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Mathematik » Stochastik und Statistik » Verteilungsdichte des Kehrwerts einer Zufallsvariablen
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Beruf Verteilungsdichte des Kehrwerts einer Zufallsvariablen
DetlefA
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 12.11.2007
Mitteilungen: 66
Aus: Berlin-Tegel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-20


Hallo,

ich habe eine Zufallsvariable, die ist normalverteilt mit Mittelwert und Varianz. Wie ist denn jetzt der Kehrwert der Zufallsvariablen verteilt, dh. ich bilde den Kehrwert und will wissen wie der verteilt ist.

Für Summen von Zufallsvariablen faltet man die Verteilungsdichten, aber wie ist es beim Kehrwert?

Hintergrund: Ein Taktsignal 'jittert', die Flanken kommen zufällig früher oder später, wie wirkt sich das in der Frequenz aus, wie sieht das Spektrum des Signals aus.

Ich bin Ingenieur, ich hoffe die Frage ist nicht allzusehr 'unter Niveau'.

THX
Cheers
Detlef



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1595
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-20


Hey DetlefA,

das kann man sich ja folgendermaßen herleiten.
Sei \(X\) eine ZV mit \(P(X=0)=0\) (was für eine normalverteilte ZV ja der Fall ist).
Für \(x<0\) gilt:
\(F_{\frac{1}{X}}(x)= P(\frac{1}{X} \leq x)=P(\frac{1}{x} \leq X < 0)= P(X<0) - P(X < \frac{1}{x})=F_X(0) - F_X(\frac{1}{x})\).
Für \(x>0\) gilt:
\(F_{\frac{1}{X}}(x)= P(\frac{1}{X} \leq x)=P(X < 0 ~\text{oder}~ 0< \frac{1}{X} \leq x)=P(X<0) + P(\frac{1}{x} \leq X)\)
\(= P(X<0) + 1 - P(X < \frac{1}{x}) = F_X(0) + 1 - F_X(\frac{1}{x})\)
und zu guter Letzt
\(F_{\frac{1}{X}}(0)= P(\frac{1}{X} \leq 0)= P(X<0)= F_X(0)\).

Edit: eine schöne Formel für eine eventuelle, neue Dichte von \(\frac{1}{X}\) wird es wahrscheinlich nicht geben.



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DetlefA
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 12.11.2007
Mitteilungen: 66
Aus: Berlin-Tegel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-21


fed-Code einblenden



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Kitaktus
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Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6042
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-21


2019-08-21 18:15 - DetlefA in Beitrag No. 2 schreibt:
fed-Code einblenden
(1) Ja.
(2) Ja.
(3) Das ist fast die Definition der Verteilungsfunktion: $F_X(z):=P(X\leq z)$. Bei stetigen Zufallsgrößen (wie hier) ist $P(X=z)=0$ für alle $z$, daher gilt auch  $F_X(z):=P(X\leq z) = P(X<z)$. Hier ist $z=1/x$.
(4) Das ist die Verteilungsfunktion von $X$ an der Stelle $1/x$.

Die Dichte von $1/X$ kann man auch ausrechnen. Dazu muss man nur die Verteilungsfunktion differenzieren.
Für $x<0$ ergibt sich $f_{1/X}(x)=F_{1/X}'(x)=(F_X(0)-F_X(1/x))'=-F_{X}'(1/x)\cdot\frac{-1}{x^2} = \frac{f_{X}(1/x)}{x^2}$, wobei $f_X$ die Dichte von $X$ ist.
Für $x>0$ führt die analoge Rechnung zum gleichen Ergebnis.
Bei einer normalverteilten Zufallsgröße $X$ ergibt sich schließlich noch $f_{1/X}(0)=0$ (ohne Beweis).



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1807
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-21

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

ich versuche mich mal an einer skizzenhaften Antwort. Angenommen, wir haben eine Zufallsvariable \(X\) mit bekannter Verteilung sowie eine durch eine Transformation von \(X\) entstandene ZV \(Y\), wobei die Transformation durch \(y=f(x)\) gegeben sei.

In die Verteilungsfunktion von \(X\) kann man x-Werte einsetzen. Da liegt es ja nahe, die Verteilung von \(Y\) irgendwie dadurch zu bestimmen, dass man für y das Urbild bezüglich der Transformationsgleichung \(y=f(x)\) verwendet. In dem Fall wie hier, wo die Transformation injektiv ist, ist das nichts anderes als die Umkehrfunktion. Man versucht also, Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(Y\le k)\) zu bestimmen, indem man mit \(x=f^{-1}(y)\) in die ursprüngliche Verteilung eingeht. Dabei entsteht aber die eine oder andere Tücke, da man ja mit \(Y\le k\) eine Ungleichung nach x umstellen muss, keine Gleichung.

