CHD\)), ist das Verhältnis der Katheten \(1:2\). Und daraus folgt für mich dann die regelmäßige Teilung der Strecke \(\overline{CJ}\) in 5 gleich lange Teilstücke. Womit deine Behauptung beweisen wäre.

Beweisen kann ein Sechstklässler das nicht, sondern eher als plausibel annehmen. Wobei durchschnittliche Sechstklässler von dem obigen Blatt vielleicht vier, fünf Aufgaben hinbekommen könnten (und das hat jetzt nichts mit irgendwelchen Qualitätsdebatten zu tun, das wäre auch schon vor 30, 40 Jahren so gewesen). Das ist definitiv für die 6. Klasse viel zu schwer.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
\(\endgroup\)


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hgseib
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.04.2019
Mitteilungen: 172
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-08-10


6.Klasse ? Da war ich wohl Kreide holen gegangen ;-)

Ein paar meiner Schulkammeraden waren immer gut drauf. Erst Jahre später hatte ich kapiert: die hatten sich in Darmstadt in der Krone mit Stoff versorgt.
Ein Anderer ist mit einer Mitschülerin echt abgehaut. Weiss nicht, ob sie das frühreife Liebespaar wiedergefunden hatten.
Und noch einer kam in die Klapse. Er ist bei Leuten ins Haus gegangen und hat angefangen dort alles aus zu messen. Ist nicht erfunden!

Ehrlich, keine Ahnung, was wir in der 6.Klasse so schulmässig getrieben hatten. Jedenfalls nicht solche Aufgaben gelöst.

mfg




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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-08-10


2019-08-10 14:11 - diz in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo Diophant,

dieses Beispiel stammt aus einer Arbeit eines Mathematikdidaktikers zur Bruchrechnung, die eben in der 6. Klasse behandelt wird.

Daher vermute ich, dass es auch eine Idee zur Lösung gibt, die sehr elementar daherkommt. Nur sehe ich diese leider nicht.

Hier alle 20 Aufgaben zur Bruchrechnung.
...

Bei den letzten beiden hänge ich noch...

Gruß
Diz


Die beiden letzen sollten sich mit dem erste Bild in der letzen Zeile lösen lassen. Teile das Quadrat und die grüne Fläche in acht Teile mittels Diagonalen und Mittelsenkrechten. Ein achtel der Figur (in einem Viertelquadrat) sollte sich dann in der vorherigen Aufgabe wiederfinden lassen.



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xiao_shi_tou_
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Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 940
Aus: Grothendieck Universum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-08-10

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Ich hab die Fläche mal stumpf nachgerechnet.
Es sind tatsächlich $\frac{1}{120}$.
Meine Lösung kommt nur mit Pythagoras und Ähnlichkeit aus, ist aber vermutlich nicht die eleganteste.
Wenn es jemanden interessiert lade ich sie hoch.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]


-----------------
Poincaré and Erdős went to an étalé party at Čech's
with an adèle and an étale as gifts. Čech was happy.
\(\endgroup\)


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diz
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.12.2010
Mitteilungen: 28
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-11


Hallo,

erstmal vielen Dank an alle Beteiligten für die tolle Diskussion.

@hgseib: Das zweitletzte Achteck (Nr.19) ist damit bei Kenntnis des "Quadrates in der Mitte" (Nr.15) gelöst. Das Quadrat hat 1/5. Damit gilt für Nr. 19: 1/5-4*1/120=1/5-1/30=1/6

Gruß
Diz



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-08-11


Hallo,

hier sind noch zwei Bild zu den Aufgaben 17,19,20
<math>
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (C) at (4,4);
\coordinate (D) at (0,4);
\coordinate (E) at ($0.5*(A)+0.5*(B)$);
\coordinate (F) at ($0.5*(B)+0.5*(C)$);
\coordinate (G) at ($0.5*(C)+0.5*(D)$);
\coordinate (H) at ($0.5*(D)+0.5*(A)$);
\coordinate (I) at (intersection of E--G and F--H);

\draw[thick, fill=lightgray] (D)--(G)--(I)--(H)--(D);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) --(A);
\draw (A)--(G)--(B) (B)--(H)--(C) (C)--(E)--(D) (D)--(F)--(A);
\end{tikzpicture}
</math>


