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Lineare Algebra » Vektorräume » Unterschied von kartesischen Produkt und Tensorprodukt
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Universität/Hochschule Unterschied von kartesischen Produkt und Tensorprodukt
iwanttolearnmathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-24


Hi,

Ich hätte mal eine Frage zu den beiden oben genannten Objekten (ich bin kein Mathematiker und weiß leider nicht wo ich das einordnen soll). Jedenfalls bin ich über die Quantenmechanik an das Tensorprodukt gelandet und darüber an das kartesische Produkt, allerdings sehe ich den Unterschied bei der Dimension beider Größen nicht. Wenn ich beispielsweise den fed-Code einblenden - und fed-Code einblenden - Vektorraum betrachte mit Basen fed-Code einblenden und fed-Code einblenden fed-Code einblenden

fed-Code einblenden
)mit den Standardbasisvektoren oder sonstige Basisvektoren und jetzt das kartesische Produkt von diesen Basen betrachte, dann erhalte ich für diesen Raum doch auch eine Dimension von n*m oder nicht?
Diese Basis würde doch dann auch das Kartesische Produkt von   fed-Code einblenden aufspannen. Allerdings hab ich gelesen das das kartesische Produkt eine Dimension von m+n aufweisst, wo hab ich was falsch gemacht?
Beim Tensorprodukt fed-Code einblenden weiß ich leider nicht genau wie man dieses bilden würde aber ich habe gelesen, dass man eine Dimension von n*m erhalten würde, es also doch dem kartesischen Produkt der Basisvektoren entsprechen würde.
Das versteh ich allerdings nicht kann jemand mir helfen?

Ich sollte allerdings noch hinzufügen das ich den Unterschied von der direkten Summe und dem Tensorprodukt nicht ganz verstehe: Dabei hab ich gelesen das die direkte Summe von Hilberträumen so verallgemeinert wird, das man für zwei Hilberträume U und V das kartesische Produkt betrachtet (deshalb hab ich das auch in diesem Zusammenhang gebracht). Und ich sehe halt nicht wieso die Dimensionen sich addieren und nicht multiplizieren.





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kostja
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-24


Hallo,

Ich denke Du wirst Deinem Denkfehler entdecken, wenn Du nochmal nachliest was das kartesische Produkt ist und wie dessen kanonische Basis gebildet wird.

Grüße

Konstantin



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iwanttolearnmathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-24


Hi,

Also keine Ahnung warum aber das hat geholfen, es ging ja im Wesentlichen um die Dimensionsformel für ein kartesisches Produkt. Das Bilden dieser Basis hatte vorher nicht ganz verstanden aber gut das müsste jetzt klar sein, zumindest bei dem kartesischen Produkt.
Beim Tensorprodukt sieht es noch anders aus, während ich bei dem kartesischen Produkt zumindest wusste was dort gemacht wird weiß ich das beim Tensorprodukt nicht. Beim kartesischen Produkt werden ja Paare gebildet aber was wird beim Tensorprodukt gemacht?

Grüße



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ollie3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-24


Hallo,
beim tensorprodukt bastelt man aus 2 Vektorräumen einen völlig neuen Vektorraum,
der n x m Basisvektoren hat, und der bezug
zu den alten Vektorräumen ist, das man jedem
Basisvektor einer Paarung von 2 Basisvektoren
aus den alten Vektorräumen zuordnen kann ...



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iwanttolearnmathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-24


Hi,

Okay das hab ich auch schon mir irgendwie denken können, allerdings ist mir nicht ganz klar wie man das macht:


Ich habe hier beispielsweise ein Beispiel gefunden:
fed-Code einblenden
Bei dem weiß ich leider nicht was diese fed-Code einblenden bedeuten. Du meinst ja das dies ein neuer Vektorraum ist, aber woran sieht man an den Produkt fed-Code einblenden ein wie im Beispiel jetzt 4 dimensionaler Vektor ist?



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ollie3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-08-24


Hallo,
du hast das immer noch nicht richtig verstanden. In dem einen Fall (das mit der
direkten Summe) bettest du einfach zwei 2-dim. Vektorräume in einen 4-dimensionalen ein, bei dem Fall mit dem tensorprodukt hast
du 4 völlig andere Basisvektoren, die sich nicht 1 zu 1 den ursprünglichen Basisvektoren
zuordnen lassen ...



