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Mathematik » Lineare Algebra » Invarianten
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Universität/Hochschule J Invarianten
Morpheus1711
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.07.2019
Mitteilungen: 18
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-23


Hallo,

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich das Konzept der Invarianten richtig auffasse:

Als Beispiel möchte ich Invarianten unter Ähnlichkeit betrachten.
fed-Code einblenden
Zwei ähnliche Matrizen haben bekanntlich den selben Rang. Also ist der Rang eine Invariante unter der Äquivalenzrealtion "Ähnlichkeit". Es ergibt sich, dass die folgende Abbildung wohldefiniert ist:
fed-Code einblenden

Analog induziert jede andere Invariante eine induzierte Abbildung obiger Form. Nach meinem Verständnis sucht man nun nach den Invarianten, die eine möglichst injektive Abbildung induzieren. (Damit man mehrere Äquivalenzklassen unterscheiden kann) Die Injektivität wäre also ein Hinweis auf die Brauchbarkeit (bzw. die Aussagekraft) der Invariante.(je injektiver die induzierte Abbildung, desto besser die Invariante)

Im injektiven Fall würde dann sogar gelten:

fed-Code einblenden

Im Fall \(K=\mathbb{C}\) (bzw. einem algebraisch abgeschlossenem Körper) wäre so eine "perfekte" Invariante die Jordan-Normalform.

Stimmt meine Auffassung oder ist das Unfug?  confused  In meinem LA Skript gibt es zu Invarianten leider nur eine sehr kurze Bemerkung.

Gruß, Morpheus1711



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DuciKhuat
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 23.08.2019
Mitteilungen: 1
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-23


Hallo!
Im Fall, dass die Invariante injektiv ist, nennt man sie auch trennende Invariante. Dann gilt statt nur
\[ a \sim b  \Rightarrow f(a) = f(b) \] auch die Rückrichtung.  ( für $a,b  \in M$ und $\sim $ eine Äquivalenzrelation auf $M$, sowie $f : M \to W$ eine Abbildung, wobei $W$ eine beliebige Wertemenge sein kann.)
Du hast schon recht, umso weniger Äquivalenzklassen das selbe Bild unter $f$ haben, desto brauchbarer die Invariante (natürlich gibt es etlich viele sinnlose Invarianten).
Man kann sich bei "Äquivalenz" von Matrizen auch überlegen, dass die Rangabbildung hier tatsächlich auch eine "trennende Invariante" ist.

Liebe Grüße



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Morpheus1711
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.07.2019
Mitteilungen: 18
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-23


Hallo,

meinst du mit Äquivalenz von Matrizen "Ähnlichkeit"? Falls ja, dann hab ich nämlich, glaube ich, ein Gegenbeispiel für deine Aussage:
fed-Code einblenden

oder täusch ich mich?

Gruß, Morpheus1711



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Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 348
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-23


Hi,

zumindest wenn der Körper eine von $2$ verschiedene Charakteristik hat, ist dein Beispiel korrekt.
Wie wäre es mit $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
$

Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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Morpheus1711
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.07.2019
Mitteilungen: 18
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-24


Hallo Creasy,

aufmerksame Beobachtung. biggrin Du spielst wohl drauf an, dass in \(\mathbb{F_2}\) 1=-1 gilt. Und in deinem Gegenbeispiel funktioniert's, da die Einheitsmatrix nur zu sich selbst ähnlich sein kann.

Ist meine Auffassung von Invarianten korrekt?

Gruß, Morpheus1711





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Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 348
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-08-24


Hi,

Deiner Auffassung von Invarianten würde ich zustimmen, genau wie dem ergänzenden Beitrag von DuciKhuat (mit Ausnahme des letzten Satzes).

Und ja in $\mathbb{F}_2$ würde $1=-1$ gelten. Es gibt aber noch mehr Körper als dieser, in denen $1=-1$ (gerade diejenigen, welche Charakteristik 2 haben). Zum Beispiel $\mathbb{F}_2(t) = \operatorname{Quot}(\mathbb{F_2}[t])$. Auch über diesem Körper wäre dein Beispiel also nicht richtig gewesen.

Beste Grüße
Creasy



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DavidM
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 236
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-08-24


Hallo zusammen,

2019-08-23 23:30 - Morpheus1711 in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo,

meinst du mit Äquivalenz von Matrizen "Ähnlichkeit"? Falls ja, dann hab ich nämlich, glaube ich, ein Gegenbeispiel für deine Aussage:
fed-Code einblenden

oder täusch ich mich?

Gruß, Morpheus1711


Äquivalenz und Ähnlichkeit sind zwei verschiedene Konzepte: Zwei Matrizen $A,B \in M_{n \times n}(K)$ heißen ähnlich, wenn es ein $S \in Gl_n(K)$ gibt, sodass $B=S^{-1}AS$. Sie heißen äquivalent, wenn es $S,T \in Gl_n(K)$ gibt, sodass $B=TAS$ - üblicherweise definiert man den Begriff allgemeiner für rechteckige Matrizen.
Und dann stimmt es tatsächlich, dass zwei Matrizen genau dann äquivalent(!) sind, wenn sie denselben Rang haben. Der Beweis steht in vielen Lineare Algebra-Büchern.



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