<math>
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (C) at (4,4);
\coordinate (D) at (0,4);
\coordinate (E) at ($0.5*(A)+0.5*(B)$);
\coordinate (F) at ($0.5*(B)+0.5*(C)$);
\coordinate (G) at (intersection of A--F and C--E);

\fill[red!50] (A)--(G)--(B);
\fill[green!50] (F)--(G)--(B);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) --(A) (A)--(G);
\draw (A)--(F)--(D) (C)--(E)--(D);
\draw[thick] (B)--(D);
\end{tikzpicture}
</math>

Wenn wir nur das linke obere Viertel betrachten, zerfällt die Figur 19 in acht grüne und die Figur 20 in acht rote Dreiecke. Aus 17 wissen wir, dass diese beiden Dreieck die Flächeninhalten $\frac{1}{6}$ und $\frac{1}{12}$ haben. Damit erhalten wir für 19,20 die Flächeninhalte $8\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{12} = \frac{1}{6}$ und $8\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.

Nachtrag: Ein Bild zu $1/6$ aus Aufgabe 17
<math>
\begin{tikzpicture}

\fill[green!50] (0,3)--(2,2)--(3,3) (3,0)--(4,1)--(6,0);
\fill[red!50] (0,0)--(3,3)--(6,3)--(3,0)
\draw
(0,3)--(6,0) (6,3)--(6,0)--(3,0)
(0,0)--(3,3) (3,0)--(6,3)
(0,0)--(3,0)--(1,1)--(4,1)--(2,2)--(5,2)--(3,3)--(6,3);
\draw[very thick]  (0,0)--(3,0)--(3,3)--(0,3)--(0,0);
\end{tikzpicture}
</math>



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diz
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.12.2010
Mitteilungen: 28
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-11


Hier noch meine Idee zur 20.



Damit ergibt sich der Flächeninhalt zu:
1/9 + 4 * 1/2 * 1/9 = 1/3

Vielen Dank nochmal an alle.

Gruß
Diz



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viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 26842
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-08-11


Meine Idee zum Ausgangsproblem:



• Daß das <math>\triangle P_7 P_{12} P_3</math> gleich <math>\frac{1}{8}</math> des Quadrates ist sollte klar sein.
• Für <math>P_3 P_{13}=P_{13} P_9=P_9 P_{12}</math> muß man etwas genauer hinsehen, denn damit ist <math>\triangle P_7 P_{12} P_9=\frac{1}{3} \cdot \triangle P_7 P_{12} P_3</math>.
<math>P_7 P_{10}=P_{10} P_{12}</math> ist wieder trivial, also <math>\triangle P_7 P_{10} P_9=\frac{1}{2} \cdot \triangle P_7 P_{12} P_9</math>.
• Was mit fehlt ist der Nachweis der 5-teilung von <math>P_7P_9</math>.
Denn damit hätten wir dann
$$\triangle P_8 P_{10} P_9=\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \square P_{17} P_4 P_2 P_3 = \frac{1}{120} \cdot \square P_{17} P_4 P_2 P_3$$

Jemand eine Idee für die 5-teilung?

Gruß vom ¼


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Bild



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hgseib
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Noch ein kleiner Beitrag zur 5er Teilung



Diagonale AB durch ein Rechteck mit Seitenverhältnis 2:1
(Seitenverhältnis ist eigentlich egal, das Teilungsverhältnis ist immer so)

AD halbiert -> E, Schnittpunkt AB mit CE -> G = 1/3
AE halbiert -> H, Schnittpunkt AB mit CH -> I = 1/5
AH halbiert -> J, Schnittpunkt AB mit CJ -> K = 1/9
usw.
ergibt die Zahlenreihe 3, 5, 9, 17, 33, ..

