Die Mathe-Redaktion - 23.09.2019 03:30 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 659 Gäste und 1 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Darstellungstheorie » Clebsch-Gordan-Zerlegung
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Clebsch-Gordan-Zerlegung
capstrovor
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 16.05.2018
Mitteilungen: 23
Aus: Österreich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-16


Hallo, ich hab eine kurze praktische Frage zur CG Zerlegung:

Die Aufgabe lautet: Zerlege in irreduzible Darstellungen von SU(2) (wobei wir in der VL die $V_n$ als die n+1 dimensionalen irreps von sl(2,C) bezeichnet haben)
$V_1 \otimes V_1 \otimes V_1$

Die Definition von CG:
$V_m \otimes V_n \cong V_{m+n} \oplus V_{m+n-2} \oplus ... \oplus V_{|m-n|}$

Dann müsste doch
$V_1 \otimes V_1 \otimes V_1 \cong (V_2 \oplus V_0) \otimes V_1 \cong V_3 \oplus V_1 \oplus V_1 \oplus V_1$

in den Lösungen ist es aber
$V_2 \oplus 2V_1$

wo liegt hier mein Denkfehler?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 643
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-16


2019-08-16 16:24 - capstrovor im Themenstart schreibt:
Dann müsste doch
$V_1 \otimes V_1 \otimes V_1 \cong (V_2 \oplus V_0) \otimes V_1 \cong V_3 \oplus V_1 \oplus V_1 \oplus V_1$

Zähl doch mal die Dimensionen. Du hast $2\cdot2\cdot2=(3+1)\cdot2\ne4+2+2+2$ und das sieht nicht richtig aus.

2019-08-16 16:24 - capstrovor im Themenstart schreibt:
in den Lösungen ist es aber
$V_2 \oplus 2V_1$

Das ist wegen $8\ne3+2\cdot2$ auch suspekt.

Wie wäre es mit $V_1 \otimes V_1 \otimes V_1 \cong (V_2 \oplus V_0) \otimes V_1 \cong (V_3 \oplus V_1) \oplus V_1 = V_3 \oplus 2V_1$?

--zippy



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
capstrovor
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 16.05.2018
Mitteilungen: 23
Aus: Österreich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-16


Ok ja das muss dann ein Tippfehler in den Lösungen sein.

Und ich verstehe auch dein Argument, aber laut Definition muss doch bei m=0, n=1 die Zerlegung

$V_0 \otimes V_1 = V_1 \oplus V_{|-1|}$

sein? Es macht ja alleine schon keinen Sinn dass ein 1-dim VR tensor 2-dim VR einen anderen VR ergibt als den 2-dimensionalen...

Danke schon mal für die Hilfe!



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 643
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-16


2019-08-16 23:00 - capstrovor in Beitrag No. 2 schreibt:
aber laut Definition muss doch bei m=0, n=1 die Zerlegung

$V_0 \otimes V_1 = V_1 \oplus V_{|-1|}$

sein?

Die Clebsch-Gordan-Reihe von $V_m\otimes V_n$ besteht aus den Darstellungen $V_k$, wo $k$ in 2er-Schritten von $|n-m|$ bis $n+m$ läuft. Für $m=0$ läuft $k$ also von $n$ bis $n$, d.h. $k$ nimmt nur den einen Wert $n$ an.

Diesen Wert darfst du nicht doppelt zählen. Es ist ja auch $\sum_{k=1}^1 a_k=a_1$ und nicht $=a_1+a_1$, weil $1$ gleichzeitig die untere und obere Grenze ist.

(Übrigens ist das keine Definition der Clebsch-Gordan-Reihe, sondern ein Satz, der sagt, wie die Clebsch-Gordan-Reihe der $\operatorname{su}(2)$ aussieht.)



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
capstrovor hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]