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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Stetigkeit » Stetigkeit einer Funktion (Epsilon-Delta-Kriterium)
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Autor
Universität/Hochschule J Stetigkeit einer Funktion (Epsilon-Delta-Kriterium)
Lakshmi
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 24.08.2019
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-24 09:52


Hallo liebe Leute!

Wer kann mir mit dieser Aufgabe weiterhelfen???? :



Mit welchem Programm könnte ich die Funktion am einfachsten zeichnen (für welches ich kein Geld bezahlen muss)?

Was sagt ihr zu dem Epsilon-Delta-Kriterium in dieser Aufgabe?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Liebe Grüße



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2193
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-24 10:12


Hallo,


Mit welchem Programm könnte ich die Funktion am einfachsten zeichnen (für welches ich kein Geld bezahlen muss)?

GeoGebra ist ein sehr guter Funktionsplotter, der kostenfrei erhältlich ist.

Du kannst auch eine online Version benutzen.

Die Bedienung ist ganz intuitiv. So eine Funktion, über Fallunterscheidung, kannst du wohl am besten mit einer Wenn-Dann-Bedingung zeichnen lassen.

Wenn du in der Schule Umgang mit Excel gelernt hast, dann müsstest du das ohne Probleme hinbekommen. Ansonsten kannst du gerne nachfragen.


Was sagt ihr zu dem Epsilon-Delta-Kriterium in dieser Aufgabe?

Zeigen musst du:

$\lim_{x\to -1} x^2+2x+3 = 2$ damit deine Funktion stetig ist.

Das ist hier gegeben, dann wenn $g(x)=x^2+2x+3$, dann ist $g(-1)=2$.
Das ist kein Beweis!

Daher musst du zeigen, dass für alle $\varepsilon > 0$ existiert ein $\delta > 0$ so, dass wenn $|x-(-1)|<\delta$, dann ist $|g(x)-2|<\varepsilon$


Beginne also so:

Sei $\varepsilon > 0$ beliebig.

Nun schreibe $|g(x)-2|$ aus und rechne etwas rum.

Das Ziel ist es eine geeignete Wahl für $\delta$ zu finden.
Diese darf von $\varepsilon$ abhängen.

Außerdem wissen wir $|x+1|<\delta$. Ein Ziel deiner Gleichungskette

$|g(x)-2|=\dotso=\dotso$

ist also, dass du es schaffst |x+1| als Faktor zu isolieren, damit du mit $\delta$ abschätzen kannst.

Du wirst ein Ergebnis erhalten, das nur von $\delta$ abhängt. Nun musst du dich nur noch fragen, wie du dieses $\delta$ wählen musst, damit dieser Ausdruck mit $\varepsilon$ übereinstimmt.

Das ist jetzt vielleicht ein bisschen schwammig formuliert, aber probiere das einmal.
Bei Rückfragen zeige am besten deinen Weg. :)




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Lakshmi
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 24.08.2019
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-24 10:47


Vielen Dank!

Das Programm habe ich schon runtergeladen... die Funktion ist schon geplottet.

Excel habe ich leider nicht, da ich einen Mac habe :D.

Ich werde mir selbst alles nochmal klar machen, gucken ob ich alles verstanden hab und dann den Lösungsweg detailliert schildern - dann brauch ich nur noch einen Daumen hoch.

Liebe Grüße



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Lakshmi
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 24.08.2019
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-24 15:45


Ich hab jetzt mal die Lösung zu ende gerechnet. Ist
das richtig so?


<a href=' Was ist zu zeigen?

Im Punkt $x_0 = -1$ liegt genau dann Stetigkeit vor, wenn $\lim_{x\to -1} =x^2 + 2x +3 =2 $ gilt.

Setzen wir $-1$ in die Ursprungsgleichung ein, ergibt sich  $g(-1) = 2$.


Um den oben genannten Grenzwert zu beweisen, nutzen wir das $\epsilon$ - $\delta$ - Kriterium,
indem wir zeigen, dass für alle $\epsilon > 0$ ein
$\delta > 0$ existiert, sodass wenn $ |x-(-1)| < \delta $, dann gilt $ |g(x) -2| < \epsilon$.

Sei $\epsilon > 0$ beliebig.  