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kostja
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-08-24


Hi  iwanttolearnmathe,

wenn Du ein simples Beispiel verstehen willst, dann betrachte den euklidischen $\IR^n$. Hier kannst Du das Tensorprodukt so verstehen:
\[
v \otimes w = v \cdot w^\intercal
\]



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iwanttolearnmathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-25


Hi,

ich würde schon das gesamte Tensorprodukt verstehen wollen. Nach ein bisschen Googlen ist dein Beispiel im euklidischen R^n ja sowas wie das dyadische Produkt.
Ja ich verstehe immer noch nicht warum beim Tensorprodukt oder bei der direkten Summe ein höherdimensionaler Vektor herauskommt. Zum Beispiel bei dem kartesischen Produkt, wieso sind das jetzt mehr Dimensionen oder um es mal konkret an dem Beispiel zu sagen: Warum sieht man das (e_1,0) jetzt ein 4-dimensionaler Vektor ist, also warum lässt sich diese Schreibweise in fed-Code einblenden
(e_1,0)= 1 0 0 0
fed-Code einblenden
also als Spaltenvektor gemeint (der fed funktioniert gerade irgendwie nicht).

2019-08-24 18:47 - ollie3 in Beitrag No. 5 schreibt:

 In dem einen Fall (das mit der
direkten Summe) bettest du einfach zwei 2-dim. Vektorräume in einen 4-dimensionalen ein,
Was genau bedeutet dieses Einbetten? Ist das was ich meinte mit der Übersetzung von dem kartesischen Produkt in Vektorschreibweise?

2019-08-24 18:47 - ollie3 in Beitrag No. 5 schreibt:
 bei dem Fall mit dem tensorprodukt hast
du 4 völlig andere Basisvektoren, die sich nicht 1 zu 1 den ursprünglichen Basisvektoren
zuordnen lassen ...
Was meinst du mit nicht 1 zu 1 zuordnen? Beim kartesischen Produkt hat man doch im Falle des 2 dimensionalem  (vielleicht etwas blöd gewählt weil 2+2 und 2*2) den gleichen 4-dimensionalen Raum.
Also ich verstehe halt dieses Symbol des Tensorproduktes nicht warum diese Schreibweise mit dem umrandeten Kreuz jetzt ein höherer Vektor ist.
( Ich würde es hinschreiben per fed aber wie gesagt der geht nicht,sry)

Ich hoffe ihr seht was mein Problem ist.



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kostja
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-08-25


Wenn Du auf meinen Vorschlag nicht eingehen möchtest zunächst den einfachen Fall zu diskutieren, dann lass mich mal bitte ganz provokant fragen, ob Du verstehst was die Dimension eines Vektorraums ist.

Weiterhin möchte ich nahe legen von der direkten Summe, statt vom kartesischen Produkt zu sprechen.

Gruß



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-08-25

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Hallo iwanttolearnmathe.

Die anderen Mitglieder haben zwar schon alles notwendige gesagt, aber ich möchte hier noch eine etwas andere Darstellung geben:
Tensorprodukte kommen von bilinearen Abbildungen.
Ich versuche mich physikergerecht auszudrücken.

Seien $V,W$ ein $K$-Vektorräume.
Dann kann man das Kartesische Produkt $V\tm W$ bilden welches wieder ein $K$-Vektorraum ist. Das ist ganz einfach, man betrachtet einfach nur Paare $(v,w)$ und definiert die Verknüpfungen komponentenweise.

Nun kann man Abbildungen $\a\colon V\tm W\to T$ betrachten, wo $T$ auch ein $K$-Vektorraum sein soll.

Nun stellt sich die Frage, ob diese Abbildungen die Vektorraumstruktur von $V$ und $W$ beibehalten oder nicht, also ob sie $K$-bilinear sind oder nicht. (Ich denke du weißt als Physiker was der Begriff "$K$-bilinear" bedeutet?)

Das Tensorprodukt $V\ot_K W$ - auch ein $K$ Vektorraum - hat jetzt die folgende Eigenschaft welche es eindeutig charakterisiert:

Wenn $a\colon V\tm W\to T$ eine bilineare Abbildung ist, dann gibt es genau eine korrespondierende $K$-lineare Abbildung $\cl{\a}\colon V\ot_K W\to T$.

Sei umgekehrt $\cl{\a}\colon V\ot_K W\to T$ eine $K$-lineare Abbildung. Dann gibt es genau eine korrespondierende $K$-lineare Abbildung
$\a\colon V\tm W\to T$.

Das bedeutet "bilineare Abbildungen $V\tm W\to T$ sind das gleiche wie $K$-lineare Abbildungen $V\ot_K W\to T$".

Was bedeutet "korrespondiert"?
Es gibt eine Abbildung $\phi\colon V\tm W\to V\ot_K W$ welche man sich als eine spezielle Abbildung vorstellen sollte die zu dem Tensorprodukt $V\ot_K W$ als Datum dazugehört. Diese Abbildung ist bilinear.

