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Mathematik » Stochastik und Statistik » Minimierung mit Brownscher Bewegung
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Universität/Hochschule J Minimierung mit Brownscher Bewegung
Radix
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.10.2003
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-14


Hallo!




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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-15


Hey Radix,

mich würde mal die Rechnung zu (b) bzw (c) interessieren, denn ich komme auf etwas anderes, nämlich \(c_0=0\), \(c_1=1\) und damit \(f(0,1)=t-s\).
Gesetz dem Fall ich habe recht, würde das ganze die Aufgabe (d) zumindest schon mal interessanter und sinnvoller gestalten



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Radix
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.10.2003
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-16


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zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-16


Hallo Radix,

bei (b) und (c) komme ich auch dieselben Ergebnisse und habe auch das Gefühl, dass (d) so gar nicht dazu passt – ich hätte da eher $\mathbb E[(W(t)^2-Y)^2]$ erwartet.

Rechnest du diese Klausur nach? Kann die Tippfehler enthalten?

--zippy



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-16


Ja, das Quadrat habe ich übersehen. Ein Tippfehler in der Klausur - zumindest bei Quadrat in b) - scheint es nicht zu sein, da ja dort explizit darauf hingewiesen wird, dass man das Quadrat nicht übersehen soll. Der Tippfehler steckt sicher in d).

Ich versuchs noch mal nachzurechnen



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-16


Schon mal danke für euer beeindruckendes Engagement!    eek  smile

Ja, genau die Prüfung meine ich. An sich neigen alle diese Angaben nicht zu Tippfehlern. Ich habe, glaube ich, erst einen einzigen bisher gefunden.

Seid ihr euch beide sicher, dass in d) ein Quadrat fehlt?

Danke,
Radix



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-08-16


Also, wenn die Aufgabe so gemeint ist, wie sie dasteht, dann wird der Ausdruck \(\mathbb{E}[(W(t)-Y)^2]\) dadurch minimiert, indem man \(Y=W(s)\) setzt, es kommt \(t-s\) raus und man hat die von dir angesprochene Problematik, dass die Aufgabe nicht eindeutig zu lösen ist.

Aber auch mit einem Quadrat habe ich noch keine zufriedenstellende Lösung parat...



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Radix
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-16


Wenn wir da schon mit Unmengen Zeit unsere Schwierigkeiten haben, tun mir
die Prüflinge leid, die das unter Zeitdruck lösen mussten.

Danke,
Radix



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-08-16


Ja, mir ein wenig auch.
Wenn man die Aufgabe versuchen will mit dem (vermeintlich) fehlenden Quadrat zu lösen, könnte man Funktionen der Form \(c_1 + c_2W(s)^2\) o.Ä. probieren.

Aber ja, für eine Klausuraufgabe wäre das natürlich viel zu viel Aufwand.



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Radix
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.10.2003
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-16


Man bedenke, dass für das komplette Beispiel nur 22,5 Minuten zur Verfügung stehen ...

Gruß,
Radix



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AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-08-16


Huhu zusammen,

vielleicht habe ich auch etwas überlesen, aber mir scheint Aufgabe (d) nicht so schwer.

Gäbe es mindestens ein solches $Y$, so müsste auch $Z=E(W_t|\mathcal{F}_s)$ (als Bestapproximation bzgl. des $L^2$-Skalarproduktes) die Ungleichung erfüllen.

Es ist aber $Z=W_s$ (da $W$ ein Martingal ist) und somit entsteht die von Radix beschriebene Situation.

lg, AK



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-16


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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-08-16


Nun, aber damit ist die Aufgabe doch gelöst. Für $t-s<2t^2$ erfüllt $W_s$ die Anforderung, für $t-s \geq 2t^2$ gibt es eben keine solche Zufallsvariable. lg, AK.



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-16


Aber die Angabe fragt ja nicht: In welchem Fall gibt es ein Y und in welchem nicht? Sondern sie will einen Beweis oder ein Gegenbeispiel, was beides nicht geht.

Danke,
Radix



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AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-08-16


Nun. Wenn ich dich fragte: Ist $f(t)=t^2$ größer oder kleiner als $g(t)=t$, dann würdest du doch auch eine Antwort finden, die von $t$ abhängt. Oder du würdest argumentieren, dass man das nicht allgemein sagen kann. In diesem Sinne wäre die Aufgabe doch (auch in einer Klausur) zu beantworten. lg, AK.



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-16


Zippy und Kampfpudel:

Was würdet ihr hinschreiben? Oder tendiert ihr eher noch zu einem Angabefehler in (d)?

Danke,
Radix



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-08-16


2019-08-16 22:04 - Radix in Beitrag No. 15 schreibt:
Was würdet ihr hinschreiben?

Wenn ich in einer Klausur etwas hinschreiben müsste, dann würde ich zu AnnaKaths Antwort greifen.

Aber ich wäre überrascht, wenn (d) wirklich so lautet und tippe immer noch auf $\mathbb E[(W(t)^2-Y)^2]$ statt $\mathbb E[(W(t)-Y)^2]$.

Ein paar Semester früher gab es eine ähnliche Aufgabe und die hat genau diese Struktur:
1. Suche die Bestapproximation einer Zufallsvariable für einen Ansatz mit wenigen Parametern.
2. Suche die Bestapproximation derselben Zufallsvariable unter allen $\mathcal F(s)$-messbaren Zufallsvariablen.



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-16


Du hast recht, dass diese ältere Aufgabe sehr ähnlich ist.

Demnach wäre die erwartete Antwort: Es gibt kein derartiges Y.

Aber welche saubere Begründung dafür würdet ihr hinschreiben? Ihr verwendet alle den Begriff "Bestapproximation". In den Unterlagen der Lehrveranstaltung wurde jedoch nie gezeigt, dass ... eine Bestapproximation ist, ja der Begriff wurde noch nicht einmal erwähnt. Wie würdet ihr das ohne diesen Begriff begründen?

Danke,
Radix



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2019-08-17


2019-08-16 23:55 - Radix in Beitrag No. 17 schreibt:
Wie würdet ihr das ohne diesen Begriff begründen?

Wichtig für die Aufgabe ist weniger dieser Begriff als die Aussage, die AnnaKath in Beitrag Nr. 10 verwendet hat: Als Funktion auf den $\mathcal A$-messbaren Zufallsvariablen nimmt $Y\mapsto\mathbb E[(X-Y)^2]$ sein Minimum für $Y=\mathbb E[X|\mathcal A]$ an. Kannst du diesen Satz verwenden?

2019-08-16 23:55 - Radix in Beitrag No. 17 schreibt:
Demnach wäre die erwartete Antwort: Es gibt kein derartiges Y.

Nein, wenn man in (d) $\mathbb E[(W(t)-Y)^2]$ durch $\mathbb E[(W(t)^2-Y)^2]$ ersetzt, wäre das nicht die Antwort, denn im Gegensatz zu der alten Klausur schließt jetzt der Ansatz die Zufallsvariable $\mathbb E[W(t)^2|\mathcal F(s)]$ nicht ein.



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-17


Nein, so einen Satz gabs leider nirgends.

Ich glaube, ich gebe (d) auf, weil ich mir immer unsicherer werde, ob es sich um einen Angabefehler handelt oder nicht.

Trotzdem danke für eure Hilfe, die mich beruhigt, dass ich nichts Offensichtliches übersehen habe.

Danke,
Radix



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Radix hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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