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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Zeige es gibt ein Element a in Z fuer das gilt: n^2 = 8a + 1 iff n ungerade
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Universität/Hochschule J Zeige es gibt ein Element a in Z fuer das gilt: n^2 = 8a + 1 iff n ungerade
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Dabei seit: 26.04.2013
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-13 19:12


Hallo,

es geht um folgenden Beweis:"Suppose n ∈ ℕ. Prove that there exists a ∈ ℤ such that n2 = 8a + 1 iff n is odd."

Hier habe ich meine bisherige Arbeit zusammengefasst:
(Die rote Schrift ist von meinem Prof.)



Ich hatte mich dann nochmal im Internet umgeschaut, weil der Kommentar von meiner Professorin mir nicht wirklich weiter geholfen hat. Offensichtlich ist dies ein Problem, dass schon haeufiger gestellt wurde, da ich ganz unterschiedliche Loesungsansaetze gefunden habe (beispielsweise gab es einige Loesungen die mit Ringen und Modulo 8 argumentiert haben). Moechte die aber nicht einfach abschreiben. Hab mir alles angesehen und versucht die in meinen Loesungsansatz einfliessen zu lassen.

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weird
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Dabei seit: 16.10.2009
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-13 19:21


Ich denke, was deine Professorin - und nicht nur die! - sehen wollte, war sowas von der Art
\[n^2=(2m+1)^2=4m^2+4m+1=8\frac{m(m+1)}2+1\] Da das Produkt $m(m+1)$ jedenfalls gerade ist (von zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ist ja sicher eine durch 2 teilbar!), gilt die Behauptung mit
\[a=\frac{m(m+1)}2\in \mathbb Z\] also dann tatsächlich - kurz und schmerzlos.  wink

PS: Deine Argumentation im zweiten Teil, wo du von der zu beweisenden Gleichung $4m^2+4m+1=8a+1$ ausgehst und dann nach einigen Umformungen schließlich auf eine wahre Aussage (hier $8a+1=8a+1$) kommst, halte ich generell für sehr gefährlich. Tatsächlich sollte die Beweisrichtung genau umgekehrt sein, mit einer wahren Aussage zu Beginn und der zu beweisenden Aussage am Ende, was man manchmal noch nachträglich noch so hinkriegen kann, wenn es sich um Äquivalenzumformungen handelte, manchmal aber auch nicht. Auf jeden Fall ist das ein schlechter mathematischer Stil, den du dir auf keinen Fall angewöhnen solltest.



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Dabei seit: 26.04.2013
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-14 01:40


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-14 02:02


Grundsätzlich musst du eigentlich alles beweisen was behauptet wird.

Manche Dinge sind allerdings so offensichtlich, dass es jedem klar ist.
Die Frage ist dann immer: Ist es dir wirklich klar?

Wüsstest du denn wie man $\frac{m(m+1)}{2}\in\mathbb{Z}$ zeigen würde?

Wenn nicht solltest du es beweisen.
Wenn doch kannst du auch kurz eine Begründung angeben. :)



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-14 07:26


2019-08-14 01:40 - timeout75 in Beitrag No. 2 schreibt:
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Wenn es dir hier um die Gannzzahligeit von $a=\frac{m(m+1)}2$ geht, so hab ich ja den Beweis (ja, der ist notwendig!) sogar oben hingeschrieben: Weil von den beiden aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen $m$ und $m+1$ auf jeden Fall eine durch 2 teilbar ist, lässt sich obiger Bruch also sicher durch $2$ kürzen. Du kannst aber $a$ auch in der Form $a=\binom {m+1}2$ anschreiben, falls für dich die Ganzzahligkeit von Binomialkoeffizienten klar ist.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-14 21:30



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-08-14 23:08


Ja, das ist so ok.
Oder wie weird schon sagte: Wenn du zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen hast, muss eine davon schon durch 2 teilbar sein, weshalb sich die 2 kürzt.




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-15 04:55


Ich bekomme hier noch Hautausschlaege.

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Hab ich Euch falsch verstanden? Hab ich mich schlecht ausgedrueckt? Stimmt etwas an meinem Beweis nicht? Ist hier im Forum ein Fehler passiert? Stehe ich oder Sie auf dem Schlauch?

Wir muessen doch zeigen, dass es fuer ungerade n ein ganzzahliges Element A gibt? Das haben wir doch getan? Hilfe! Panik! :)




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-15 06:02


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-08-15 08:00


2019-08-15 06:02 - timeout75 in Beitrag No. 8 schreibt:
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Ja, vermutlich meinte sie sowas von der Art, wenn man jetzt einmal davon absieht, dass du hier $k$ zweimal in verschiedenen Bedeutungen verwendest: Einmal in dem Ausdruck $(2k+1)^2=4k(k+1)+1$ und ein zweites Mal, wenn du sagst, dass das Produkt $k(k+1)$ von der Form $2k(2k+1)$ ist, was natürlich in der Mathematik ein absolutes nogo ist.  frown

Ich würde also von daher sagen, dass ihr beide Recht habt und es eine reine Geschmacksfrage ist, was man nun vorzieht. Dass sie aber stur auf ihrer Argumentation beharrt, gerade so, als ob deine falsch wäre, ist in der Tat sehr merkwürdig.  eek

Wie würde übrigens der "kleine Gauß" begründet haben, dass der Bruch $k(k+1)/2$ in Wahrheit ganz ist? Er würde vielleicht gesagt haben, dass gilt
\[1+2+...+k=\frac{(k+1)k}2 \quad (k\in\mathbb N)\] und da die linksstehende Summe sicher eine natürliche Zahl ist, ist es auch der Ausdruck auf der rechten Seite.  Aber sag das nicht deiner Professorin, die scheint schon jetzt leicht überfordert zu sein, wenn es um alternative Beweiswege geht.  biggrin



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-15 08:18


Das ist genau mein Problem an der ganzen Sache mit diesem Online-Kurs an der SNHU, kann es nicht erwarten bis es an der Plymouth State weiter geht! Die wollen eine Sache sehen, und wenn man das nicht so macht, dann gibt es keine Punkte.  

Jo, den Fehler muss ich noch korrigieren.

Ich fand Deine Einwuerfe wesentlich besser, da es ganz klar war, dass a element Z ist.

Die Sache die ich jetzt hingeschrieben habe, hat 8a + 1 auf beiden Seiten, aber weshalb soll dies a element Z zeigen?

Ich habe die sogar gefragt, was konkret falsch war, und es gab keine Antwort. Solch ein Murks.

Euch beiden DANKE noch einmal!
Tobias



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-15 17:32


Ich hab jetzt noch einmal darueber nachgedacht und hab dies noch immer nicht ganz verstanden, wenn wir 8a + 1 = 8a + 1 auf beiden Seiten haben, dann zeigt dies doch nur Gleichheit an oder irre ich mich? Es ist also eine wahre Aussage.

Wie verhaelt es sich dann eigentlich bei 8p + 1 = 8a + 1, dann haben die zwar die gleiche Form, aber das bedeutet ja noch nicht, dass die gleich sind.

Was ich noch weniger an dieser Art der Beweisfuehrung verstehe, und dies habe ich schon vorher gefragt, warum soll dies zeigen, dass a element Z ist?

Ich fand die Herangehensweise von WEIRD wesentlich schoener und einleuchtender, aber offensichtlich will die Prof. dies nicht sehen (aus welchem Grund auch immer) und deswegen Frage ich hier noch einmal nach!

Danke fuer Eure Kommentare!




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timeout75 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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