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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Deltapotential Stetigkeitsbedingungen wieso?
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Universität/Hochschule Deltapotential Stetigkeitsbedingungen wieso?
iwanttolearnmathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-16


Hello Folks,


Ich hätte noch zu zwei aus verschiedenen Büchern gestellten Stetigkeitsbedingungen im Deltapotential:

1. In einem wird erst von einer Unstetigkeitsstelle, bezeichnet a, ausgegangen, sodass die Gleichung für ein Potential gilt:
fed-Code einblenden
Dabei gilt dann folgenden Argumentation nach dem Buch:
"Angenommen fed-Code einblenden , also die Ableitung bzw. fed-Code einblenden gilt fed-Code einblenden
woraus folgen würde:
  fed-Code einblenden
Wenn jedoch fed-Code einblenden folgt:
fed-Code einblenden
2.So meine erste Frage ist hier was das zu bedeuten hat, das "psi' springt damit psi'' die Delta Distributuin weghebt"

3. Wie kommt man letztendlich auf diese Bedingungen ??


Hoffe ihr könnt mir helfen

Beste Grüße Jan




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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-16


Du hast, wenn wir mal alle überflüssigen Konstanten weglassen, eine Gleichung der Form $\psi''(x)=\delta(x)\,\psi(x)$.

1. Da auf der rechten Seite die Deltafunktion steht, muss auch auf der linken eine stehen, und das bedeutet, dass sich $\psi''$ bei $x=0$ wie eine Deltafunktion verhalten muss.

2. Da $\psi''$ die Ableitung von $\psi'$ ist, muss $\psi'$ bei $x=0$ einen Sprung machen.

3. Da $\psi'$ die Ableitung von $\psi$ ist, muss $\psi$ bei $x=0$ einen Knick haben, aber stetig sein.

Nach diesen drei Beobachtungen kann man dann losrechnen:

* Überall außer bei $x=0$ ist $\psi''(x)=0$. Also ist $\psi$ für $x<0$ und jeweils $x>0$ eine lineare Funktion:$$
\psi(x)=\begin{cases}a\,x+b&;\;x<0\\c\,x+d&;\;x>0\end{cases}
$$* Aus (3) folgt $b=d$.

* Da $\psi'$ bei $x=0$ von $a$ auf $c$ springt, ist $\psi''(x)=(c-a)\,\delta(x)$.

* Also folgt aus $\psi''(x)=\delta(x)\,\psi(x)$, dass $c-a=b$ sein muss.

--zippy



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iwanttolearnmathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-16


Hi,


2019-08-16 19:42 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
Du hast, wenn wir mal alle überflüssigen Konstanten weglassen, eine Gleichung der Form $\psi''(x)=\delta(x)\,\psi(x)$.

1. Da auf der rechten Seite die Deltafunktion steht, muss auch auf der linken eine stehen, und das bedeutet, dass sich $\psi''$ bei $x=0$ wie eine Deltafunktion verhalten muss.
ja okay macht Sinn
2019-08-16 19:42 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
2. Da $\psi''$ die Ableitung von $\psi'$ ist, muss $\psi'$ bei $x=0$ einen Sprung machen.
1.Wieso muss das denn gelten? Liegt es daran weil sich Unstetigkeit fortpflanzen? Aber das muss doch nicht sein, es gibt doch auch bestimmt Fkt. die Unstetig sind aber die Ableitung nicht oder?
2.Warum kann man dann auch überhaupt von einer Ableitung oder Stammfkt. reden wenn es keine Stetigkeit dort gibt?
2019-08-16 19:42 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
3. Da $\psi'$ die Ableitung von $\psi$ ist, muss $\psi$ bei $x=0$ einen Knick haben, aber stetig sein.

3.Hier auch, warum gilt das?

2019-08-16 19:42 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
Nach diesen drei Beobachtungen kann man dann losrechnen:

* Überall außer bei $x=0$ ist $\psi''(x)=0$. Also ist $\psi$ für $x<0$ und jeweils $x>0$ eine lineare Funktion:$$
\psi(x)=\begin{cases}a\,x+b&;\;x<0\\c\,x+d&;\;x>0\end{cases}
$$* Aus (3) folgt $b=d$.
4.Warum muss die Wellenfkt null sein außer bei 0?
2019-08-16 19:42 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
* Da $\psi'$ bei $x=0$ von $a$ auf $c$ springt, ist $\psi''(x)=(c-a)\,\delta(x)$.
5. Warum muss denn bei da auch Psi von a nach c springen?
* Also folgt aus $\psi''(x)=\delta(x)\,\psi(x)$, dass $c-a=b$ sein muss.

Sry für die vielen Fragen aber ich will das verstehen
 Jan



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-16


Deine Fragen 1 bis 3 haben nichts speziell mit der DGL $\psi''(x)=\delta(x)\,\psi(x)$ zu tun, sondern betreffen eher grundlegende Eigenschaften der Delta-Funktion. Dafür solltest du dir irgendeinen Text zu diesem Thema mit einer geeigneten Tiefe suchen (es lohnt sich meiner Einschätzung nach nicht, nur für die Delta-Funktion beliebig tief in die Distributionen-Theorie einzusteigen) und durcharbeiten.

