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 Fragen zur Funktionentheorie |
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Sid123
Junior 
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Vercassivelaunos
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|      Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)}
\newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)}
\newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}
\newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>}
\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert}
\newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>}
\newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}
\newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\lvert}{\left\vert}
\newcommand{\rvert}{\right\vert}
\newcommand{\lVert}{\left\Vert}
\newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo Sid123,
1) Du hast Recht, es geht über den Identitätssatz. Als Häufungspunkt kannst du dir einen beliebigen Punkt auf der Einheitskreisscheibe wählen. Sie sind allesamt Häufungspunkte der Koinzidenzmenge (also der Einheitskreisscheibe).
2) Wenn beim Maximumprinzip die holomorphe Funktion $f$ betrachtet wird, dann soll $\vert f\vert$ ein Maximum annehmen, nicht $f$. Hier wäre also $f(z)=z$ und $\vert f(z)\vert=\vert z\vert$. So kannst du das Maximumprinzip anwenden.
3) Wenn $f(z)\equiv\frac{1}{2}$ wäre, dann wäre $f(0)=1$ nicht erfüllt.
Viele Grüße,
Vercassivelaunos\(\endgroup\)
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Sid123
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Dabei seit: 08.08.2019
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-19
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Danke für deine Antwort :)
Bei der letzten Frage habe ich mich wohl wirklich ein bisschen dumm angestellt. Also wäre die Aussage nur dann richtig wenn bei der zweiten Bedingung anstelle von < ein <= Zeichen stehen würde? Weil dann könnte ich ja einfach die konstante 1 Funktion nehmen, oder?
Grüße
Sid
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Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1178
| Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)}
\newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)}
\newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}
\newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>}
\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert}
\newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>}
\newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}
\newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\lvert}{\left\vert}
\newcommand{\rvert}{\right\vert}
\newcommand{\lVert}{\left\Vert}
\newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Genau. Da es da nicht steht, ist die Aussage aber nicht wahr. Denn die Funktion muss ja konstant den Wert 1 annehmen (vorgegeben durch $f(0)=1$), was aber $f(z)<1$ auf dem Rest der Scheibe widerspricht.\(\endgroup\)
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Ex_Senior
| Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-19
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Maximumsprinzip ist schon etwas eine Kanone für den Spatzen der Aufgabe 2. Stetige Funktionen auf kompakten Mengen ... (bitte weiterführen)
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Sid123
Junior 
Dabei seit: 08.08.2019
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-19
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Stetige Funktionen nehmen auf Kompakten Mengen ihr Minimum bzw. Maximum an....?
Aber, dass sagt doch noch nichts darüber aus ob das Extremum tatsächlich auf dem Rand angenommen wird, oder?
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2519
| Beitrag No.6, eingetragen 2019-08-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,
damit ist die Existenz eines Maximums nachgewiesen. Für die spezielle Funktion $\overline G \to \IR, z\mapsto |z|$ bleibt jetzt noch zu zeigen, dass ein Element aus dem Inneren von $G$ kein Maximum sein kann.\(\endgroup\)
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Sid123
Junior
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-19
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Aber dann ist es doch einfacher gleich mit dem Maximumprinzip zu argumentieren. Da
f(z)=z ja nicht konstant ist weiß ich doch dass, das Maximum auf dem Rand angenommen wird....
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| Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Red_
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Mitteilungen: 844
Herkunft: Erde
 | Beitrag No.8, eingetragen 2019-08-19
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Hi,
in diesem Spezialfall f(z)=|z| ist es tatsächlich bloße Anschauung, dass das Maximum nicht im Inneren liegen kann, denn wenn doch, so... (nutze die Offenheit aus und dass f gerade der Abstand zum Nullpunkt ist).
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Ex_Senior
| Beitrag No.9, eingetragen 2019-08-19
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Ja, ist dann mit weniger Argumentation verbunden bei Verwendung des Maximumprinzips. Habe überlesen, dass das Maximum speziell auf dem Rand liegen soll.
In dem Fall ist die Kanone also gerechtfertigt.
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