Es gilt $ |g(x) -2| < |x^2 + 2x +3 -2|$

 sowie $ \epsilon < |x^2 + 2x + 1|$.

Wir wissen, dass $ |x+1| < \delta $ ist.

Ziel ist es, den Ausdruck $|x+1|$  zu faktorisiern, damit wir $\delta $ abschätzen können.

Wir rechnen weiter:

$ |g(x) -2| < |x^2 + 2x +3 -2|$

$     $ $  < |x^2 + 2x + 1|$.

$     $ $ < |x^2 + 2x + 1|$.

$     $ $ < |(x+1)\cdot (x+1)|$.
$     $ $ < |(x+1)^2|$.

Setzen wir nun auf der rechten Seite $\delta $ ein, so ergibt sich $\epsilon = \delta ^2$  - womit wir unsere Annahme bewiesen haben.
' target=_blank>hier



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1782
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-24 16:19

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo Lakshmi und herzlich Willkommen hier auf Matroids Matheplanet!

Im Prinzip ist das richtig, es ist dir jedoch ein Fehler (Tippfehler?) unterlaufen:

2019-08-24 15:45 - Lakshmi in Beitrag No. 3 schreibt:
Im Punkt $x_0 = -1$ liegt genau dann Stetigkeit vor, wenn $\lim_{x\to -1} =x^2 + 2x +3 =2 $ gilt.

Setzen wir $-1$ in die Ursprungsgleichung ein, ergibt sich  $g(-1) = 2$.

Um den oben genannten Grenzwert zu beweisen, nutzen wir das $\epsilon$ - $\delta$ - Kriterium,
indem wir zeigen, dass für alle $\epsilon > 0$ ein
$\delta > 0$ existiert, sodass wenn $ |x-(-1)| < \delta $, dann gilt $ |g(x) -2| < \epsilon$.

Ja, bis hierher geht es klar.

2019-08-24 15:45 - Lakshmi in Beitrag No. 3 schreibt:
Sei $\epsilon > 0$ beliebig.  

Es gilt $ |g(x) -2| < |x^2 + 2x +3 -2|$

 sowie $ \epsilon < |x^2 + 2x + 1|$.

In der letzten Zeile des oben zitierten sitzt die Ungleichheit falsch herum.

2019-08-24 15:45 - Lakshmi in Beitrag No. 3 schreibt:
Wir wissen, dass $ |x+1| < \delta $ ist.

Ziel ist es, den Ausdruck $|x+1|$  zu faktorisiern, damit wir $\delta $ abschätzen können.

Wir rechnen weiter:

$ |g(x) -2| < |x^2 + 2x +3 -2|$

$     $ $  < |x^2 + 2x + 1|$.

$     $ $ < |x^2 + 2x + 1|$.

$     $ $ < |(x+1)\cdot (x+1)|$.
$     $ $ < |(x+1)^2|$.

Setzen wir nun auf der rechten Seite $\delta $ ein, so ergibt sich $\epsilon = \delta ^2$  - womit wir unsere Annahme bewiesen haben.

Ja, so war der Tipp von PrinzessinEinhorn gedacht.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Lakshmi
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 24.08.2019
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-24 18:03


Hallo Diophant,

oh ja stimmt... es ist heute sehr warm in Hamburg XD.

Danke!



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2193
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-08-24 20:10


Oft führt man solche $\varepsilon$-$\delta$-Beweise in zwei Schritten.

Im ersten Schritt findet man eine korrekte Wahl für $\delta$.
Das passiert in einer Art Beweisskizze und wird in Vorlesungen normalerweise unterschlagen.

Aus deiner Beweisskizze wird klar, dass eine Wahl für $\delta$ eben $\delta =\sqrt{\varepsilon}>0$ ist.

Der eigentliche Beweis geht die Skizze dann Schritt für Schritt durch.
Am Ende ersetzt man nur $\delta$ durch die entsprechende Wahl.

So hättest du ja nun folgende Rechnung:

$|g(x)-2|=|x+1|^2<\delta^2=(\sqrt{\varepsilon})^2=\varepsilon$




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Lakshmi
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 24.08.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-24 20:20


ok alles klar. Vielen Dank! Ich hab es verstanden. Übrigens cooler Name :D :D .

Mathe macht Spaß!




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