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Physik » Elektrodynamik » Herleitung innere Induktivität
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Universität/Hochschule Herleitung innere Induktivität
Jambaleija
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-23 21:10


Gibt es eine logische Interpreation zur blau eingekreisten Gleichung





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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-25 07:19


Hallo Jambaleija,
für den Versuch einer logischen Interpretation setze ich die blau umrahmten Gleichungen nach links fort mit der sehr gewagten Schreibweise

\(\mathrm{\Phi'_i} = \int \mathrm{d\Phi_i} = \int \dfrac{\mathrm{\Phi_i}} {I}\mathrm{d}I_{\mathrm{i}} = \dfrac{1}{I} \int \mathrm{\Phi_i} \mathrm{d}I_{\mathrm{i}} = ...\)

und folgenden Bezeichnungen:

\(\mathrm{d\Phi_i} = l \int_\varrho^r \mathrm{d}B_{\mathrm{i}}(\varrho') \mathrm{d}\varrho'\)

\(\mathrm{d}B_{\mathrm{i}}(\varrho') = \dfrac{\mu_0 \mathrm{d}I_{\mathrm{i}} \varrho'}{2\pi r^2}\) für \(\varrho'>\varrho\), sonst 0.

In Worten: Der im Hohlzylinder mit Radius \(\varrho\) und Wanddicke \(\mathrm{d}\varrho\) fließende Teilstrom \(\mathrm{d} I_\mathrm{i}\) erzeugt im Zylindermantel zwischen Radius \(\rho\) und \(r\) die magnetische Induktion \(\mathrm{d}B_{\mathrm{i}}(\varrho')\) und den magnetischen Fluss \(\mathrm{d\Phi_i}\), welche für alle Teilströme \(\mathrm{d} I_\mathrm{i}\) aufsummiert werden. Mir ist nicht klar, warum das physikalisch so gerechnet werden muss und warum mathematisch ein anderes Ergebnis herauskommt im Vergleich zu \(l \int_0^r B_{\mathrm{i}}(\varrho) \mathrm{d}\varrho\). Die Erläuterung im Buch halte ich zum Teil für falsch ("Dieser Teilstrom umfasst den Fluss...") und nicht ausreichend ("Wird über alle Teilströme gemittelt..."). Meine Schreibweise ist nicht viel besser, mir geht es um den Versuch einer Interpretation.

Viele Grüße,
  Stefan



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Jambaleija
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-25 17:00


Hallo Stefan,

danke für deine detaillierte Betrachtung.
Vielleicht liegt die Antwort für die physikalische Notwendigkeit der Berechnung in der Diskussion auf folgender Seite (bin da aber nicht sicher):

vorhilfe.de/forum/Koaxialkabel_Induktivitaet/t648422

Alternativ könnte man die blau kennzeichnete Gleichung auch mit 1/2 und I multiplizieren und anschließend auf der linken Seite für Phi=L*I einsetzen, dann ergibt sich aus der Sicht der Einheiten auf beiden Seite eine Energie. Die notwendigkeit der Integration auf der rechten Seite der Gleichung kann damit auch aus energetischen Betrachtungen resultieren!?



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StefanVogel
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Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-25 19:08


In dem Link folgt konkret auf die Zusatzfrage, was an der Berechnung

\(L = \dfrac{Fluss}{I} = \dfrac{1}{I} l \int_0^r B_{\mathrm{i}}(\rho') \mathrm{d}\rho' =  ... = \dfrac{\mu l}{8 \pi}\)

falsch ist, die Antwort (23:50 Do 15.07.2010): "Du kannst natürlich den Fluss bestimmen. Aber alle die kleinen differentiellen Flussanteile, die Du da aufsummierst (integrierst) sind ja nicht vom gesamten Strom I erzeugt, sondern nur von Teilen des Stromes. Die Definition der Induktivität lautet aber: Gesamtfluss durch erregenden Strom. Du müsstest also die inneren Flussanteile durch den jeweils zugehörigen Teilstrom dividieren. Stattdessen dividierst auch die inneren Flussanteile durch den Gesamtstrom, der die inneren Flussanteile ja gar nicht erzeugt." und später noch "... aus den ... genannten Gründen ist die Induktivität eines Leiters nicht über die Flussberechnung zu bestimmen."

Danach wäre es schon richtig, das von den Teilströmen \(\mathrm{d} I_\mathrm{i}\) erzeugte Teilfeld \(\mathrm{d}B_{\mathrm{i}}(\varrho')\) zu betrachten und das so berechnete Ergebnis stimmt ja auch. Mir ist aber nicht klar, an welcher Stelle die "inneren Flussanteile durch den jeweils zugehörigen Teilstrom" dividiert werden (müssen) und wie mit den Zwischenergebnissen dann weitergerechnet werden muss und warum ohne dem auch schon das richige Ergebnis herauskommt. Eventuell müsste man den Rechenweg noch ausführlicher aufschreiben, aber so, dass wirklich jeder Teilschritt seine Begründung hat. Oder das "über alle Teilströme mitteln" im Buch ist vielleicht eine vorher schon ausführlich begründete Verfahrensweise.

