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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Determinante kongruente Matrix
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Universität/Hochschule Determinante kongruente Matrix
shirox
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.08.2019
Mitteilungen: 33
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-21


Hallo,

Ich beschäftige mich derzeit mit folgender Aufgabe

Es seien V ein n-dimensionaler reeler Vektorraum, F eine positiv definite, symmetrische Bilinearform auf V und G = (gij) i,j =1....n ihre Formmatrix bzgl der Basis a1,...., an von V

a) Zeigen sie für Kongruente reele Matrizen G', G'' gilt stets: det G'>0 genau dann wenn det G''>0

Also sind G' und G'' kongruent zu G?
Und zeige ich dass dann durch zwei Implikationen also zwei Richtungen?

Meine Gedanken bis jetzt:
Durch den Trägheitssatz von Slyvester weiß ich ja, dass unter anderem Rang, Typ, Signatur der Formmatrix Invariant für die Kongruenz sind oder nicht?
Dies muss ich dann benutzen um etwas über die Determinate auszusagen? Zum Beispiel ist die Determinante ja ungleich null, wenn ich vollen Rang habe, aber irgendwie weiß ich nicht recht, wie ich anfangen soll



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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1624
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-21

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

Aufgabe a) hat eigentlich gar nichts mit der Bilinearform zu tun. (Insbesondere ist nicht gemeint, dass $G'$ und $G''$ kongruent zu $G$ sein sollen.)
Du brauchst für die Aufgabe nur die Definition von Kongruenz für Matrizen und elementare Eigenschaften der Determinante.

\(\endgroup\)


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ligning
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Dabei seit: 07.12.2014
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-08-21


2019-08-21 15:24 - shirox im Themenstart schreibt:
Also sind G' und G'' kongruent zu G?
Von $G$ ist doch hier gar nicht die Rede. $G'$ und $G''$ sind kongruent, mehr steht da nicht.


Und zeige ich dass dann durch zwei Implikationen also zwei Richtungen?
Theoretisch schon, aber durch die Symmetrie (vertausche die Rollen von $G'$ und $G''$) erübrigt sich eine der Richtungen.


Meine Gedanken bis jetzt:
Durch den Trägheitssatz von Slyvester weiß ich ja, dass unter anderem Rang, Typ, Signatur der Formmatrix Invariant für die Kongruenz sind oder nicht?
Kann man sicher so machen, aber es geht auch einfacher. Kongruent heißt ja es gibt eine invertierbare Matrix $S$ so dass $S^T G' S = G''$. Kannst du jetzt irgendwas über die Determinanten von $G'$ und $G''$ aussagen?

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Bilinearformen&Skalarprodukte' von ligning]


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-21


Achso, Vielen Dank

Ich denke ich habs jetzt

Also (det(S))^2 det(G')= det(G'')
und wenn ich jetzt die Hinrichtung zeige und voraussetze, dass det(G')0 ist, ist auch det(G'')>0 da (det(S))^2 sowieso größer null
Die Rückrichtung erfolgt dann analog

für b) soll ich dann zeigen dass


fed-Code einblenden

dass kann ich doch mit dem Hurwitz-Kriterium argumentieren, da F ja positiv definit und symmetrisch



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-21


Ich denke, bei b) kannst du a) verwenden. Vielleicht kannst du eine zu G kongruente Matrix angeben, bei der man sofort sieht, dass sie positive Determinante hat.



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-21


Ich verstehe nicht ganz wie b) und a) zsmhängen
G' und G'' sind ja nicht zwangsläufig kongruent zu G, oder nicht?



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-08-22


Ich kann deine Frage nicht nachvollziehen. Bilinearformen behandelt man normalerweise nicht am Anfang des ersten Semesters, du studierst also wahrscheinlich schon eine Weile, und solltest eigentlich mit der Art und Weise, in der mathematische Aussagen formuliert werden, vertraut sein. Falls die Frage so gemeint ist wie sie dasteht: a) ist eine Allaussage, eine Aussage über beliebige Matrizen $G'$ und $G''$. Nicht über bestimmte Matrizen $G'$ und $G''$. In b) kannst du a) also verwenden, indem du für $G'$ z.B. $G$ und für $G''$ entsprechend meinem Tipp eine gewisse andere, zu $G$ kongruente, Matrix einsetzt.



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-22


Inwiefern Aussagen der Art '' das solltest du eigentlich wissen'' in einem Forum indem man sich meldet, wenn man Sachen nicht verstanden hat meldet, sinnvoll sind sei mal dahingestellt. Vermutlich liegst du richtig und ich sollte dies am Ende des zweiten Semesters wissen, doch diese Denkweise führt ein Forum indem man nach Hilfe zur Lösungen von Aufgaben sucht ab ad absurdum, da dies doch zum Großteil der Fall sein sollte. Aber ist auch egal, fand es nur nicht hilfreich Antworten so einzuleiten, dadurch kein Mehrwert geschaffen wird.
Dennoch danke ich dir für deine Mühe mir bei dieser Aufgabe zu helfen, ich denke ich habe es jetzt verstanden



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-08-22


Es hätte ja auch sein können, dass ich dich falsch verstehe, und dir völlig unberechtigt unterstelle, Fragen auf diesem Niveau zu stellen.



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