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Analysis » Funktionalanalysis » Gewichtetes Hölder-Mittel für p -> 0
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Universität/Hochschule J Gewichtetes Hölder-Mittel für p -> 0
queuel98
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-12


Guten Abend allerseits,

die Definition des gewichteten geometrischen Mittels lautet
\[\sqrt[w]{\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}},\] wobei \(w\) die Summe der Gewichte ist.

Nun wollte ich diese Formel aus der allgemeinen Formel für das Hölder-Mittel für p -> 0 herleiten: \(\bar{x} = \left(\sum_{i=1}^n w_i x_i^p\right)^\frac{1}{p}\). Ich bin auch klargekommen mit der Annahme, dass \(\sum_{i=1}^n w_i = 1\) ist und damit der gesamte Bruch \[\exp\left(\lim_{p\to 0}\frac{\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p} \right) \] mithilfe von de l´Hôpital ausgewertet werden kann.

Nun habe ich jedoch Schwierigkeiten, das ganze für allgemeines \(w\) duchzuführen, weil ja dann im Zähler \(\ln\left(\sum_{i=1}^n w_i\right)\) bleibt und nicht Null und damit l´Hôpital auch nicht mehr funktioniert.
Umformen funktioniert nicht und mit Reihenentwicklungen komme ich auch nicht weiter. Hat jemand einen Tipp?

Liebe Grüße, queuel98



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queuel98
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-12


Ich antworte mir hier mal selber, weil sich die Frage für mich geklärt hat.
Tatsächlich ist die Anwendung von l´Hôpital nur mit normalisierten Gewichten möglich. Das können wir aber ohne Probleme machen, weil nur die Verhältnisse  der Gewichte eine Rolle spielen und nicht deren Wert.  biggrin



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