2019-08-25 17:00 - Jambaleija in Beitrag No. 2 schreibt:
Alternativ könnte man die blau kennzeichnete Gleichung auch mit 1/2 und I multiplizieren und anschließend auf der linken Seite für Phi=L*I einsetzen, dann ergibt sich aus der Sicht der Einheiten auf beiden Seite eine Energie. Die notwendigkeit der Integration auf der rechten Seite der Gleichung kann damit auch aus energetischen Betrachtungen resultieren!?

Es ist sicher möglich, die Gleichungen auf energetische Betrachtung umzuschreiben, weil ja das richtige Ergebnis herauskommt. Das beantwortet aber nicht die ursprüngliche Frage, ob die blau eingerahmten Gleichungen so wie sie dastehen eine begründete Rechenmethode sind oder ein Rechenweg, der ohne einen verständlichen physikalischen Hintergrund das richtige Ergebnis liefert.




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Jambaleija
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-01 12:08


Hab mir die aktuelle Version des Buches besorgt. Bei der angewandten Vorgehensweise handelt es sich wohl um keine allgemeine Methodik, die in früheren Kapiteln eingeführt wurde.
Die Herleitung selbst ist allerdings auch abgeändert worden. Die analoge Vorgehensweise wie in der aktuellen Ausgabe des Buches (Das Bild im ersten Beitrag ist aus GoogleBooks zu einer älteren Buchversion) ist hier auf Seite 97 zu finden:

www.ei.ruhr-uni-bochum.de/media/ei/lehrmaterialien/38/Skript%20GdE2%20Grau.pdf


Weiterhin unklar bleibt bei dieser neuen Vorgehensweise, wie auch schon bei der alten Variante, die Aussage, dass die magnetische Flussdichte im Leiterinneren den gesamten Strom berücksichtigt, wärend für die Berechnung des magnetischen Fluss nur der Strom kleiner dem Radius als Integrationsvariable einzusetzen ist. Meine Verwirrung hat dabei ihren Ursprung in der Tatsache, dass bei der Herleitung der magnetischen Flussdichte dieser Zusammenhang bereits berücksichtigt wird. z.B. siehe hier (auf Lösung b klicken):

universaldenker.de/quests/127

Warum ist es also notwendig ein und den selben Zusammenhang zwei mal anzuwenden (einmal bei der Herleitung der Flussdichte und ein zweites mal bei der Herleitung des magnetischen Flusses aus der Flussdichte) bzw. wird bei der Herleitung der Flussdichte in das "innere" der Formel für die Flussdichte eingegeriffen (nämlich auf den Gesamtstrom I) und dieser nachträglich für die Flussberechnung verändert?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-07 06:39


Den Zusammenhang zweimal anwenden ist (nach deiner Anmerkung mit den Maßeinheiten) ein weiterer Hinweis, dass es sich dabei um die Methode über Energieberechnung handelt, nur dass das nicht als Interpretation dazusteht. Denn in die Energieberechnung gehen die zwei Faktoren \(B\) und \(H\) ein und wenn man den zweiten Faktor nicht direkt aus \(B = \mu H\) bestimmt, muss man die Herleitung irgendwie nochmal wiederholen. Eine ausführlichere Betrachtung ist aber im Moment nicht mehr aktuell weil durch die neue Variante abgelöst:

2019-09-01 12:08 - Jambaleija in Beitrag No. 4 schreibt:
Weiterhin unklar bleibt bei dieser neuen Vorgehensweise, wie auch schon bei der alten Variante, die Aussage, dass die magnetische Flussdichte im Leiterinneren den gesamten Strom berücksichtigt, wärend für die Berechnung des magnetischen Fluss nur der Strom kleiner dem Radius als Integrationsvariable einzusetzen ist.

Bei der alten Variante war der Teilstrom \(\mathrm{d} I_\mathrm{i}\) in der Wand des Hohlzylinders mit Radius \(\varrho\) und der Wanddicke \(\mathrm{d}\varrho\) mit dem magnetischen Fluss \(\mathrm{\Phi'_i}\) innerhalb oder außerhalb des Hohlzylinders verknüpft (im Text innerhalb und in der Berechnung außerhalb). In der neuen Variante ist die Flussdichte in der Wand des Hohlzylinders mit dem Teilstrom im Inneren des Zylinders verknüpft. Das erscheint mir logisch (ist aber kein Beweis): Wenn man den Strom abschaltet, fällt das Magnetfeld in der Zylinderwand nach innen zusammen und wirkt deshalb nur auf das Innere des jeweiligen Hohlzylinders ein.

Doch die weiteren Schritte verstehe ich dann wieder nicht. Warum ist umgekehrt der Teilstrom im Inneren des Hohlzylinders nur mit einem Teil des Magnetfeldes in der Zylinderwand verkettet? Warum wird bei der Berechnung der zugehörigen Teilinduktivität durch den gesamten Strom geteilt und nicht durch den Teilstrom im Inneren des betrachteten Hohlzylinders? Warum werden die Teilinduktivitäten addiert (integriert) obwohl die einzelnen ineinandergeschachtelten Hohlzylinder eher als Parallelschaltung zu betrachten sind?



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