GHI ist 'unser' 3eck.
mfg










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Hans-Juergen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-08-12


@#14

Hallo Dietmar,

die von Dir offenbar nach Augenmaß eingezeichneten, d. h. nicht konstruierten, Punkte liegen exakt um die Strecke
fed-Code einblenden
voneinander entfernt. Dies lässt sich z. B. anhand von Beitrag No. 6 rechnerisch leicht beweisen. (Ich weiß nicht, ob Du das oder Ähnliches wissen wolltest. wink )

Mit herzlichem Gruß
Hans-Jürgen

Nachtrag:



Die weitere Rechnung zeigt: fällt man von den fünf Punkten jeweils das Lot auf die untere Quadratseite mit der Länge a, dann haben die Lotpunkte voneinander den konstanten Abstand d = a/15 . Das bedeutet umgekehrt, dass sich die fünf Punkte sehr einfach konstruieren lassen, indem man die Quadratseite "fünfzehntelt" und von den linken Teilpunkten senkrecht nach oben bis zum Schnitt mit der Strecke P7P9 geht.





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JoeM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-08-13


Hallo,

als Anmerkung .....


viele Grüße

JoeM



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hgseib
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2019-08-13


@JoeM

Glückwunsch!

du hast gesehen, was andere nicht gesehen haben. Das ist eine Lösung, wie sie auch von Schülern (schlaue 6.-Klässler) gefunden werden könnte, da sie zu den anderen Bildern passt.

Wir sind alle zu sehr ins Detail gegangen und haben den grossen Zusammenhang nicht erkannt. Obwohl doch alle den 8-eck Stern gehen haben.

mfg



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2019-08-13

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
@hgseib:
ich weiß nicht so recht, warum du deine Lösung hier so unter Wert verkaufst. Die von JoeM ist schön, vor allem sieht man hier schön, dass die Seiten des fraglichen Dreicks im Verhältnis des Pythagoräischen Tripels \((3,4,5)\) stehen.

Aber nochmal: das ist für Sechstklässler out of order. Ein Sechstklässler weiß qua Unterricht nicht, was \(\sqrt{5}\) ist, und wusste dies meiner Kenntnis nach auch in früheren Zeiten nicht.

Die einzige Lösung bisher, auf die ein sehr schlauer Sechstklässler kommen kann, bleibt somit deine aus Beitrag #3.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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JoeM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2019-08-15


Hallo,

in Anlehnung an die oben gezeigten Bilder ( Klasse 6 ) habe ich folgenden Vorschlag:


viele Grüße

JoeM



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2019-08-15


Hallo JoeM,

auch wieder schön. Aber gestatte mir zwei Fragen/Anmerkungen:

- wie kommst du auf die Fläche des grünen Quadrats?
- für das grau markierte Dreieck benötigt man den Satz über den Schwerpunkt von Dreiecken.

Letzterer ist in der sechsten Klasse nicht bekannt. Und die Fläche des grünen Quadrats, da benötigt man doch letztendlich irgendwo den Satz des Pythagoras, oder was übersehe ich?

Also ich bleibe (bisher) bei meiner Aussage: die einzig denkbare Lösungsstrategie für die 6. Klasse, die wir bisher gefunden haben, ist die von hgseib aus #3.


Gruß, Diophant



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diz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-15


Hallo Diophant,

"Und die Fläche des grünen Quadrats, da benötigt man doch letztendlich irgendwo den Satz des Pythagoras, oder was übersehe ich?"



So sieht man ohne Kenntnis des Pythagoras sofort, dass die Fläche "des grünen Dreiecks" bei JoeM ein Fünftel beträgt.

Gruß
Diz



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2019-08-15


Hallo diz,

ja, vielen Dank, das ist einleuchtend. Und die Höhe des grau unterlegten Dreiecks kann man mit dem Strahlensatz bekommen. Ok, der ist auch kein Stoff für Klasse 6, aber ein findiger Sechstklässler kann da selbst drauf kommen. Ich glaube, der Begriff Ähnlichkeit wird doch in der 6. Klasse eingeführt, oder irre ich da?

Also: damit haben wir zwei Lösungen, auf die sehr talentierte 6.Klässler selbst kommen können.

Schön (und danke für diese Aufgaben)!


Gruß, Diophant



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Hans-Juergen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2019-08-17





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JoeM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2019-08-18


Hallo Hans- Jürgen,

jetzt sieht auch ein Schüler aus der 5. Klasse die Lösung.  smile

viele Grüße

JoeM



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