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Lineare Algebra » Vektorräume » Komplexifizierung von Lie-Algebren
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Universität/Hochschule Komplexifizierung von Lie-Algebren
capstrovor
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Aus: Österreich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-15


Hallo,
ich habe eine Frage zum Tensorprodukt auf Lie-Algebren.

Wir haben die komplexifizierung einer reellen Lie Algebra definiert als

fed-Code einblenden
mit einem fed-Code einblenden im subskript vom Tensorprodukt.

Dann wäre z.b. die Komplexifizierung von den reellen spurlosen Matrizen einfach die spurlosen Matrizen mit komplexen Einträgen.
Jetzt haben wir aber in einer Aufgabe fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
also ohne subskript. Ist das egal oder macht das einen Unterschied?
 



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-15


Hallo capstrovor,

eigentlich muss man bei einem Tensorprodukt immer angeben, über welchem Körper (oder allgemeiner: Ring) das Tensorprodukt gebildet werden soll, in deinem Fall über $\mathbb{R}$. Wenn das aber aus dem Kontext heraus klar ist, dann lässt man die explizite Angabe oft auch weg. Deine Situation ist so ein Fall: Bei $so(n) \otimes \mathbb{C}$ ist ziemlich klar, dass nur $so(n) \otimes_{\mathbb{R}}$ gemeint sein kann, weshalb man den Index $\mathbb{R}$ hier einigermaßen gefahrlos weglassen kann.



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capstrovor
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Aus: Österreich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-16


Ok, vielen Dank für die Antwort!

Ist es klar dass das Tensorprodukt hier über R gemeint ist, da so(n) schon reell ist?

Beim Bsp so(3):

Wählen wir einfach die übliche Basis $L_1, L_2, L_3$. Dann muss ich, wenn ich das reelle Tensorprodukt betrachte, auch $\IC$ als reellen VR auffassen, oder? Also mit Basis $e_1 = (1,0)^T, e_2 = (0, i)^T$.
Dann wäre die Basis $K_1, K_2,..., K_6$ von $so(3) \otimes \IC $
$K_1 = L_1 \otimes e_1$
$K_2 = L_1 \otimes e_2$
...
$K_6 = L_3 \otimes e_2$

Hab ich das so richtig verstanden?
Und was wäre wenn das Tensorprodukt über $\IC$ wäre?

LG



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-16


2019-08-16 14:01 - capstrovor in Beitrag No. 2 schreibt:
Ok, vielen Dank für die Antwort!

Ist es klar dass das Tensorprodukt hier über R gemeint ist, da so(n) schon reell ist?


Mehr oder weniger, ja. Theoretisch kann man zum Beispiel auch $so(n) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}$ betrachten, normalerweise gibt es aber keinen Grund, warum man das tun wollte - und wenn doch, würde man das dann auf jeden Fall explizit dazuschreiben.



Beim Bsp so(3):

Wählen wir einfach die übliche Basis $L_1, L_2, L_3$. Dann muss ich, wenn ich das reelle Tensorprodukt betrachte, auch $\IC$ als reellen VR auffassen, oder? Also mit Basis $e_1 = (1,0)^T, e_2 = (0, i)^T$.


Hier ist deine Notation etwas merkwürdig, aber du meinst eindeutig das richtige: $(1,0)^T$ und $(0,i)^T$ sind keine Elemente von $\mathbb{C}$, du meinst sicher eigentlich $e_1=1$ und $e_2=i$.



Dann wäre die Basis $K_1, K_2,..., K_6$ von $so(3) \otimes \IC $
$K_1 = L_1 \otimes e_1$
$K_2 = L_1 \otimes e_2$
...
$K_6 = L_3 \otimes e_2$

Hab ich das so richtig verstanden?


Hier musst du aufpassen, was genau du mit einer Basis von $so(3) \otimes \mathbb{C}$ meinst: Zunächst einmal ist $so(3) \otimes \mathbb{C}$ ja einfach ein $\mathbb{R}$-Vektorraum und dann ist das, was du schreibst  richtig. Jetzt kann man $so(3) \otimes \mathbb{C}$ aber auch als $\mathbb{C}$-Vektorraum auffassen und dann ist eine Basis als solcher $\{ K_1, K_3, K_5 \}$.



Und was wäre wenn das Tensorprodukt über $\IC$ wäre?

LG

Ein Tensorprodukt $so(3) \otimes_{\mathbb{C}} \mathbb{C}$ ist nicht definiert. Ein Tensorprodukt über $\mathbb{C}$ kann man nur von zwei $\mathbb{C}$-Vektorräumen bilden und $so(3)$ ist kein $\mathbb{C}$-Vektorraum.



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