Das hat Kampfpudel hier im Prinzip gemacht, und deshalb hat er auch die Fallunterscheidung unternommen (man muss beim Umstellen der Ungleichung hier mit der ZV \(x\) multiplizieren, und da muss man bekanntlich zwischen positiv und negativ unterscheiden, da sich im letzteren Fall die Ungleichheit umkehrt).

Nun zu deinen Fragen:

2019-08-21 18:15 - DetlefA in Beitrag No. 2 schreibt:
fed-Code einblenden

Ja, genau.

2019-08-21 18:15 - DetlefA in Beitrag No. 2 schreibt:
fed-Code einblenden

Jein, gemeint ist das schon, aber wie sich heraussstellt, ist kein geschlossener Funktionsterm möglich.


2019-08-21 18:15 - DetlefA in Beitrag No. 2 schreibt:
fed-Code einblenden

Das ist jetzt einfach: eine Verteilungsfunktion an einer bestimmten Stelle \(x\) ausgewertet ergibt ja stets eine Wahrscheinlichkeit der Form \(P(X\le x)\), was im stetigen Fall das gleiche wie \(P(X<x)\) ist.

2019-08-21 18:15 - DetlefA in Beitrag No. 2 schreibt:
fed-Code einblenden

Das meint einfach, dass man für \(x\) den transformierten Term \(1/x\) in die Verteilungsfunktion \(F_X\) einsetzt.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)


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DetlefA
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-30 20:04


Hallo,

ich habe die Anworten verstanden und kann sie programmieren, herzlichen Dank. Ich hatte bisher immer nur mit Zahlen und Variablen gerechnet, mit Verteilungen wars' das erste Mal. Hat Spaß gemacht, der Duchbruch kam als ich die Zufallsvariable X zum Verstehen in T umbenannt habe, ansonsten gabs zu viele x :)).

Ich hänge jetzt allerdings noch an einem Haken der mir ein bißchen Sorgen macht.

Das $f_{1/x}(x)$ hat 2 Maxima. Die finde ich indem ich $f_{1/x}(x)$  von Wolfram Alpha nach $x$ differenzieren lasse und Null setze. Ich erhalte die Maxima: $x_{1,2}= - \frac {\mu}{4 \cdot \sigma^2} +- \sqrt{(\frac {\mu}{4 \cdot \sigma^2})^2 + \frac {1}{2 \cdot \sigma^2}}$ . $ \mu = 0 $ und $ \sigma = 1$ gibt da $+- \sqrt{1/2}$, für $ \mu = 1 $ und $ \sigma = 1$ kommt -1 und 1/2 raus, paßt.

Jetzt setze ich $ \mu = 10^{-7 }$ und $ \sigma = 10^{-9 }$, das ist in Ingenieursprech eine 10MHz clock mit 1ns rms Jitter.

Die Lösungen sind dann $9.998000799602509 \cdot 10^6$ und  $-5.00099980007995 \cdot 10^{10}$ Die negative Lösung verwerfe ich ( unphysikalisch :)) ) und dann sehe ich ein Maximum der Verteilung, das um ca. 2000 neben den erwarteten $ 10^7 $ (10MHz) liegt.

Das passiert nicht. Ein Jitter verändert die Frequenz nicht. Das kann ich auch im Experiment sehen. Ich nehme mir viele (sehr viele) normalverteilte Zahlen mit $ \mu = 10^{-7 }$ und $ \sigma = 10^{-9 }$ und schaue mir die Verteilungsdichte der Kehrwerte an. Die ist perfekt um das Maximum bei ${10^7}$ verteilt. Ansonsten passt die Form der Verteilung, nur das Maximum liegt nicht an der erwarteten Stelle.

Warum ist das so? Wo hakt denn da noch was?

Danke
Cheers
Detlef



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-08-31 20:14


Die Verschiebung des Maximums ist ja minimal: 0,02%.

Hier spielt auch Deine Annahme mit rein, dass die Periodenlänge normalverteilt ist und nicht die Frequenz.



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DetlefA
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-01 11:10


Hallo,

eine Frequenzverschiebung eines verjitterten Signals von 2000Hz könnte man sicher messen. Da niemand sowas mißt ist vllt. das angenommene Modell der normalverteilten Periodenlänge nicht adäquat. Dann werde auch noch schauen ob die berechneten $f_{1/x}(x)$ mit gemessenen übereinstimmen.

