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Universität/Hochschule J Isometrie Matrix
shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-21 18:37


Hallo,


folgende Matrix M ist gegeben
fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

c)
Zeigen Sie, dass die Abbildung R^3 -> R^3 , x -> 1/9 Mx
eine Isometrie bzgl der Standardmetrik ist und bestimmen sie deren Normalform

Meine Überlegung:

zu zeigen, dass die Darstellungsmatrix also einfach jeden Eintrag von M mit 1/9 zu multiplizieren, mit ihrer Transponierten die Einheitsmatrix ergibt, da ich in meinem Skript fand, dass die Aussage die Abbildung L ist eine Isometrie und A*A^T=I mit A als Darstellungsmatrix von L

Ist das so richtig?
Und was ist mit der Normalform gemeint?



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-21 18:57


2019-08-21 18:37 - shirox im Themenstart schreibt:
Ist das so richtig?

Natürlich. Zeige dazu am besten, dass $M M^T = 81 \cdot I$ ist.

2019-08-21 18:37 - shirox im Themenstart schreibt:
Und was ist mit der Normalform gemeint?

Habt ihr in der Vorlesung nicht besprochen, was die euklidische Normalform einer Isometrie ist?

Grüße,
PhysikRabe


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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-21 19:18


Erstmal Vielen Dank für die Antwort!

Also in meinem Skript finde ich gerade nur etwas zur affinen Normalform von Quadriken, ist das dasselbe?
Irgendwie weiß ich nicht so recht was ich damit anfangen kann
Bringt es etwas die Matrix als quadratische Form hinzuschreiben?



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-21 19:29


2019-08-21 19:18 - shirox in Beitrag No. 2 schreibt:
Also in meinem Skript finde ich gerade nur etwas zur affinen Normalform von Quadriken, ist das dasselbe?

Die euklidische Normalform ist ein Spezialfall davon für euklidische Räume. Im Gegensatz zum affinen Fall müssen unter einer euklidischen Hauptachsentransformation Winkel und Längen invariant sein. Das Vorgehen ist aber im Prinzip das selbe.

Grüße,
PhysikRabe


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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-21 20:04


Mein Problem ist, dass ich alles was ich dazu im Netz gefunden hat, von einer quadratischen Form ausgeht, also ich könnte meine Matrix ja auch folgender Maßen angeben

q(x1,x2,x3)= 7x1^2+1x2^2+1x3^2+2x1x2-2x1x3+8x2x3

jedoch hatten die Beispiele, welche im gefunden habe immernoch einzelne Terme mit nur x1,x2, oder x3 oder nur eine Zahl



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-08-21 20:23


Ja, entweder du betrachtest die zugehörige quadratische Form, oder du arbeitest direkt mit der Matrix. Schließlich musst du Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen, um auf die Diagonalform zu kommen.

Grüße,
PhysikRabe


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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-21 20:37


Also entspricht die Diagonalform hier der Normalform
und ist hier mit Diagonalform diejenige Matrix gemeint,welche die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen hat?



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-08-21 20:42


Bei diagonalisierbaren Matrizen ist die Normalform immer eine Diagonalmatrix mit Eigenwerten auf der Hauptdiagonale. Das ist ja auch bei der affinen Normalform von Quadriken so.

Grüße,
PhysikRabe


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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-22 18:09


Achso, das erklärt einiges
Vielen Dank



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