2019-08-16 21:52 - iwanttolearnmathe in Beitrag No. 2 schreibt:
4.Warum muss die Wellenfkt null sein außer bei 0?

Es geht nicht um die Wellenfunktion selbst, sondern um deren zweite Ableitung. Es muss $\psi''(x)=0$ außer bei $x=0$ sein, weil $\delta(x)$ und damit auch die rechte Seite der Gleichung $\psi''(x)=\delta(x)\,\psi(x)$ diese Eigenschaft hat.



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iwanttolearnmathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-18


Ah okay danke

Also ich würde das nochmal gerne so aufschreiben wie ich es verstanden habe:


2019-08-16 19:42 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
2. Da $\psi''$ die Ableitung von $\psi'$ ist, muss $\psi'$ bei $x=0$ einen Sprung machen.
Also da meinst du jetzt das muss Sosein weil die Stammfkt. der Deltadistribution gerade die Heaviside-fkt ist richtig? Die ist ja ustetig an der Stelle und deshalb muss das so sein?

2019-08-16 19:42 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
3. Da $\psi'$ die Ableitung von $\psi$ ist, muss $\psi$ bei $x=0$ einen Knick haben, aber stetig sein.
Okay das ist mir immer noch ein Rätsel...
2019-08-16 19:42 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
Nach diesen drei Beobachtungen kann man dann losrechnen:

* Überall außer bei $x=0$ ist $\psi''(x)=0$. Also ist $\psi$ für $x<0$ und jeweils $x>0$ eine lineare Funktion:$$
\psi(x)=\begin{cases}a\,x+b&;\;x<0\\c\,x+d&;\;x>0\end{cases}
$$* Aus (3) folgt $b=d$.

* Da $\psi'$ bei $x=0$ von $a$ auf $c$ springt, ist $\psi''(x)=(c-a)\,\delta(x)$.

* Also folgt aus $\psi''(x)=\delta(x)\,\psi(x)$, dass $c-a=b$ sein muss.

--zippy
Gut hier hast du ja eigentlich nur das angewendet wenn man die Voraussetzung als gültig ansieht, fragt sich mir nur noch wie 3 zustande kommt.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-08-19


2019-08-18 16:48 - iwanttolearnmathe in Beitrag No. 4 schreibt:
2019-08-16 19:42 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
3. Da $\psi'$ die Ableitung von $\psi$ ist, muss $\psi$ bei $x=0$ einen Knick haben, aber stetig sein.
Okay das ist mir immer noch ein Rätsel...

Wie sieht denn eine Funktion mit der Ableitung $r+s\,\theta(x)$ aus, wobei $\theta$ die Heaviside-Funktion ist?



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iwanttolearnmathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-19


Jedenfalls wie eine Funktion die nicht stetig ist... und eigentlich auch nicht wie eine die nicht differenzierbar ist aber wie gesagt auch nicht stetig



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-08-19


2019-08-19 17:12 - iwanttolearnmathe in Beitrag No. 6 schreibt:
Jedenfalls wie eine Funktion die nicht stetig ist...

Wie kommst du auf diese Idee? Rechne es doch einfach mal nach.



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iwanttolearnmathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-20


also ich komme darauf weil doch die Heavisidefkt. bei x= 0 eine unstetige Stelle besitzt, ein Vorfaktor wie s macht dies doch auch nicht weg. Ich bin mir nicht ganz sicher was du mit r meinst. Wenn das jetzt eine Gerade ist dann würde die tatsächlich einen Knick haben bei x=0. Aber wie gesagt ich weiß nicht was r bei dir ist.
Aber die würde doch immer noch nicht stetig sein, weil genau wieder bei x=0 ein Spruch ist der bei der nächsten Zahl größer 0 wieder zurückspringt. Oder seh ich das falsch?

Oh ich habe gerade gesehen das ich dich falsch verstanden habe sry sry sry. Du meintest natürlich die Fkt die die Heavisidefkt als Ableitung hat.



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zippy
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2019-08-20 00:26 - iwanttolearnmathe in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich bin mir nicht ganz sicher was du mit r meinst.

$r$ ist irgendeine Konstante und ebenso $s$.

2019-08-20 00:26 - iwanttolearnmathe in Beitrag No. 8 schreibt:
Du meintest natürlich die Fkt die die Heavisidefkt als Ableitung hat.

Ja, darum ging es doch:

2019-08-18 16:48 - iwanttolearnmathe in Beitrag No. 4 schreibt:
2019-08-16 19:42 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
3. Da $\psi'$ die Ableitung von $\psi$ ist, muss $\psi$ bei $x=0$ einen Knick haben, aber stetig sein.
Okay das ist mir immer noch ein Rätsel...



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