Ist nun $\cl{\a}\colon V\ot_K W\to T$ eine $K$-lineare Abbildung, dann erhält man durch Vorschalten von $\phi$ eine bilineare Abbildung:
$\a\colon \arr{V\tm W}{\phi}{V\ot_K W}\overset{\cl{\a}}{\to} T$.

Ist umgekehrt $\a\colon V\tm W\to T$ bilinear, dann kann man zeigen, dass diese die Form $\a=\cl{\a}\circ \phi$ hat für ein eindeutig bestimmtes $\cl{\a}$.

Das bedeutet: Vorschalten von $\phi\colon V\tm W\to V\ot_K W$ macht aus einer $K$-linearen Abbildung $V\ot_K W\to T$ eine bilineare Abbildung $V\tm W\to T$ und umgekehrt hat jede bilineare Abbildung diese Form und zwar auf eine eindeutige Weise.

Die oben beschriebene Eigenschaft wird in der Literatur die "Universelle Eigenschaft des Tensorprodukts" genannt und das Tensor Produkt ist durch diese Eigenschaft eindeutig bestimmt.

Wie sehen nun die Elemente eines Tensorprodukts konkret aus?
$V\ot_K W$ ist ein $K$-Vektorraum welcher Elemente der Form $v\ot w$ enthaelt wo $v\in V$ und $w\in W$, $\ot$ ist einfach ein Symbol, man haette auch $","$ oder sonst ein Symbol nehmen können.
Nun entsteht das kartesische Produkt auch aus Paaren $(v,w)$, also wo ist der Unterschied?

Die Vektorraumstruktur von $V\ot_K W$ ist anders definiert.
Sie ist nicht durch $\lam (v\ot w)\defeq (\lam v)\ot(\lam w)$ definiert wie beim kartesischen Produkt, sondern durch $\lam(v\ot w)\defeq (\lam v)\ot w$.

Man fordert außerdem $(\lam v)\ot w= v\ot (\lam w)$ und $(v+v')\ot w=v\ot w+v'\ot w$ und $v\ot (w+w')=v\ot w+v\ot w'$.

Elemente der Form $v\ot w$ werden reine Tensoren genannt.
Da $V\ot_K W$ aber ein Vektorraum ist sind ausser den reinen Tensoren auch alle $K$-linear Kombinationen von reinen Tensoren in $V\ot_K W$ enthalten.

$V\ot_K W$ besteht also aus Elementen der Form $\sum_{i=1}^t \lam_i (v_i\to w_i)$ mit $\lam_i\in K, v_i\in V, w_i\in W$. Das kann man auch als $\sum_{i=1}^t (v_i\ot w_i)$ schreiben, denn $\lam_i v_i$ ist ja auch nur ein Element von $V$ (Man ersetzt $\lam_i v_i$ durch $v_i$).

Jetzt kann man auch die Abbildung $\phi$ konkret hinschreiben:
Es ist $\phi\colon V\tm W\to V\ot_K W, (v,w)\mapsto v\ot w$. Man rechnet nun leicht nach, dass diese Abbildung $K$-bilinear ist.

Wie sieht eine Basis von $V\ot_K W$ konkret aus?
Naja. klar ist, dass es eine Basis geben muss und vermutlich hat diese eine endliche Dimension welche von $\dim_K(V)$ und $\dim_K(W)$ abhängt.

Nehmen wir also Basen $v_1\cos v_t$ und $w_1\cos w_s$.
Sei nun $v\ot w$ ein reiner Tensor.
Schreibe $v=\sum_{i=1}^t \lam_i v_i$ und $w=\sum_{j=1}^s \rho_j w_j$.
Setzt man das in $v\ot w$ ein und nutzt die $K$-Bilinearität, so bekommt man $\sum_i \lam_i (v_i\ot \sum_j \rho_j w_j)$. Nun kann man die Bilinearität nochmal anwenden:
$=\sum_i\lam_i (\sum_j \rho_j (v_i\ot w_j))=\sum_{i,j}(\lam_i\pt \rho_j) (v_i\ot w_j)$.
Jeder reine Tensor lässt sich also als eine $K$-Linearkombination von Elementen in $\sc{B}\defeq \set{v_i\ot w_j}{i=1\cos t,j=1\cos s}$ darstellen.

Sei nun $\sum_{k=1}^n a_k\ot b_k$ ein beliebiger Tensor. Jeder der reinen Tensoren $a_k\ot b_k$ ist eine $K$-linear Kombination von Elementen in $\sc{B}$. Folglich ist deren endliche Summe auch nur eine $K$-lineare Kombination von Elementen in $\sc{B}$.

