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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Galoistheorie für Graphen
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Universität/Hochschule Galoistheorie für Graphen
Mathe95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-22


Hallo,

ich bin gerade dabei die Galoistheorie für Körper auf Graphen zu  übertragen. Kann mir dabei jemand helfen, es geht vor allem um den Hauptsatz der Galoistheorie.
Vielleicht hat ja jemand von euch auch eine Literaturidee.

Vielen Dank.



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-22

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2019-08-22 12:07 - Mathe95 im Themenstart schreibt:
Hallo,

ich bin gerade dabei die Galoistheorie für Körper auf Graphen zu  übertragen. Kann mir dabei jemand helfen, es geht vor allem um den Hauptsatz der Galoistheorie.
Vielleicht hat ja jemand von euch auch eine Literaturidee.

Vielen Dank.

Kennst du den Begriff der Galoisverbindung?
Welche Galoisverbindung betrachtest du?

Grundsätzlich ist das Prinzip so, dass du eine Relation $\sim$ zwischen zwei Mengen $\Sigma$ und $\Omega$ hast und dann die Abbildungen
$S\sube \Sigma\mapsto S'\defeq \set{\omega\in \Omega}{\omega\sim \sigma\forall \sigma\in S}$

und $W\sube \Omega\mapsto W'\defeq \set{\s\in \Sigma}{\s\sim \omega\forall \omega\in W}$ betrachtest.

Dann stellt man fest, dass gewisse Eigenschaften gelten,
zum Beispiel
$S\sube \wt{S}\implies \wt{S}'\sube S'$ und $W\sube \wt{W}\implies \wt{W}'\sube W'$ und $S\sube \cl{S}\defeq S''$ und $W\sube \cl{W}\defeq W''$.

Es ist $\cl{S},\cl{W}$ als Galoisscher Abschluss bekannt. Unter ünstigen Umständen ist dieser Abschlussoperator tatsächlich ein topologischer (Kuratowski)-Abschlussoperator, das bedeutet die Galoisverbindung gibt Anlass zu einer Topologie.

Schränkt man die Abbildungen auf die Galois abgeschlossenen Mengen ein, dann bekommtman Bijektionen. Das macht die Korrespondenz dann besonders interessant, denn mit Abbildungen die zum Beispiel alles auf ein Objekt schicken kann man nicht viel anfangen, aber mit solchen die jedes Objekt auf ein anderes eindeutig bestimmtes Objekt schicken schon, denn dann kannst du zwischen den Mengen hin und her gehen ohne Informationen zu verlieren.

Die Hauptaufgabe der resultierenden Galoistheorie ist es dann immer die Galoisabgeschlossenen Mengen mit Begriffen zu charakterisieren die der inneren Natur der Objekte entstammen. Hat man zum Beispiel Graphen, dann wären das Graphentheoretische Begriffe.

Man möchte idealerweise einen Hauptsatz der ein Objekt als Galoios abgeschlossen charakterisiert genau dann wenn gewisse graphentheoretische Eigenschaften gelten.


Kannst du etwas weiter ausführen was für eine Galoisverbindung du betrachtest, bzw. was du dir unter "Galoistheorie für Graphen" vorstellst?

$\viele$
$\xst$



-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-08-22


2019-08-22 14:07 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 1 schreibt:
Kannst du etwas weiter ausführen [...] was du dir unter "Galoistheorie für Graphen" vorstellst?

Genau das würde mich auch interessieren.

Grüße
StrgAltEntf



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-08


Vielleicht geht es darum, den Hauptsatz der Überlagerungstheorie auf Graphen (aufgefasst als 1-dimensionale CW-Komplexe) anzuwenden? Dieser Hauptsatz hat ja sehr viele Ähnlichkeiten zum Hauptsatz der Galoistheorie, bzw. findet sogar mit Grothendieck's Galois-Theorie eine gemeinsame Verallgemeinerung.



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