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Gewöhnliche DGL » Nichtlineare DGL 2. Ordnung » Nichtlineare autonome gewöhnliche Differentialgleichung
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Universität/Hochschule Nichtlineare autonome gewöhnliche Differentialgleichung
ochen
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Dabei seit: 09.03.2015
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-22


Hallo,

glaubt ihr, dass die Differentialgleichung
\[a\frac{\mathrm d^4u}{\mathrm d^4t}(t)+
b\frac{\mathrm d^2u}{\mathrm d^2t}(t)
+c(u(t))^3=0\] für geeignete Parameter $a,b,c\neq 0$ analytisch lösbar ist? Habt ihr eine Idee wie das geht?

Viele Grüße



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MontyPythagoras
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Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-22


Hallo ochen,
meiner Meinung nach nicht analytisch lösbar. Man kann noch folgende Umformung machen (ich benutze die abkürzende Schreibweise mit den Apostrophen):
$$au^{(4)}+bu''+cu^3=0$$Multiplizieren mit $u'$:
$$au^{(4)}u'+bu''u'+cu^3u'=0$$Partiell integrieren:
$$au'''u'-a\int u'''u''\mathrm dt+\tfrac12bu'^2+\tfrac14cu^4=c$$$$au'''u'-\tfrac12au''^2+\tfrac12bu'^2+\tfrac14cu^4=c$$Damit hast Du nur noch Ableitungen bis 3 und nicht mehr bis 4, aber wirklich gewonnen hat man dadurch auch nix. Es könnte höchstens Vorteile bei numerischen Simulationen bringen.

Ciao,

Thomas



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ThomasRichard
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Dabei seit: 08.04.2010
Mitteilungen: 391
Aus: Aachen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-08-22


2019-08-22 11:35 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1 schreibt:
$$au^{(4)}+bu''+cu^3=0$$Multiplizieren mit $u'$:
$$au^{(4)}u'+bu''u'+cu^3u'=0$$Partiell integrieren:
$$au'''u'-a\int u'''u''\mathrm dt+\tfrac12bu'^2+\tfrac14cu^4=c$$$$au'''u'-\tfrac12au''^2+\tfrac12bu'^2+\tfrac14cu^4=c$$Damit hast Du nur noch Ableitungen bis 3 und nicht mehr bis 4, aber wirklich gewonnen hat man dadurch auch nix. Es könnte höchstens Vorteile bei numerischen Simulationen

Hallo Namensvetter,

das $u'$ mit dem du multiplizierst, ist ein integrierender Faktor. Die neue Dgl. ist somit exakt und um eine Ordnung reduzierbar, wie du ja auch gezeigt hast.
Auf diese reduzierte Gl. kann man Symmetriemethoden anwenden, womit ich mich leider kaum auskenne. Die Lösung in Maple ist sehr kompliziert und nicht in geschlossener Darstellung.


-----------------
Thomas Richard
Application Engineering / Technischer Support
Maplesoft Europe GmbH



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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8534
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-22

\(\begingroup\)\( \newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, ochen,

man kann den "Anfang" einer Lösung durch einen Potenzreihenansatz bekommen.

Mit o.B.d.A <math>a=1</math> bekommt man anscheinend auch eine Laurentreihenentwicklung für
<math>\D u=\frac{d_1}{t}+\frac{d_3}{t^3}+\frac{d_5}{t^5}+\cdots</math>, falls <math>b</math> und <math>c</math> verschiedene Vorzeichen haben.

Sieht aber nicht so aus, als erhielte man eine geschlossene Rekursionsformel für die <math>d_k</math>.

Kurzfassung der Antwort: nein.

Wally
\(\endgroup\)


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