Man zeigt auch einfach die lineare Unabhängigkeit.
Also ist $\sc{B}$ eine Basis, und sie hat $t\pt s=\dim_K(V)\pt \dim_K(W)$ Elemente. Also gilt $\dim_K(V\ot_K W)=\dim_K(V)\pt \dim_K(W)$.
 
Beachte, dass $\dim_K(V\tm W)=\dim_K(V)+\dim_K(W)$ gilt.
$\viele$
$\xst$


 










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Poincaré and Erdős went to an étalé party at Čech's
with an adèle and an étale as gifts. Čech was happy.
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iwanttolearnmathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-26 19:03


@kostja
2019-08-25 20:30 - kostja in Beitrag No. 8 schreibt:
Wenn Du auf meinen Vorschlag nicht eingehen möchtest zunächst den einfachen Fall zu diskutieren, dann lass mich mal bitte ganz provokant fragen, ob Du verstehst was die Dimension eines Vektorraums ist.
Nein so war das nicht gemeint. Als Dimension verstehe die Definition, dass man die Anzahl an Basisvektoren angibt und diese Zahl ist die Dimension.
Leider sehe ich noch nicht wie das meine Frage beantwortet, wie man denn dieses Zeichen fed-Code einblenden
zwischen zwei Vektoren denn verstehen kann. Wie in dem Beispiel weiß ich leider nicht wie daraus 4-Dimensionale Vektoren werden.
Um mal an deinem Beispiel bzw. Interpretation anzuknüpfen, würde man somit ja eine 2x2-Matrix erhalten (bei einem Produkt aus einem Zeilen- und einem Spaltenvektor). Das verstehe ich. Aber dieses Symbol halt nicht wie gesagt.

2019-08-25 20:30 - kostja in Beitrag No. 8 schreibt:
Weiterhin möchte ich nahe legen von der direkten Summe, statt vom kartesischen Produkt zu sprechen.
Wieso denn? Beim kartesischen Produkt summieren sich doch auch die Dimensionen. Bei den beiden bin ich mir aber auch nicht sicher ob ich den Unterschied sehe. Beim kartesischen Produkt hab ich ja bei den Vektorräumen fed-Code einblenden damit eine Basis im kartesischen produkt fed-Code einblenden
eine Basis die glaube ich so aussehen würde:
fed-Code einblenden
Warum man jetzt dabei zum Beispiel e_1 Vektor, so auffassen kann als wäre es der folgende, sehe ich auch nicht:
fed-Code einblenden
Bei der direkten Summe würde doch das gleiche herauskommen soweit ich das verstanden habe.

@xiao
wow schon mal vielen Dank für die Mühe, aber das muss ich mir erst einmal in Ruhe durchlesen.

Grüße Jan





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kostja
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-08-26 19:43


Hallo Jan, Du bist auf dem richtigen Weg. Die Menge der 2x2 Matrizen ist ein Vektorraum. Welche Dimension hat er?

Das kartesische Produkt, hast Du aber nicht verstanden. Suche lieber nach dem Begriff direkte Summe.

Gruß

Konstantin



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2019-08-26 19:43 - kostja in Beitrag No. 11 schreibt:
Hallo Jan, Du bist auf dem richtigen Weg. Die Menge der 2x2 Matrizen ist ein Vektorraum. Welche Dimension hat er?
Das freut mich schon mal yeay. Also da ich für das Aufbauen der 2x2 Matrizen vier Matrizen als Basis benötige, die alle unabhängig sind. Könnte man das so begründen oder gibt's da eine mathematisch korrektere Variante?

2019-08-26 19:43 - kostja in Beitrag No. 11 schreibt:
Das kartesische Produkt, hast Du aber nicht verstanden. Suche lieber nach dem Begriff direkte Summe.
Mhm das ist wiederum schade, kannst du mir sagen was ich da nicht genau verstehe?

Grüße Jan



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helmetzer
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2019-08-25 23:02 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 9 schreibt:

Seien <math>V,W</math> ein <math>K</math>-Vektorräume.
Dann kann man das Kartesische Produkt <math>V\tm W</math> bilden welches wieder ein <math>K</math>-Vektorraum ist. Das ist ganz einfach, man betrachtet einfach nur Paare <math>(v,w)</math> und definiert die Verknüpfungen komponentenweise.

Nun kann man Abbildungen <math>\a\colon V\tm W\to T</math> betrachten, wo <math>T</math> auch ein <math>K</math>-Vektorraum sein soll.


Moin, ich will hier nur anmerken, dass man, um diese bilineare Abb. zu betrachten, keine K-Vektorraumstruktur auf V x W braucht,

lediglich V x W als Menge und die K-Vektorraumstrukturen auf V und W.

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