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Analysis » Komplexe Zahlen » Logarithmusgesetz für komplexe Zahlen
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Universität/Hochschule Logarithmusgesetz für komplexe Zahlen
Sid123
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.08.2019
Mitteilungen: 14
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-16


Hallo :)

Ich verstehe folgendes nicht:

In einer Aufgabe sollte ich prüfen ob log(e*i) tatsächlich komplex ist.


Wolfram Alpha hat mir diese Umformung gegeben: log(e*i)= 1 + (i*pi)/2


Ich verstehe nicht warum diese Umformung erlaubt ist.So wie es aussieht wurde das Logarithmusgesetz benutzt: ln(z*w) = ln(z) + ln (w). Also log(e*i)=ln(e) + ln(i) = 1 + (i*pi)/2

Ich habe aber gelernt,dass diese Gesetzt allgemein für komplexe Zahlen nicht gilt, sondern ln(z*w) = ln(z) + ln (w) - 2Pi*i*( (arg(z)+arg(w)+pi)/2pi).Das ganze also noch einen "Korrekturterm" hat.


Kann mir vielleicht jemand helfen und erklären warum oben trotzdem das "normale" Logarithmusgesetz benutzt werden kann?

LG
Sid



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zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 690
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-16


2019-08-16 20:14 - Sid123 im Themenstart schreibt:
Ich habe aber gelernt,dass diese Gesetzt allgemein für komplexe Zahlen nicht gilt, sondern ln(z*w) = ln(z) + ln (w) - 2Pi*i*( (arg(z)+arg(w)+pi)/2pi).

Wo hast du das denn gelernt? Prüfe die Richtigkeit dieses "Korrekturterms" doch mal, indem du für $z$ und $w$ reelle Zahlen einsetzt.

Dass man die Logarithmengesetze auf komplexe Zahlen nicht wortwörtlich anwenden kann, liegt daran, dass eine Gleichung $\exp z=w$ die komplexe Zahl $z$ nur bis auf ganzzahlige Vielfache von $2\pi i$ festlegt. Aber es gilt immer noch $\operatorname{Log}(z\cdot w)=\operatorname{Log}z+\operatorname{Log}w+k\cdot2\pi i$ mit irgendeinem $k\in\mathbb Z$, wenn $\operatorname{Log}$ den Hauptwert des komplexen Logarithmus bezeichnet. Und daher gilt insbesondere dann $\operatorname{Log}(z\cdot w)=\operatorname{Log}z+\operatorname{Log}w$, wenn $z$ oder $w$ reell sind. Und das reicht ja schon für die Antwort von WolframAlpha.



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