Danke, ich habe viel gelernt.
Cheers
Detlef



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-09-02 09:01


Gut möglich, dass der Ansatz nicht perfekt ist. Aber eine Verschiebung des Mittelwertes zu ermitteln, die nur ein Fünfzigstel der Streuung beträgt, ist ziemlich aufwändig.
Wäre mal eine schöne Übung auszurechnen, wie viele Messungen man dazu machen müsste.



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DetlefA
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-04 17:07


Hallo,

ich habe das berechnete $f_{1/x}(x)$ mit dem verglichen was man bei den Praktikern so findet für reale clocks. Das passt überhaupt nicht, die berechneten Verteilungsdichten des Spektrums weichen gerne mal eine Zehnerpotenz oder mehr ab.

Es war mir bekannt, dass meine Annahmen zum Jitter nicht richtig sind. Dass die Schlussfolgerungen dann aber so weit neben der gemessenen Wirklichkeit liegen kann ganz schön ernüchtern.

Naja, mit Verteilungsdichten Rechnen gelernt ist ja ein Wert an sich.

THX
Cheers
Detlef    



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-09-04 18:49


Eine Abweichung um eine Zehnerpotenz kann ich mir kaum vorstellen, außer in den Bereichen, in denen die Dichte sowieso fast 0 ist.

Kannst Du das näher erläutern?



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DetlefA
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-05 17:26


Hallo,

ja, das kann ich erläutern.

Dieser link
literature.cdn.keysight.com/litweb/pdf/5990-3108EN.pdf
des renommierten Herstellers für Phasenrauschmessgeräte Keysight ( ex. Hewlett Packard) verweist auf Seite 6 auf eine benutzte Umrechnung zwischen Jitter und spektralen Eigenschaften:

$L(f) = {{σ_c}^2 f_{osc}^3} / {f^2}$

mit $σ_c$ Jitter, $f_{osc} $ Frequenz der clock, $f$ Frequenzoffset, $L(f)$ Rauschleistungsdichte (PSD Power spectral density)).

Als Beispiel wird gerechnet:

$10^{-56.75/10} = ({(0.866*10^{-12})}^2*{(141*10^{6})}^3) / {(10^{3})}^2$

Das bedeutet, dass bei einer 141MHz clock im Abstand von 1kHz für 0.866ps Jitter die Rauschleistungsdichte bei $-56.75dB_c$ liegt, also die Rauschleistung bei 1kHz Abstand um den Faktor $10^{-56.75/10}$ schwächer als die clock ist.

Jetzt rechne ich mit meinen Annahmen und setzte in $f_{1/x}(x)$ ein: $ μ=1/({141*10^6}), σ = 0.866*10^{-12} $ Dann erhalte ich für $x=141*10^6-1000$ und $x=141*10^6$  Zahlen, deren Verhältnis nahe an 1 liegt.

Von 141MHz zu 141MHz-1kHz ändert sich für $f_1/x(x)$ so gut wie nichts, obwohl die Leistung auf $10^{-56.75/10}$ sinken sollte, die "Spannung" ( ich rechne in "Spannungen", Spannung = sqrt(Leistung) ) also auf $10^{-56.75/20}$

Das Ergebnis liegt also Faktor mindestens 1000 daneben.

Die angenommenen Voraussetzungen haben mit der "Wirklichkeit" nichts gemein.
Kann ja mal passieren, in anderen Zusammenhängen hätte das ungemein unangenehmere Konsequenzen, hier sind nur die Ergebnisse falsch :))) .

THX
Cheers
Detlef



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-09-06 23:31


Hallo Detlef,
Du hast in Deiner Rechnung die Periodendauer $T$ als normalverteilte, unkorrelierte Zufallsvariable angenommen (weißes Rauschen). Das Phasenrauschen von Oszillatoren hat aber ein anderes Spektrum, wie Du an der Formel für $L(f)$ siehst.

Wenn Dich das Thema interessiert, findest Du auf der Seite von
Enrico Rubiola eine Menge von lesenswerten Artikeln.

Servus,
Roland



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DetlefA
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 12.11.2007
Mitteilungen: 66
Aus: Berlin-Tegel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-07 01:27


Hallo Roland,

ich weiß, dass meine Annahme nicht richtig war und Rubiola mit seinem 'Phase noise ... ' Buch kenne ich. Ich dachte aber schlicht, dass diese falsche Annahme trotzdem zu einigermassen richtigen Ergebnissen führt, was aber dramatisch nicht der Fall war.

Cheers
Detlef



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