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Strukturen und Algebra » Gruppen » Was ist der Unterschied zwischen dem Produkt zweier zyklischer Gruppen und dizyklischen Gruppen?
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Kein bestimmter Bereich J Was ist der Unterschied zwischen dem Produkt zweier zyklischer Gruppen und dizyklischen Gruppen?
Yor
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-13


Die Beispiele de.wikipedia.org/wiki/Dizyklische_Gruppe kann man ja auch als Produkt zweier zyklischer Gruppen schreiben (zumindest die ersten beiden Gruppen getestet).

$\mathrm{Dic}_1 = \{1, -1, j, -j\} = \{1,-1\} \times \{1,-j\}$

$\mathrm{Dic}_2 = \{1,i,-1,-i,j,ij,-j,-ij\} = \{1,-1,i,-i\} \times \{1,-1,j,-j\}$

Nun gibt es aber auch Produkte zyklischer Gruppen die nicht in einer dizyklischen Gruppe enden (z.B. zwei Faktorgruppen mit Teiler). Sind nun
dizyklische Gruppen eine Teilmenge von der Gruppe der Produkten von zyklischen Gruppen?

Im Link steht auch:
$a^{\nu} = \exp(\nu \pi i/n) =  \cos (\nu \pi /n) + i \sin (\nu \pi /n)$
heißt das, bei einer dizyklischen Gruppe gibt es einen Erzeuger, der die gesammte Gruppe erzeugen kann?



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weird
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Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4969
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-13


2019-08-13 02:49 - Yor im Themenstart schreibt:
Die Beispiele de.wikipedia.org/wiki/Dizyklische_Gruppe kann man ja auch als Produkt zweier zyklischer Gruppen schreiben (zumindest die ersten beiden Gruppen getestet).

$\mathrm{Dic}_1 = \{1, -1, j, -j\} = \{1,-1\} \times \{1,-j\}$

Inwiefern soll das ein Produkt von zwei zyklischen Gruppen sein? $\{1,-j\}$ ist ja wegen $(-j)^2=-1$ nicht einmal eine Gruppe!    eek

Nun gibt es aber auch Produkte zyklischer Gruppen die nicht in einer dizyklischen Gruppe enden (z.B. zwei Faktorgruppen mit Teiler). Sind nun dizyklische Gruppen eine Teilmenge von der Gruppe der Produkten von zyklischen Gruppen?

Wie gesagt steht bei dir der Begriff "Produkt zyklischer Gruppen" auf höchst wackeligen Beinen. Den müsste man hier erst einmal definieren um dazu etwas sagen zu können. Was meinst du übrigens mit den "zwei Faktorgruppen mit Teiler"?   confused

Im Link steht auch:
$a^{\nu} = \exp(\nu \pi i/n) =  \cos (\nu \pi /n) + i \sin (\nu \pi /n)$
heißt das, bei einer dizyklischen Gruppe gibt es einen Erzeuger, der die gesammte Gruppe erzeugen kann?

Du meinst also z.B. die Quaternionengruppe $\mathrm{Dic}_2$ wäre zyklisch? Ne, ist sie nicht, denn was sollte denn hier ein Erzeuger sein?  $a=\exp(i\pi/n)$ ist es jedenfalls nicht, denn das Erzeugnis $\langle a\rangle$ ist im wahrsten Sinne des Wortes immer nur eine "halbe Sache", da es ja $j$ nicht enthält.   biggrin  



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Yor
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 29.09.2009
Mitteilungen: 72
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-13


woops, war wohl zu spät gestern, dache $(-j)^2 = 1$
Danke für die Antwort.

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