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Mathematik » Stochastik und Statistik » Momenten-Schätzer und Maximum-Likelihood-Schätzer
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Autor
Universität/Hochschule J Momenten-Schätzer und Maximum-Likelihood-Schätzer
PhilipKempe
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.07.2018
Mitteilungen: 60
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-24


Hallo :-) Ich gehe momentan die Altklausuren durch, um mich auf die bevorstehende Stochastik - Klausur vorzubereiten. Bei einer Aufgabe komme ich leider nicht weiter, daher bitte ich um Hilfe.


Die Aufgabe geht so:

__________________________________________________________________


Sei $X$ uniform verteilt auf dem Intervall $[0, \theta]$, wobei $\theta > 0$ unbekannt sei.

a)Bestimmen Sie einen Momentenschätzer für $\theta$, der auf der einzigen Beobachtung $X(\omega) = 0.6$ beruht.

b) Bestimmen Sie den Maximum - Likelihood- Schätzer für $\theta$, der auf der einzigen Beobachtung $X(\omega) = 0.6$ beruht.

__________________________________________________________________


Den Momenten - Schätzer wurde so definiert:





Der Maximum - Likelihood- Schätzer ist so definiert:





Mein Ansatz zu a)
_________________


Wir haben nur einen Parameter zu schätzen, nämlich $\theta$. Also müssen wir nur den ersten Theoretischen Moment und den ersten empirischen Moment, oder?


Mein Problem ist hier nun, so banal es auch ist, dass ich nicht weiß, ob $X$ eine $n$ - dimensionale Zufallsvariable ist oder nur eine eindimensionale.

Weil im Skript lese ich, dass man $n$ i.i.d Zufallsvariablen $X_{1}, \ldots, X_{n}$ mit Realisierungen $x_{1}, \ldots, x_{n}$ hat und dass $x = (x_{1}, \ldots, x_{n}) $ die Realisierung von $X$ ist.


Jetzt weiß ich halt nicht, ob $X$ n oder eindimensional ist.

Ich bin davon ausgegangen, dass $X$ vektorwertig ist mit n Komponenten , also $X(\omega) = \left(\begin{array}{c}0.6\\0.6 \\ \vdots \\ 0.6\end{array}\right)$.

 Dann würde meine Rechnung doch so lauten:



1. Schritt: Den ersten theoretischen Moment $E[X_{1}^{1}]$ bestimmen
__________


Da $X_{1}$ uniform verteilt auf dem Intervall $[0, \theta]$ ist, ist

$E[X_{1}^{1}] = E[X_{1}] = \frac{0 + \theta}{2} = \frac{\theta}{2}$


2. Schritt: erster empirischen Moment $m_{1} := \frac{1}{n} \sum\limits_{i = 1}^{n} x_{i}^{1}$ mit $E[X_{1}^{1}]$ gleichsetzen und nach $\theta$ auflösen
__________


Wir haben dann


$\frac{\theta}{2} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i = 1}^{n} x_{i}^{1}$ $\Leftrightarrow \theta  =  \frac{2}{n} \sum\limits_{i = 1}^{n} x_{i}^{1}$


Wenn wir nun für $x_{i}$ die 0.6 einsetzen, dann erhalten wir:


$\theta =  \frac{2}{n} \sum\limits_{i = 1}^{n} x_{i}^{1} =  \frac{2}{n} \sum\limits_{i = 1}^{n} 0.6 = \frac{2}{n} \cdot n \cdot 0.6 = 1.2$


Passt das so? Oder habe ich die Aufgabe missverstanden?


 Ist $X$ in diesem Fall eine $n$ - dimensionale Zufallsvariable ist oder nur eine eindimensionale?



Ich bedanke mich sehr für eure Mühen. Schönen Tag noch, euer Philip



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luis52
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Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 56
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-25


Moin, im vorliegenden Fall ist $n=1$ und $\bar x=0.6$. Also ist die MM-Schaetzung $\hat\theta_{MM}=1.2$, so wie du es schon selbst herausgefunden hast.

vg Luis



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PhilipKempe
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.07.2018
Mitteilungen: 60
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-30 15:55


Okay, danke für die Bestätigung.

Einen schönen Tag noch!



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PhilipKempe hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
PhilipKempe hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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